第11讲 一元二次方程根与系数关系 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第11讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解并掌握根的判别式Δ=b2-4ac与根的情况关系 · 会用判别式判断根的情况及求字母取值范围 · 掌握韦达定理：两根之和=-，两根之积= · 会用韦达定理求关于两根的代数式的值 · 能在实数范围内对二次三项式因式分解 📚 知识梳理 ☆ 1.根的判别式 Δ=b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式 Δ>0：两个不相等的实数根 Δ=0：两个相等的实数根 Δ<0：没有实数根 概念辨析例题：当k为何值时，x2-2x+k-2=0有两个相等实数根？ 解析：Δ=(-2)2-4×1×(k-2)=0，解得k=3 ☆ 2.韦达定理（根与系数关系） 若x2+px+q=0两根为x1、x2，则x1+x2=-p，x1x2=q 一般式ax2+bx+c=0：x1+x2=-，x1x2= 使用前提：方程有实数根（Δ≥0） 韦达定理常用于求对称式的值 概念辨析例题：α、β是x2-2x-5=0两根，求α+β-αβ 解析：α+β=2，αβ=-5，α+β-αβ=2-(-5)=7 ☆ 3.常见对称式变形 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 += (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 x1-x2=± 概念辨析例题：方程x2-3x+1=0两根x1、x2，求x12+x22 解析：x1+x2=3，x1x2=1，x12+x22=32-2×1=7 ☆ 4.二次三项式因式分解 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根 Δ≥0才能在实数范围内分解 Δ<0时在实数范围内不能分解 双二次式（如a4-16b4）用平方差公式 概念辨析例题：在实数范围内分解因式：2x2-3xy-y2 解析：解方程2x2-3xy-y2=0求根，再按a(x-x1)(x-x2)分解 📋 知识总结表 【考点1】一元二次方程的判别式（第1-16题） · 直接算Δ=b2-4ac · 根据Δ符号判断根的情况 · 由根的情况反求字母范围要写Δ≥0或>0 · 注意二次项系数a≠0 1．（2026•香洲区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×5＝49﹣40＝9＞0， 所以方程有两个不相等实数根， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根． 2．（2024秋•盘龙区期末）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】先根据新定义把方程化为一元二次方程，再根据根的判别式的值得到Δ＝（k﹣3）2+4，所以Δ＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【解答】解：关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1化为x2﹣（k﹣3）x＝1， 整理得x2﹣（k﹣3）x﹣1＝0， ∵Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣1） ＝（k﹣3）2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．（2026春•安吉县期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　） A．n2＝2m B．m＝2n2 C．n＝2m2 D．m2＝2n 【分析】根据所给“倍根方程”的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 令关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）的两个实数根为a和b， 则a+b＝3m，ab＝4n． 因为该方程是“倍根方程”， 则不妨令a＝2b， 所以2b+b＝3m， 解得b＝m， 则a＝2m， 所以2m×m＝4n， 整理得，m2＝2n． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的解，理解所给“倍根方程”的定义是解题的关键． 4．（2026•济南）若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ≥0时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0， 解得m≥﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了根据一元二次方程的根情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（2026•成都模拟）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有实数根，则m的值可以是　2（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】根据一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有实数根，得到根的判别式Δ≥0，求出m的取值范围，在范围内取一个符合要求的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2•m≥0， 解得m≤2， ∴m可以取小于等于2的任意实数 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 6．（2026•淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　5　 ． 【分析】根据判别式的值＝0，构建方程求解． 【解答】解：由题意Δ＝0， ∴36﹣4（2m﹣1）＝0， 解得m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 7．（2025秋•金山区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根，则a的取值范围是a　 ． 【分析】根据题意得：根的判别式Δ＜0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4a＜0， ∴a． 故答案为：a． 【点评】本题考查了根的判别式，根据方程根的情况知根的判别式Δ＜0，得出关于a的一元一次不等式是解题的关键． 8．若一个等腰三角形的底边长和腰长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的两个根，则此三角形的周长为　10　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，再根据三角形三边的关系判断等腰三角形的底为2，腰为4，然后计算这个等腰三角形的周长． 【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4， ∵当2为腰，4为底时，2+2＝4，不符合三角形三边的关系， ∴等腰三角形的底为2，腰为4， ∴此等腰三角形的周长＝2+4+4＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系． 9．（2025春•蔡甸区校级期末）若关于x的方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比3小的正实数，则实数m的取值范围是m＝2或　 ． 【分析】对m分类讨论，当二次项系数为零时，检查根是否满足条件；当二次项系数不为零时，因式分解方程，得到两个根，根据根的条件建立不等式组求解． 【解答】解：当4﹣m2＝0时， 解得m＝2或 m＝﹣2， 若m＝2，方程化为4x﹣1＝0，解得 ，满足 0＜x＜3，符合题意， 若m＝﹣2，方程化为﹣4x﹣1＝0，解得，不是正实数，不符合题意； 当4﹣m2≠0 时， 方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0可因式分解为[（2﹣m）x+1][（2+m）x﹣1]＝0， 解得，， 由题意，所有根都是比 3 小的正实数，故需满足： ， 解得不等式组的解集为， 综上，实数m的取值范围是m＝2或． 故答案为：m＝2或． 【点评】本题考查根据一元二次方程的根的情况求参数，解不等式组，注意分类讨论是解题的关键． 10．