第3章 一元二次方程（复习讲义）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，以知识框架分模块呈现概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，清晰展现各知识点内在联系，突出解法选择和判别式应用等重点。 讲义亮点在于分层练习设计与题型指导，如题型5结合增长率问题培养模型观念，解题要点明确解法选择策略提升运算能力。基础达标与能力进阶题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生自主复习效率。

第三章 一元二次方程 复习要点 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系． 3.了解一元二次方程的根与系数的关系，并能利用它解决一些简单的问题． 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 5.建立模型观念。 复习重难点 重点：能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 难点：一元二次方程的根与系数的关系．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 知识点 一元二次方程的概念 如果一个方程只含有 个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是 ，那么这样的方程称为一元二次方程. 注意：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是． 要点归纳：一元二次方程的一般形式是 , 其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项. 要点速测 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D.  知识点 一元二次方程的解法 （1）配方法：方程经配方、整理后就可以直接根据 的意义来解.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. （2）公式法：运用一元二次方程的 直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. （3）因式分解法：利用 来解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 注意：（1）使一元二次方程左右两边的值 的未知数的值叫作一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。把一元二次方程的所有根都求出来，叫作解一元二次方程. （2）通过“ ”将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 （3）用公式法时，先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值， 要点归纳： （1）一般地，将多项式x²±ax加上 ，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方。 （2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的在b²-4ac≥0时的求根公式为 . （3）若ab=0，则 . 要点速测 2．用配方法解方程，下列配方结果正确的是(    ) A. B. C. D. 知识点 一元二次方程根的判别式 叫作一元二次方程ax²十bx十c=0(a≠0)的根的判别式，记作，即= 。 要点归纳：（1）当>0时，方程有 的实数根，其根为 。 （2）当=0时，方程有 的实数根，其根为 。 （3）当＜0时，方程 实数根。 要点速测 3．关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 知识点 一元二次方程根与系数的关系 当≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系: 两根的和等于 ，两根的积等于 .这个关系通常被称为韦达定理。 要点归纳：ax²十bx十c=0(a≠0)两根为，，则有+= ， 。 要点速测 4．若是关于的方程的一个根，则方程的另一个根是(    ) A. B. C. D. 知识点 一元二次方程的应用 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：实际问题→分析数量关系设未知数→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根→是否符合实际→实际问题的解。 要点归纳： 常见类型：（1）增长率（降低率）问题 （2）利润问题 （3）几何中的面积（体积）问题 要点速测 5．（2026·山西中考）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作.今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台.若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 题型1 一元二次方程的概念 ▌例1 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解题要点 一元二次方程的概念 1.二次项系数不能为0 2.含未知数的最高次项的次数为2. ▌迁移练1-1若关于的方程是关于的一元二次方程，则的值是(    ) A. B. C. D. ▌迁移练1-2若是关于的一元二次方程，则的值为(    ) A. B. C. D. ▌迁移练1-3将方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 题型2 一元二次方程的解法 ▌例2 用公式法解方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 解题要点 如何选择合适的方法解一元二次方程 1.