（2026•沂水县一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝　﹣1　 ． 【分析】根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得a﹣1≠0，据此求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 11．（2025秋•黄浦区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣2且k≠0　 ． 【分析】根据题意得出Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，且k≠0，即可求解． 【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，且k≠0， 解得k≥﹣2且k≠0； 故答案为：k≥﹣2且k≠0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2025秋•辉县市期末）已知一元二次方程x2+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）需要根据判别式Δ＝b2﹣4ac的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，计算Δ并分析当b＞6时Δ的取值即可； （2）先根据判别式求出b的值，再求出方程的根，进而计算三角形的周长，同时要注意三角形三边关系的验证即可． 【解答】证明：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵在方程x2+bx+9＝0中，a＝1，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4×1×9＝b2﹣36， 当b＞6时，b2＞36，则b2﹣36＞0，即Δ＞0， ∴根据判别式的性质，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数； 解：（2）∵等腰三角形的两条腰长是方程x2+bx+9＝0的两个根， ∴方程有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣36＝0， 解得b＝±6， ∵方程的根是三角形的边长， ∴根的和﹣b＞0， ∴b＜0，b＝﹣6， 将b＝﹣6代入方程，得x2﹣6x+9﹣0， ∴因式分解为（x﹣3）2＝0，解得x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的腰长为3，底边长为2，根据三角形周长公式，周长为3+3+2＝8． 【点评】本题考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系，以及等腰三角形性质和三角形三边关系，熟练掌握判别式与根的个数的关联、结合实际情况对参数取舍，是解题的关键． 13．（2025秋•浦东新区校级期中）已知m，n是正实数，关于x的一元二次方程：x2+mx＝n2． （1）判断：方程根的情况． （2）若α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，试比较代数式（2α+m）2与m2+4n2的大小关系． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝m2+4n2，利用得到Δ＞0，然后根据判别式的意义可判断根的情况； （2）利用方程根的定义，将根代入方程得到关系式，再对两个代数式作差比较大小即可． 【解答】解：（1）x2+mx＝n2， ∴x2+mx﹣n2＝0， Δ＝m2﹣4×1×（﹣n2）＝m2+4n2， ∴Δ＞0， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数解； （2）∵α是方程x2+mx＝n2的一个实数根， ∴将x＝α代入方程得：α2+mα﹣n2＝0， 计算（2α+m）2﹣（m2+4n2）＝4α2+4mα+m2﹣m2﹣4n2＝4α2+4mα﹣4n2＝4（α2+mα﹣n2）＝4×0＝0， ∴（2α+m）2＝（m2+4n2）， ∴两式相等． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14．（2024春•越城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，其中m为常数． （1）若x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）当m＝﹣1时，求该方程的根； （3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【分析】（1）将x＝2代入原方程即可求出m的值； （2）根据因式分解法法即可求出方程的根； （3）先根据根的判别式求解m，再根据公式化求解即可． 【解答】解：（1）∵x＝2是该方程的一个根， ∴22﹣2×2+2m﹣1＝0， 解得：m； （2）当m＝﹣1时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （3）∵方程有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0， 解得m≤1， ∵m为正整数， ∴m＝1， 原方程为x2﹣2x+1＝0， ∴（x﹣1）2＝0， ∴x1＝x2＝1． 【点评】本题考查根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（2026•椒江区二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数m为偶数时，设m＝2n（其中n为整数）， m2＝（2n）2＝4n2， 因为n2是整数， 所以m2能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现：（1）奇数的平方被4除余数为　1　 ． 证明过程如下：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数）， … （2）请补全证明过程． 【应用】 （3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由． （注：整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0） 【分析】（1）举例得出结论； （2）设m＝2n+1（其中n为整数），则m2＝（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1，然后得出结论； （3）根据Δ＝b2﹣4ac，分b为偶数和b为奇数，由（1）（2）得出结论． 【解答】解：（1）∵32＝9，9÷4＝2...1； 52＝25，25÷4＝6...1； 72＝49，49÷4＝12...1； ...， ∴奇数的平方被4除余数为1， 故答案为：1； （2）证明：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数）， ∴m2＝（2n+1）2 ＝4n2+4n+1 ＝4（n2+n）+1， ∵n为整数， ∴n2+n为整数， ∴m2被4除余1； （3）小红计算结果不正确，理由： ∵整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0， ∴Δ＝b2﹣4ac， 当b为偶数时，b2能被4整除，4ac也能被4整除； 当b为奇数时，b2能被4整除余1，4ac能被4整除，即b2﹣4ac被4除余1； ∴2026÷4＝506...2，即2026被4除余2，不符合上述情况， ∴小红计算结果不正确． 【点评】本题考查根的判别式，以及归纳猜想，关键是分情况讨论． 【考点2】根与系数的关系（第17-36题） · 先由韦达定理写出x1+x2与x1x2 · 所求代数式变形为只含和与积 · 整体代入求值 · 含参数时先列不等式保证有实根 16．（2026•苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 17．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由，得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键． 18．（2026•长宁县模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两个实数根，若，则m等于（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求根的判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解m，最后根据根的判别式范围舍去不符合的解即可． 【解答】解：由条件可知根的判别式Δ≥0， 即Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2+3）＝﹣4m﹣11≥0， 解得：， 由根与系数的关系，得x1+x2＝1﹣2m，， ∵，且， ∴（1﹣2m）2﹣2（m2+3）＝25， 整理得m2﹣2m﹣15＝0， 解得m＝5或m＝﹣3， ∵，，舍去，符合要求， ∴m＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2025秋•武汉期末）新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”，则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【解答】解：∵mx2﹣（2m+n）x+2n＝0， ∴（mx﹣n）（x﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或mx﹣n＝0， 解得：x1＝2，x2， ∵关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”， ∴分两种情况： 当2＝2时，即m＝n， 此时， 当2×2时，即n＝4m， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 20．（2024秋•宁江区校级月考）下列关于x的方程中，两实数根之和为3的是（　　） A．x2+3x＝2 B．x2﹣3x+4＝0 C．x2﹣3x＝4 D．x2﹣2x﹣3＝0 【分析】利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，逐项判断即可求解． 【解答】解：A、整理得：x2+3x﹣2＝0，Δ＝32﹣4×（﹣2）＝17＞0，该方程有两个不相等实数根，x1+x2＝﹣3，故本选项不符合题意； B、Δ＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7＜0，该方程无实数根，故本选项不符合题意； C、整理得：x2﹣3x﹣4＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣4）＝25＞0，该方程有两个不相等实数根，x1+x2＝3，故本选项符合题意； D、Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16＞0，该方程有两个不相等实数根，x1+x2＝2，故本选项符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 21．（2026春•安庆期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 【分析】通过变量替换，令t＝2x+3，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于x的方程． 【解答】解：令t＝2x+3，则at2+bt+c＝0， ∴t＝﹣1或t＝2， ∴2x+3＝﹣1或2x+3＝2， 解得x＝﹣2或， ∴新方程的解为x1＝﹣2，， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 22．（2026•南京模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　﹣7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，x1+x2＝3，再整体代入到中，即可求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴，x1+x2＝3， ∴ ＝﹣1﹣2×3 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，x1+x2＝3． 23．（2026春•龙泉市期末）设x1，x2分别是一元二次方程ax2+3x+2＝0的两个根，x1+x2＝﹣3，则x1•x2＝　2　 ． 【分析】先根据两根和与一元二次方程系数的关系，求出a，再求出两根的积． 【解答】解：∵x1+x23， ∴a＝1． ∴x1•x22． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 24．（2026•相城区二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　9　 ． 【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，根据方程解的定义得3x1+1＝0，即3x1﹣1，代入所求的式子计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，3x1+1＝0，x1x2＝1， ∴3x1﹣1， ∴3x2+x1x2 ＝3x1﹣1+3x2+1 ＝3（x1+x2） ＝3×3 ＝9． 故填空答案：9． 【点评】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 25．（2024春•双流区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，|0﹣（﹣1）|＝1，则方程x2+x＝0是“邻近根方程”．若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻近根方程”，令t＝b2﹣4a2，则t的最大值为 　　 ． 【分析】设方程ax2+bx+2＝0的两个根为x1，x2，由根与系数得，由新定义得，由此可得b2＝a2+8a，将此代入t，由二次函数的性质即可求解． 【解答】解：设方程ax2+bx+2＝0的两个根为x1，x2， ∴， ∵关于x的方程ax2+bx+2＝0是“邻近根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴， ∴， ∴， 整理得：b2＝a2+8a， ∴t＝b2﹣4a2 ＝a2+8a﹣4a2 ＝﹣3a2+8a ， ∵﹣3＜0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的最值等理解新定义，掌握根与系数的关系，熟练利用完全平方公式进行变形运算是解题的关键． 26．（2026春•江北区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2ax＝2（a﹣1）有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝8，则的值为　4　 ． 【分析】先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出a的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【解答】解：已知关于x的一元二次方程x2+2ax＝2（a﹣1）有两个实数根x1，x2， 将原方程x2+2ax＝2（a﹣1）整理为一般形式得x2+2ax﹣2a+2＝0， ∵方程的两个实数根为x1，x2， 根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣2a+2， 已知x1+x2＝8， ∴﹣2a＝8， 解得a＝﹣4， ∴x1x2＝﹣2×（﹣4）+2＝10， ∵x1是方程的根，将x1代入原方程得， 整理得， 将a＝﹣4代入得， 将，x1x2＝10，x1+x2＝8代入所求代数式得： ， ＝8x1﹣10﹣5×10+8x2 ＝8×（x1+x2）﹣10﹣5×10 ＝8×8﹣10﹣5×10 ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 27．（2026•让胡路区校级模拟）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　25　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合“α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根”，得到α+β＝2，α2＝2α+4，代入α3+8β+1，经过整理变化，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得：α+β＝2，α2＝2α+4， α3+8β+1 ＝α•α2+8β+1 ＝α（2α+4）+8β+1 ＝2α2+4α+8β+1 ＝4α+8+4α+8β+1 ＝8α+8β+9 ＝8（α+β）+9 ＝16+9 ＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 28．