如果能因式分解，优先选用因式分解法 2.二次项系数为1，一次项系数为偶数时，通常用配方法。 3.二次项系数为1且一次性系数不是偶数或者二次项系数不是1时，通常用公式法 ▌迁移练2-1一同学将方程化成了的形式，则，的值分别为(    ) A. B. C. D. ， ▌迁移练2-2方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， ▌迁移练2-3解下列方程：；；；用较简便的方法依次是  (    ) A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 直接开平方法，公式法，、因式分解法 C. 因式分解法，公式法，配方法，因式分解法 D. 直接开平方法，、公式法，因式分解法 题型3 一元二次方程根的判别式 ▌例3（2025·安徽中考）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 一元二次方程根的判别式 利用一元二次方程根的判别式=b²-4ac，计算值，根据与0的大小关系判断根的情况 ▌迁移练3-1关于的一元二次方程为实数根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 ▌迁移练3-2已知关于的一元二次方程有实数根． 求实数的取值范围 当取满足条件的最大整数时，求方程的解． 题型4 一元二次方程根与系数的关系 ▌例4 若，是方程的两个根，则(    ) A. B. C. D. 解题要点 一元二次方程根与系数的关系 1.判断a，b，c的值 2.根据韦达定理算出两根之和与两根之积 ▌迁移练4-1若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ▌迁移练4-2已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是(    ) A. B. C. D. ▌迁移练4-3小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和则原来的方程可能是(    ) A. B. C. D. 题型5 一元二次方程的应用 ▌例5 为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造已知该企业生产某种零件的成本为元个，且规定该零件的售价不能超过元个经市场调研发现，该零件每周的销售量个与销售单价元个之间满足一次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周销售这种零件可获利元，则该零件的销售单价应定为(    ) A. 元 B. 元或元 C. 元 D. 元 解题要点 用一元二次方程解决实际问题的步骤 审题，找数量关系，设未知数，列一元二次方程，解方程，检验根是否符合实际，得出答案 ▌迁移练5-1某钢铁厂四月份的产量是万吨，第二季度的产量是万吨，若该厂五、六月份平均每月的产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. ▌迁移练5-2化学老师教会了若干名同学“高锰酸钾制取氧气”的实验操作，这些同学回到班上后每个人又教会了同样多名同学，这样恰好全班名同学都会做这个实验了，若设化学老师教会了名同学，依题意可列方程(    ) A. B. C. D. ▌迁移练5-3如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽． ▌迁移练5-4某校要组织足球联赛，每两队之间都进行两场比赛． 如果有支球队参加比赛，那么共进行了多少场比赛 如果全校一共进行了场比赛，那么有多少支球队参加比赛 难点一 利用韦达定理整体法求代数式的值 主要针对由一元二次方程可以得到两根之和与积，需要整体法求所给代数式的值。难点集中在不能根据需要变形代数式． 正确步骤：先求出两根之和与两根之积，再根据需要变形代数式。 难点精练 1.已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 不存在 3.若，是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 难点二 利用韦达定理整体法求参数的值 主要针对由一元二次方程可以得到两根之和与积，需要整体法代入求所给参数的值。难点集中在不能根据需要变形代数式． 正确步骤：先求出两根之和与两根之积，再根据需要整体法代入变形后的代数式，得到含参数的方程，解方程，求得参数。 易错点：漏掉根据判别式舍掉一个值。 难点精练 4.如果方程有实数根且它的两根之差是，那么值可能为(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，求的值．  6.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 难点三 一元二次方程的综合应用 主要针对信息量大的实际问题． 正确步骤：认真审题，找准关键信息，分析数量关系，列出方程。 易错点：漏掉关键信息，不能舍弃不合题意得值。 难点精练 7.某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为元盏试销售一段时间后发现，按元盏的价格销售，每周可售出盏当每盏台灯的售价在元之间时，每盏售价每上涨元，每周的销售量将减少盏． 若每盏台灯的售价为元，则每周的销售利润是多少 如果要实现每周的销售利润为元的目标，求每盏台灯的售价． 8.如图，已知正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动动点从点出发，以的速度沿方向向点运动若、两点同时出发，运动时间为． 连接、、，是否存在的值，使得的面积为 当点在边上运动时，是否存在这样的，使得是以为一腰的等腰三角形若存在，求出符合条件的的值若不存在，请说明理由． 基础达标 1．