（2025•达孜区一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足，求k的值． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣2）xk2﹣2k＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k）＞0，于是得到结论； （2）根据x1+x2＝k﹣2，x1x2k2﹣2k，代入x1x2＝25，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣2）xk2﹣2k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k）＞0， 解得：k＞﹣1． （2）∵x1+x2＝k﹣2，x1x2k2﹣2k， ∵x1x2＝25， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝25， ∴（k﹣2）2﹣3（k2﹣2k）＝25， 解得：k1＝﹣14，k2＝6， ∵k＞﹣1， ∴k＝6． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键． 29．（2026春•通州区期末）已知，关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2，满足，求a的值． 【分析】（1）证明b2﹣4ac＞0即可； （2）通过根与系数关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4（a﹣2） ＝a2﹣4a+8 ＝（a﹣2）2+4， ∵无论a为何实数时（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+4＞0， ∴无论a为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣a，x1x2＝a﹣2， ∵xx2+x1xx1x2（x1+x2）＝﹣3， ∴（a﹣2）×（﹣a）＝﹣3， 化简得a2﹣2a﹣3＝0 解得a＝3或a＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 30．（2025秋•姜堰区期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0的一个根比另一个根大1，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式，再利用非负数的性质得你结论； （2）先求出方程的两个根，再根据一个根比另一个根大1求出m的值． 【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m ＝（m﹣2）2≥0． ∴方程总有实数根； （2）x2﹣（m+2）x+2m＝0， ∴（x﹣m）（x﹣2）＝0． ∴x＝m或x＝2． ∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0的一个根比另一个根大1， ∴m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1． ∴m＝3或m＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识点是解决本题的关键． 31．（2025秋•芜湖期末）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝m2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）设方程的两根分别为t，t+3，利用根与系数的关系得t+t+3＝m+4，t（t+3）＝2m+4，先消去m得到t2+3t＝2（2t﹣1）+4，解得t1＝﹣1，t2＝2，然后计算m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×（2m+4） ＝m2+8m+16﹣8m﹣16 ＝m2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，t+3， 根据根与系数的关系得t+t+3＝m+4，t（t+3）＝2m+4， ∴m＝2t﹣1 t2+3t＝2（2t﹣1）+4， 整理得t2﹣t﹣2＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝2， 当t＝﹣1时，m＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3； 当t＝2时，m＝2×2﹣1＝3， 综上所述，m的值为±3． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根与系数的关系． 32．（2023秋•南海区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0． （1）求证：不论k取何值，方程总有实数根； （2）已知方程的两根为x1x2，且满足，求的值； （3）已知方程的两根为x1，设，求y的最小值． 【分析】（1）根据判别式得Δ＝4（k﹣1）2≥0，据此可得出结论； （2）首先由可得出x1＝x2，据此得关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0有两个相等的实数根，进而得判别式4（k﹣1）2＝0，由此解得k＝1，然后将化简得，最后将k＝1代入进行计算即可得出答案； （3）首先解一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的两根为x＝2k或x＝2，再根据x1＞x2且k判定x1＝2，x2＝2k，然后将其代入之中得到y关于k的二次函数，最后再求出最小值即可． 【解答】（1）证明：∵判别式Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×1×4k ＝4k2﹣8k+4 ＝4（k﹣1）2≥0， ∴不论k取何值，方程总有实数根， （2）解：∵， ∴， 即：x22＝2x1x2， ∴（x1﹣x2）2＝0， ∴x1＝x2， ∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的两个根为x1，x2， ∴关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的两个根相等， ∴判别式4（k﹣1）2＝0， ∴k＝1， ∴ ＝﹣1． （3）将一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0转化为（x﹣2k）（x﹣2）＝0， ∴一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的两根为x＝2k或x＝2， ∵x1＞x2且k， ∴x1＝2，x2＝2k， ∴ ＝（2k）2﹣2k+1 ＝4k2﹣2k+1 ＝4（k）2， ∵4（k）2≥0， ∴4（k）2， ∴y的最小值为． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的最值是解决问题的关键． 33．（2026春•义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的2倍，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝16＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）方程的一根为t，则另一根为2t，利用根与系数的关系得到t+2t＝2m，t•2t＝m2﹣4，解得tm，代入2t2＝m2﹣4，解方程即可求得m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的一根为t，则另一根为2t， 根据题意得t+2t＝2m，t•2t＝m2﹣4， ∴tm，2t2＝m2﹣4， ∴m2＝m2﹣4，即m2＝4 ∴m＝±6． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 34．（2025春•西岗区校级期中）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　3　 ，x1x2＝　﹣1　 ； （2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值； （3）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10，，且c＜10，求c的最大值． 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得m+n＝3，mn＝﹣1，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）由 a+b＝c﹣10，，将a、b看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【解答】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根， ∴利用根与系数的关系得：x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， 故答案为：3，﹣1； （2）∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴利用根与系数的关系得：m+n＝3，mn＝﹣1， ∴； （3）∵a+b＝c﹣10，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∴， ∵c＜10， ∴c﹣10＜0， 则， （c﹣10）3+27≤0， ∴（c﹣10）3≤﹣27， ∴c﹣10≤﹣3， ∴c≤7， ∴c的最大值为7． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当方程有两个不相等的实数根则Δ＞0；当方程有两个相等的实数根则Δ＝0；当方程没有实数根则Δ＜0，正确理解熟记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 【考点3】二次三项式因式分解（第37-42题） · 先求对应方程的根 · 写成a(x-x1)(x-x2) · Δ<0不能在实数范围内分解 · 双二次式用平方差公式 35．（2024春•奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　） A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9 【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p的范围即可． 【解答】解：∵二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式， ∴Δ＝36﹣4p≥0， 解得：p≤9， 故选：A． 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 36．（2023秋•凉州区期末）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　） A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3 C．3x2﹣2xy﹣4y2 D．2x2﹣4x+5 【分析】若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，Δ＝b2﹣4ac≥0，计算各选项中的Δ值，根据Δ的符号判断即可． 【解答】解：A、6x2+x﹣15＝（2x﹣3）（3x+5），故本选项不符合题意； B、3y2+7y+3＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×3×3＝11＞0， ∴方程3y2+7y+3＝0有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、3x2﹣2xy﹣4y2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝52＞0， ∴方程3x2﹣2xy﹣4y2＝0有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、2x2﹣4x+5＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×5＝﹣24＜0， ∴方程2x2﹣4x+5＝0没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即Δ＝b2﹣4ac≥0，正确分析Δ＝b2﹣4ac的符号是解题的关键． 37．把3x2+12xy+11y2在实数范围内进行因式分解． 【分析】先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【解答】解：原式 ＝3（x2+4xy+4y2） 故答案为：． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 38．（2022秋•浦东新区校级期中）在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3． 【分析】先求出方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，再进行因式分解即可． 【解答】解：在方程2x2+4x﹣3＝0中， a＝2，b＝4，c＝﹣3， Δ＝b2﹣4ac＝16+24＝40， ∴， ∴，， ∴． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用求根公式在实数范围内因式分解的方法是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · Δ>0两不等根，Δ=0两等根，Δ<0无实根 · 韦达定理：两根和=-，两根积= · 求对称式先变形为和与积，再整体代入 · 用韦达定理前先验证Δ≥0 · 二次三项式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 【作业 1】（2026•海城区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个实数根x1，x2，若x1•x2＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据根与系数的关系得到x1•x2＝﹣m，所以﹣m＝1，从而可求出m的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1•x2＝﹣m， 而x1•x2＝1， 所以﹣m＝1， 解得m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【作业 2】（2025•呼和浩特二模）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　） A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy 【分析】利用平方差公式对选项进行判断即可． 【解答】解：A．x2+y2，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B．﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C．﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），能利用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； D．x2+2xy，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解的方法是解题关键． 【作业 3】（2026•英德市二模）当k＝　3　 时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣2＝0有两个相等的实数根． 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）＝0，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）＝0， 解得k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【作业 4】（2026•唐河县二模）若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等实数根，则实数k的取值范围是 k＞﹣2且k≠﹣1　 ． 【分析】根据根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题意可知：Δ＝b2﹣4ac＝4+4（k+1）＞0，且k+1≠0， 解得k＞﹣2且k≠﹣1， 故答案为：k＞﹣2且k≠﹣1． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【作业 5】（2026•头屯河区校级模拟）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【解答】解：由条件可知α+β＝2，αβ＝﹣5， ∴α+β﹣αβ＝2﹣（﹣5）＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1，x2，满足，． 