下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2．把一元二次方程化成一般形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 3．用配方法解方程时，左右两边需同时加上的常数是(    ) A. B. C. D. 4.小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： ，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 小明的解答过程中开始出错的步骤是  (    ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 5.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6.已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是 。 7．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 。 8.若关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为 。 9.用合适的方法解方程： ． ． ． ． 10.解方程， 甲同学的解法如下： 方程两边同除以，得． 甲同学的解法正确吗为什么 对甲同学的解法，你若有不同见解，请写出上述方程的正确解法． 11.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 12. 某烧烤店月份盈利万元，月份盈利达到万元． 求该烧烤店这两个月盈利的月平均增长率． 预计该烧烤店月份盈利多少万元． 13．（2026·山东烟台中考）20.为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品.已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量件与每件售价元的函数关系如图所示. 求y与x的函数表达式； 文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能地让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元. 能力进阶 1．如果方程是关于的一元二次方程，那么的值为． A. B. C. D. 都不对 2．若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 4.若实数，满足，，则的值是          ． 5.若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的取值范围是          ．  6.已知关于的一元二次方程． 请判断这个方程根的情况； 若该方程有一个根小于，求的取值范围． 7.安微滁菊以“金蕊玉瓣”的独特品质广受青睐，名列“四大药菊”之首一苗木种植基地计划用一段长的篱笆围成一个矩形花圃，用于种植滁菊，如图，花圃的两边借助足够长的直角墙角，设花圃的长为． 若这个矩形花圃的面积为，求该花圃的长和宽 该苗木种植基地内有一棵石榴树，且这棵石榴树到两面墙，的距离分别为，，要想将这棵石榴树围在花圃内，则该花圃的面积是否可以为 8.为满足社区居民健身的需求，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康福特公司有，两种型号的健身器材可供选择． 康福特公司年每套型健身器材的售价为万元，经过连续两年降价，年每套售价为万元，求每套型健身器材售价的年平均下降率 年市政府经过招标，决定年内采购并安装康福特公司，两种型号的健身器材共套，采购专项经费总计不超过万元，采购合同规定：每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，型健身器材最多可购买多少套 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元二次方程 复习要点 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系． 3.了解一元二次方程的根与系数的关系，并能利用它解决一些简单的问题． 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 5.建立模型观念。 复习重难点 重点：能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 难点：一元二次方程的根与系数的关系．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 知识点 一元二次方程的概念 如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程. 注意：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是． 要点归纳：一元二次方程的一般形式是ax²十bx十c=0(a,b，c是常数，a≠0), 其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项. 要点速测 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：、因为可能为，所以不一定是一元二次方程，故此选项错误； B、因为含有分式，所以不是一元二次方程，故此选项错误； C、因为符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程，故此选项正确； D、因为最高是三次，所以不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：．  知识点 一元二次方程的解法 （1）配方法：方程经配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来解.