【作业 6】（2025秋•青浦区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2＝　2（xy）（xy）　 ． 【分析】将原式分组并配方，利用平方差及完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（x2xyy2） ＝2（x2xyy2y2y2） ＝2[（xy）2y2] ＝2（xyy）（xyy） ＝2（xy）（xy）， 故答案为：2（xy）（xy）． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业 7】（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2+3xy+y2． 【分析】将y看作常数，令﹣2x2+3xy+y2＝0，这是一个关于未知数x的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可得到答案 【解答】解：将y看作常数，令﹣2x2+3xy+y2＝0，这是一个关于未知数x的一元二次方程， ∵2x2﹣3xy﹣y2＝0， ∴Δ＝（﹣3y）2﹣4×2×（﹣y2） ＝9y2+8y2 ＝17y2≥0， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查特殊方法分解因式，涉及二次根式性质等知识，掌握这种特殊的因式分解方法是解决问题的关键． 【作业 8】（2026春•五华县期末）在实数范围内分解因式：a4﹣16b4． 丽华的解题过程如下： 解：原式＝（a2+4b2）（a2﹣4b2）． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【分析】根据因式分解要彻底的原则进行求解． 【解答】解：丽华因式分解的结果不正确， ∵a4﹣16b4 ＝（a2+4b2）（a2﹣4b2） ＝（a2+4b2）（a+2b）（a﹣2b）， ∴丽华因式分解的结果不正确， 【点评】此题考查了因式分解的能力，关键是能准确、彻底的因式分解． 【作业 9】（2025秋•虹口区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 【分析】（1）利用根的判别式Δ≥0，可得出﹣4m+5≥0，解之即可得出实数m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1，结合x1+x2+x1x2＝0，可得出m2﹣2m＝0，解之可得出m的值，再结合m，即可确定结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣1） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4 ＝﹣4m+5≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1， ∵x1+x2+x1x2＝0， ∴﹣（2m﹣1）+m2﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0，m2＝2， 又∵m， ∴m＝0， ∴实数m的值为0． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”． 【作业 10】（2025秋•淇滨区校级期末）若x＝k，代数式ax2+bx+c的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0和2都是x2﹣x的“x优值”． （1）判断代数式x2﹣3x+2是否存在“x优值”，并说明理由； （2）若代数式x2﹣t2+t存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 【分析】（1）根据题意，得到x2﹣3x+2＝x，整理得x2﹣4x+2＝0，根据一元二次方程根的判别式判断该方程有解，即代数式x2﹣3x+2存在“x优值”； （2）当x2﹣t2+t＝x时，整理得x2﹣x﹣t2+t＝0，运用公式法求出方程的两个根，结合它们的差为3，求出t值． 【解答】解：（1）代数式x2﹣3x+2存在“x优值”，理由如下： 当x2﹣3x+2＝x时，x2﹣4x+2＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴代数式x2﹣3x+2存在“x优值”； （2）由条件可知x2﹣x﹣t2+t＝0． ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣t2+t）＝（2t﹣1）2≥0， ∴x1+x2＝1，， ∵， ∴12﹣4（﹣t2+t）＝9， ∴4t2﹣4t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣1， ∴t＝2或t＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，准确地理解题意是解题的关键． 【作业 11】（2026春•长兴县期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+12，则△＞0，从而根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1，再利用乘法公式得到（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算； （3）先根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1，再计算M﹣N得到M﹣N＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2，接着利用整体代入的方法得到M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2，然后利用配方法得到M﹣N＝（k+3）2+4＞0，从而得到M＞N． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+4）2﹣4（2k+1） ＝k2+8k+16﹣8k﹣4 ＝k2+12， ∵k2≥0， ∴k2+12＞0，即△＞0， ∴x2﹣（k+4）x+2k+1＝0总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1， （x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+1﹣2（k+4）+4 ＝2k+1﹣2k﹣8+4 ＝﹣3； （3）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1， ∵M，N＝2﹣x1x2， ∴M﹣N2+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2， ∴M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2 ＝k2+16+8k﹣2k﹣1﹣2 ＝k2+6k+13 ＝（k+3）2+4＞0， ∴M＞N． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 【作业 12】（2023秋•射洪市期末）请阅读以下材料： ①若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2，x1x2，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知x1、x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，34，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，则m的取值范围为 　﹣4＜m＜﹣3或m　 ．（此小问直接填空，不写过程） 【分析】（1）先利用因式分解法解方程得到x1＝﹣7，x2＝﹣2，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2，x1x2，再利用x1+x2+x1x2＝﹣1得到1，则可求得k1＝2，k2＝﹣1，当k＝﹣1时，方程化为x2+3x+2＝0，当k＝2时，方程化为2x2+9x+7＝0， 然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定k的值； （3）利用因式分解法解方程得到x＝m或x＝﹣1，再根据“限根方程”的定义得到m＜﹣1＜0时，34，当﹣1＜m＜0时，34，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：（1）一元二次方程x2+9x+14＝0为“限根方程”． 理由如下： x2+9x+14＝0， （x+7）（x+2）＝0， x+7＝0或x+2＝0， 所以x1＝﹣7，x2＝﹣2， ∵﹣7＜﹣2＜0，34， ∴所以一元二次方程x2+9x+14＝0为“限根方程”； （2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， ∵x1+x2+x1x2＝﹣1， ∴1， 解得k1＝2，k2＝﹣1， 当k＝﹣1时，方程化为x2+3x+2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∵﹣2＜﹣1＜0， 而3， ∴方程化，x2+3x+2＝0不是“限根方程”， 综上所述，k的值为2； 当k＝2时，方程化为2x2+9x+7＝0， 解得x1，x2＝﹣1， ∵1＜0，34， ∴方程化2x2+9x+7＝0是“限根方程”； （3）x2+（1﹣m）x﹣m＝0， （x﹣m）（x+1）＝0， x﹣m＝0或x+1＝0， 解得x＝m或x＝﹣1， 当m＜﹣1＜0时，34，解得﹣4＜m＜﹣3； 当﹣1＜m＜0时，34，解得m， 综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或m． 故答案为：﹣4＜m＜﹣3或m． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1+x2，x1x2，也考查了解一元二次方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解并掌握根的判别式Δ=b2-4ac与根的情况关系 · 会用判别式判断根的情况及求字母取值范围 · 掌握韦达定理：两根之和=-，两根之积= · 会用韦达定理求关于两根的代数式的值 · 能在实数范围内对二次三项式因式分解 📚 知识梳理 ☆ 1.根的判别式 Δ=b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式 Δ>0：两个不相等的实数根 Δ=0：两个相等的实数根 Δ<0：没有实数根 概念辨析例题：当k为何值时，x2-2x+k-2=0有两个相等实数根？ 解析：Δ=(-2)2-4×1×(k-2)=0，解得k=3 ☆ 2.韦达定理（根与系数关系） 若x2+px+q=0两根为x1、x2，则x1+x2=-p，x1x2=q 一般式ax2+bx+c=0：x1+x2=-，x1x2= 使用前提：方程有实数根（Δ≥0） 韦达定理常用于求对称式的值 概念辨析例题：α、β是x2-2x-5=0两根，求α+β-αβ 解析：α+β=2，αβ=-5，α+β-αβ=2-(-5)=7 ☆ 3.常见对称式变形 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 += (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 x1-x2=± 概念辨析例题：方程x2-3x+1=0两根x1、x2，求x12+x22 解析：x1+x2=3，x1x2=1，x12+x22=32-2×1=7 ☆ 4.二次三项式因式分解 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根 Δ≥0才能在实数范围内分解 Δ<0时在实数范围内不能分解 双二次式（如a4-16b4）用平方差公式 概念辨析例题：在实数范围内分解因式：2x2-3xy-y2 解析：解方程2x2-3xy-y2=0求根，再按a(x-x1)(x-x2)分解 📋 知识总结表 内容 公式 注意 判别式 Δ=b2-4ac 前提a≠0 Δ>0 两不等实根 — Δ=0 两相等实根 重根 Δ<0 无实根 — 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 须Δ≥0 对称式 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 整体代入 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的判别式（第1-16题） · 直接算Δ=b2-4ac · 根据Δ符号判断根的情况 · 由根的情况反求字母范围要写Δ≥0或>0 · 注意二次项系数a≠0 1．（2026•香洲区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2024秋•盘龙区期末）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 3．（2026春•安吉县期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程x2﹣3mx+4n＝0（其中m≠0，n≠0）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　） A．n2＝2m B．m＝2n2 C．n＝2m2 D．m2＝2n 4．（2026•济南）若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 5．（2026•成都模拟）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有实数根，则m的值可以是_____________ （写出一个即可）． 6．（2026•淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 _____ ． 7．（2025秋•金山区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0没有实数根，则a的取值范围是____________________ ． 8．若一个等腰三角形的底边长和腰长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的两个根，则此三角形的周长为_______ ． 9．（2025春•蔡甸区校级期末）若关于x的方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比3小的正实数，则实数m的取值范围是____________________ ． 10．（2026•沂水县一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝_______ ． 11．（2025秋•黄浦区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是_____________ ． 12．（2025秋•辉县市期末）已知一元二次方程x2+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 13．（2025秋•浦东新区校级期中）已知m，n是正实数，关于x的一元二次方程：x2+mx＝n2． （1）判断：方程根的情况． （2）若α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，试比较代数式（2α+m）2与m2+4n2的大小关系． 14．（2024春•越城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0，其中m为常数． （1）若x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）当m＝﹣1时，求该方程的根； （3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 15．（2026•椒江区二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数m为偶数时，设m＝2n（其中n为整数）， m2＝（2n）2＝4n2， 因为n2是整数， 所以m2能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现：（1）奇数的平方被4除余数为_____ ． 证明过程如下：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数）， … （2）请补全证明过程． 【应用】 （3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由． （注：整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0） 【考点2】根与系数的关系（第17-36题） · 先由韦达定理写出x1+x2与x1x2 · 所求代数式变形为只含和与积 · 整体代入求值 · 含参数时先列不等式保证有实根 16．