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. （2）公式法：运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. （3）因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 注意：（1）使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。把一元二次方程的所有根都求出来，叫作解一元二次方程. （2）通过“降次”将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 （3）用公式法时，先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值， 要点归纳： （1）一般地，将多项式x²±ax加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方。 （2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的在b²-4ac≥0时的求根公式为x= . （3）若ab=0，则a=0或b=0. 要点速测 2．用配方法解方程，下列配方结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】， ， ， ， 故选：． 知识点 一元二次方程根的判别式 b²一4ac叫作一元二次方程ax²十bx十c=0(a≠0)的根的判别式，记作，即=b²一4ac。 要点归纳：（1）当>0时，方程有两个不相等的实数根，其根为=，=。 （2）当=0时，方程有两个相等的实数根，其根为== - 。 （3）当＜0时，方程没有实数根。 要点速测 3．关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A  【详解】=b²-4ac=（-3）²-4×1×1=5＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。故选A 知识点 一元二次方程根与系数的关系 当≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系: 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.这个关系通常被称为韦达定理。 要点归纳：ax²十bx十c=0(a≠0)两根为，，则有+= - ， 要点速测 4．若是关于的方程的一个根，则方程的另一个根是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】设另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得故选B． 知识点 一元二次方程的应用 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：实际问题→分析数量关系设未知数→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根→是否符合实际→实际问题的解。 要点归纳： 常见类型：（1）增长率（降低率）问题 （2）利润问题 （3）几何中的面积（体积）问题 要点速测 5．（2026·山西中考）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作.今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台.若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：4月份的产量为1200（1+x）， 5月份的产量为 ∴， 故选： 题型1 一元二次方程的概念 ▌例1 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解题要点 一元二次方程的概念 1.二次项系数不能为0 2.含未知数的最高次项的次数为2. 【答案】A  【详解】解：由题意得， 解得． 故选A． ▌迁移练1-1若关于的方程是关于的一元二次方程，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由题意得，=2， 解得m=±2，故选C ▌迁移练1-2若是关于的一元二次方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】由题意，得 解得， 则原式  ▌迁移练1-3将方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【详解】解：将原方程去括号，得 移项、合并同类型，得 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，． 题型2 一元二次方程的解法 ▌例2 用公式法解方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 解题要点 如何选择合适的方法解一元二次方程 1.如果能因式分解，优先选用因式分解法 2.二次项系数为1，一次项系数为偶数时，通常用配方法。 3.二次项系数为1且一次性系数不是偶数或者二次项系数不是1时，通常用公式法 【答案】A  【详解】，，， ， ， 故选A． ▌迁移练2-1一同学将方程化成了的形式，则，的值分别为(    ) A. B. C. D. ， 【答案】A  【解析】x²-4x+4-4-3=0 (x-2)²-7=0 (x-2)²=7 ∴m=-2，n=7故选A ▌迁移练2-2方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C  【解析】，解得或， 即，，故选C． ▌迁移练2-3解下列方程：；；；用较简便的方法依次是  (    ) A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 直接开平方法，公式法，、因式分解法 C. 