（2026•苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 17．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 18．（2026•长宁县模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两个实数根，若，则m等于（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 19．（2025秋•武汉期末）新定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+2n＝0是“倍根方程”，则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（2024秋•宁江区校级月考）下列关于x的方程中，两实数根之和为3的是（　　） A．x2+3x＝2 B．x2﹣3x+4＝0 C．x2﹣3x＝4 D．x2﹣2x﹣3＝0 21．（2026春•安庆期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 22．（2026•南京模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为_______ ． 23．（2026春•龙泉市期末）设x1，x2分别是一元二次方程ax2+3x+2＝0的两个根，x1+x2＝﹣3，则x1•x2＝_____ ． 24．（2026•相城区二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则_____ ． 25．（2024春•双流区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，|0﹣（﹣1）|＝1，则方程x2+x＝0是“邻近根方程”．若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻近根方程”，令t＝b2﹣4a2，则t的最大值为 ___________________ ． 26．（2026春•江北区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2ax＝2（a﹣1）有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝8，则的值为_____ ． 27．（2026•让胡路区校级模拟）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 _______ ． 28．（2025•达孜区一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足，求k的值． 29．（2026春•通州区期末）已知，关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2，满足，求a的值． 30．（2025秋•姜堰区期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0的一个根比另一个根大1，求m的值． 31．（2025秋•芜湖期末）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值． 32．（2023秋•南海区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0． （1）求证：不论k取何值，方程总有实数根； （2）已知方程的两根为x1x2，且满足，求的值； （3）已知方程的两根为x1，设，求y的最小值． 33．（2026春•义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的2倍，求m的值． 34．（2025春•西岗区校级期中）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝_____ ，x1x2＝_______ ； （2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值； （3）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10，，且c＜10，求c的最大值． 【考点3】二次三项式因式分解（第37-42题） · 先求对应方程的根 · 写成a(x-x1)(x-x2) · Δ<0不能在实数范围内分解 · 双二次式用平方差公式 35．（2024春•奉贤区期末）如果二次三项式x2﹣6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（　　） A．p≤9 B．p≥9 C．p＜9 D．p＞9 36．（2023秋•凉州区期末）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　） A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3 C．3x2﹣2xy﹣4y2 D．2x2﹣4x+5 37．把3x2+12xy+11y2在实数范围内进行因式分解． 38．（2022秋•浦东新区校级期中）在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•海城区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个实数根x1，x2，若x1•x2＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【作业 2】（2025•呼和浩特二模）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　） A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy 【作业 3】（2026•英德市二模）当k＝_____ 时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣2＝0有两个相等的实数根． 【作业 4】（2026•唐河县二模）若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等实数根，则实数k的取值范围是 ______________ ． 【作业 5】（2026•头屯河区校级模拟）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为_____ ． 【作业 6】（2025秋•青浦区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2＝____________________ ． 【作业 7】（2023秋•青浦区期中）在实数范围内因式分解：﹣2x2+3xy+y2． 【作业 8】（2026春•五华县期末）在实数范围内分解因式：a4﹣16b4． 丽华的解题过程如下： 解：原式＝（a2+4b2）（a2﹣4b2）． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【作业 9】（2025秋•虹口区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 【作业 10】（2025秋•淇滨区校级期末）若x＝k，代数式ax2+bx+c的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0和2都是x2﹣x的“x优值”． （1）判断代数式x2﹣3x+2是否存在“x优值”，并说明理由； （2）若代数式x2﹣t2+t存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 【作业 11】（2026春•长兴县期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 【作业 12】（2023秋•射洪市期末）请阅读以下材料： ①若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2，x1x2，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知x1、x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，34，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，则m的取值范围为 ____________________ ．（此小问直接填空，不写过程） 复习建议 · Δ>0两不等根，Δ=0两等根，Δ<0无实根 · 韦达定理：两根和=-，两根积= · 求对称