因式分解法，公式法，配方法，因式分解法 D. 直接开平方法，、公式法，因式分解法 【答案】A  【解析】A 选项移项得2x²=18，两边除以2，得x²=9，直接开平方简便。 B选项两边除以2，得x²-6x-391=0，用配方法简便 C选项用用公式法简便 D选项两边都有5x-1，移项后可以提公因式，用因式分解法简便。故选A 题型3 一元二次方程根的判别式 ▌例3（2025·安徽中考） 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 一元二次方程根的判别式 利用一元二次方程根的判别式=b²-4ac，计算值，根据与0的大小关系判断根的情况 【答案】D 【详解】解：选项A：=0²-4×1×1=-4＜0，无实数根，不符合题意； 选项B：=（-2）²-4×1×1=0，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C：=1²-4×1×1=-3＜0，无实数根，不符合题意； 选项D：=1²-4×1×（-1）=5＞0，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． ▌迁移练3-1关于的一元二次方程为实数根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A  【详解】由根的判别式得，， 故该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． ▌迁移练3-2已知关于的一元二次方程有实数根． 求实数的取值范围 当取满足条件的最大整数时，求方程的解． 【详解】(1)解：关于x的一元二次方程+(2m-1)x+-3=0有实数根, =-4(-3)=13-4m， 解得m.  (2)m, m的最大整数值为， 此时一元二次方程为+5x+6=， 解得=-2，=-. 题型4 一元二次方程根与系数的关系 ▌例4 若，是方程的两个根，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A解题要点 一元二次方程根与系数的关系 1.判断a，b，c的值 2.根据韦达定理算出两根之和与两根之积 【详解】根据韦达定理得 ，故选A ▌迁移练4-1若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C  【详解】整理方程为x²+2x-3=0 ∴m=-2，n=-3 ∴点在第三象限。故选C ▌迁移练4-2已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】，，，． 经验证，选项B中，，， 则， 且，满足条件，其他选项均不满足条件． 故选B． ▌迁移练4-3小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和则原来的方程可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】由小影的化简过程可以得出，两根之和为7， 由小冬的化简过程可以得出，两根之积为10，故选B 题型5 一元二次方程的应用 ▌例5 为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造已知该企业生产某种零件的成本为元个，且规定该零件的售价不能超过元个经市场调研发现，该零件每周的销售量个与销售单价元个之间满足一次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周销售这种零件可获利元，则该零件的销售单价应定为(    ) A. 元 B. 元或元 C. 元 D. 元 【答案】D 解题要点 用一元二次方程解决实际问题的步骤 审题，找数量关系，设未知数，列一元二次方程，解方程，检验根是否符合实际，得出答案 【详解】根据题图，得， ， 解得， 又该零件的售价不能超过元个， ，即该零件的销售单价应定为元．故选D。 ▌迁移练5-1某钢铁厂四月份的产量是万吨，第二季度的产量是万吨，若该厂五、六月份平均每月的产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】五月份产量为50（1+x） 六月份产量为50（1+x）² 第二季度为50+50（1+x）+50（1+x）²=182，故选D ▌迁移练5-2化学老师教会了若干名同学“高锰酸钾制取氧气”的实验操作，这些同学回到班上后每个人又教会了同样多名同学，这样恰好全班名同学都会做这个实验了，若设化学老师教会了名同学，依题意可列方程(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】x名同学教会了x²名同学， 共有x²+x名同学学会了， ∴x²+x=56，故选D ▌迁移练5-3如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽． 【详解】解：设道路的宽为， 依题意得， 整理得， 解得不合题意，舍去，， 故道路的宽为． ▌迁移练5-4某校要组织足球联赛，每两队之间都进行两场比赛． 如果有支球队参加比赛，那么共进行了多少场比赛 如果全校一共进行了场比赛，那么有多少支球队参加比赛 【详解】(1)43=12(场).​​​​​​​​​​​​​​ 如果有4支球队参加比赛,那么共进行了12场比赛.  (2)设有x支球队参加比赛.依题意,得 x(x-1)=90, 解得=10,=-9(不符合题意,舍去). 答:如果全校一共进行了90场比赛,那么有10支球队参加比赛.  难点一 利用韦达定理整体法求代数式的值 主要针对由一元二次方程可以得到两根之和与积，需要整体法求所给代数式的值。难点集中在不能根据需要变形代数式． 正确步骤：先求出两根之和与两根之积，再根据需要变形代数式。 难点精练 1.已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】由根与系数的关系得，， ． 故选A． 2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】A  【详解】由题意可知，解得， 且，， ， 整理得，解得或， ，． 故选A． 3.若，是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】，是方程的根， ，，， 则原式． 故选C． 难点二 利用韦达定理整体法求参数的值 主要针对由一元二次方程可以得到两根之和与积，需要整体法代入求所给参数的值。难点集中在不能根据需要变形代数式． 正确步骤：先求出两根之和与两根之积，再根据需要整体法代入变形后的代数式，得到含参数的方程，解方程，求得参数。 易错点：漏掉根据判别式舍掉一个值。 难点精练 4.如果方程有实数根且它的两根之差是，那么值可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】设方程的两根分别为，， 原方程两根之差是即，则， 由根与系数的关系得，， ， ，， 经检验，均符合题意，结合选项可知值可能为． 故选D． 5.若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，求的值． 【详解】关于的一元二次方程有两个实数根，， ，即，且，． ，，即， 整理，得，解得，． ，满足题意的的值为或  6.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得：， 的取值范围为． 关于的一元二次方程有两个实数根，， ，． ， 当时，有， 联立解得：，， ，； 当时，有， 联立解得：，不合题意，舍去． 符合条件的的值为．  难点三 一元二次方程的综合应用 主要针对信息量大的实际问题． 正确步骤：认真审题，找准关键信息，分析数量关系，列出方程。 易错点：漏掉关键信息，不能舍弃不合题意得值。 难点精练 7.某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为元盏试销售一段时间后发现，按元盏的价格销售，每周可售出盏当每盏台灯的售价在元之间时，每盏售价每上涨元，每周的销售量将减少盏． 若每盏台灯的售价为元，则每周的销售利润是多少 如果要实现每周的销售利润为元的目标，求每盏台灯的售价． 【详解】(1)解:(46-30)(600-20)=16540=8640(元). 答:若每鉴台灯的售价为46元,则每周的销售利润是8640元. (2)设每盏台灯的售价为x元. 根据题意,得(x-30)(600-20)=10000, 解得=50,=80(不合题意,舍去). 答:每盏合灯的售价为50元. 8.如图，已知正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动动点从点出发，以的速度沿方向向点运动若、两点同时出发，运动时间为． 连接、、，是否存在的值，使得的面积为 当点在边上运动时，是否存在这样的，使得是以为一腰的等腰三角形若存在，求出符合条件的的值若不存在，请说明理由． 【详解】(1)42=2(s),当点P在边BC上时,0t2, 由题意,得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP=2tcm,PC=(4-2t)cm, =---, 16-4t-(4-t)2t-4(4-2t)=11, 整理,得-2t-3=0,解得=-1,=3,都不符合题意,舍去; 当点P在边CD上时,2< t4, 由题意,得AQ=tcm,DP=(8-2t)cm, =BCDP, 4(8-2t)=11,解得t=(不符合题意,舍去). 综上所述,不存在t的值,使PQD的面积为11.  (2)存在.理由如下:由题意,得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP=2tcm,PC=(4-2t)cm(0t2). 当DP=DQ时, DC=DA,A=C=, RtDCPRtDAQ(HL), PC=AQ,即4-2t=t,解得t=; 当PD=PQ时,在RtPBQ中,P=P+B=+, 在RtPCD中,P=P+C=+, +=+, 整理,得+8t-16=0,解得=-4-4(舍去),=4-. 综上所述,当t=或4-4时,PQD是以PD为一腰的等腰三角形.  基础达标 1．下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】A选项xy是二次， B选项符合一元二次方程定义， C选项含有分式， D选项含未知数的最高次项的次数是1，故选B 2．把一元二次方程化成一般形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】原方程可以变形为，，，故选D． 3．用配方法解方程时，左右两边需同时加上的常数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】加的数是一次项系数绝对值的平方的一半。即1，故选A。 4.小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： ，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 小明的解答过程中开始出错的步骤是  (    ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 【答案】C  【详解】解：小明解方程过程开始出错的步骤是第三步，求根公式用错． 故选：． 5.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C  【详解】=（-4）²-4×3×2==-8＜0 ∴方程没有实数根，故选C。 6.已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是 。 【答案】5 【详解】设另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得即另一个根为5. 7．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 。 【答案】 【详解】由题意得，， ． 8.若关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为 。 【答案】0 【详解】设两根为，，则+=-a²+2a 又两个实数根互为相反数 ∴-a²+2a=0 解得a=0或a=2 又（a²-2a）²-4（a-1）≥0 ∴a=0。 9.用合适的方法解方程： ． ． ． ． 【详解】(1)两边同时开平方,得x-5=4,=9,=1.  (2)移项,得-2x=4, 配方,得-2x+1=5, 即=5, 两边同时开平方,得x-1=, =1+,=1-. (3)整理,得-2y(y-1)=0, 因式分解,得(y-1)(y-1-2y)=0, 则y-1=0或-1-y=0, =1,=-1. (4)由原方程可得a=2,b=-7,c=1, =-421=41>0, x==, =,=. 10.解方程， 甲同学的解法如下： 方程两边同除以，得． 甲同学的解法正确吗为什么 对甲同学的解法，你若有不同见解，请写出上述方程的正确解法． 【详解】(1)解:不正确.理由如下: 因为x+5可能等于0,所以方程两边不能同除以(x+5),否则就漏掉了一个根. (2)原方程可化为x(x+5)-3(x+5)=0, (x+5)(x-3)=0, 所以=3,=-. 11.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． 根据题意，得， 解得，舍去． 答：每轮传染中平均一个人传染了个人．  12. 某烧烤店月份盈利万元，月份盈利达到万元． 求该烧烤店这两个月盈利的月平均增长率． 预计该烧烤店月份盈利多少万元． 【详解】(1)设该烧烤店这两个月盈利的月平均增长率为x, 根据题意,得15=, 解得==20%,=-(不合题意,舍去). 答:该烧烤店这两个月盈利的月平均增长率为20%. (2)根据题意,得(1+20%)=(万元). 答:预计该烧烤店8月份盈利万元. 13. （2026·山东烟台中考）20.为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品.已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量件与每件售价元的函数关系如图所示. 求y与x的函数表达式； 文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能地让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元. 【详解】解：设y与x的函数表达式为，  把，代入得：，  解得：，  与x的函数表达式为；  由题意得：，  整理得：，  解得：，，  尽可能的让利于顾客，  不符合题意，舍去，  答：该款文创产品每件的售价为35元．  能力进阶 1．如果方程是关于的一元二次方程，那么的值为． A. B. C. D. 都不对 【答案】C  【详解】由一元二次方程的定义可知解得故选C． 2．若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】可转化为， 由题意得，，解得故选D． 3.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：方程， 整理得：， 配方得：，即． 故选：． 4.若实数，满足，，则的值是          ． 【答案】 或  【详解】当a=b时，原式=2 当a≠b时，a，b可看成方程x²-8x+5=0的两个根，∴a+b=8，ab=5 ∴原式=-20 ∴答案为2或-20 5.若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  【详解】根据题意可知，． 解得：且， 故答案为且．  6.已知关于的一元二次方程． 请判断这个方程根的情况； 若该方程有一个根小于，求的取值范围． 【详解】(1)∵ ， ∴这个方程有两个实数根. (2)x= = =2k-1，=1 ∵该方程有一个根小于 ∴2k-1＜1 ∴  7.安微滁菊以“金蕊玉瓣”的独特品质广受青睐，名列“四大药菊”之首一苗木种植基地计划用一段长的篱笆围成一个矩形花圃，用于种植滁菊，如图，花圃的两边借助足够长的直角墙角，设花圃的长为． 若这个矩形花圃的面积为，求该花圃的长和宽 该苗木种植基地内有一棵石榴树，且这棵石榴树到两面墙，的距离分别为，，要想将这棵石榴树围在花圃内，则该花圃的面积是否可以为 【详解】(1)花圃的长AB为xm,BC=(50-x)m. 根据题意,得x(50-x)=600, 解得x=20或x=. 又AB>BC,x=30, BC=50-x=50-30=20(m). 该花圃的长为30m,宽为20m. (2)根据题意,得x(50-x)=625,解得==. 这棵石榴树到两面墙AD,DC的距离分别为23m,12m,且23m<25m,12m<25m, 该花圃的面积可以为625. 8.为满足社区居民健身的需求，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康福特公司有，两种型号的健身器材可供选择． 康福特公司年每套型健身器材的售价为万元，经过连续两年降价，年每套售价为万元，求每套型健身器材售价的年平均下降率 年市政府经过招标，决定年内采购并安装康福特公司，两种型号的健身器材共套，采购专项经费总计不超过万元，采购合同规定：每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，型健身器材最多可购买多少套 【详解】(1)解:依题意得:=, 则=, 所以1-n=, 所以==20%,=(不合题意,舍去). 答:每套A型健身器材售价的年平均下降率n为20%. (2)设A型健身器材可购买m套,则B型健身器材可购买(80-m)套, 依题意得m+(1-20%)(80-m)112,整理,得m+96-m112, 解得m40, 即A型健身器材最多可购买40套. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $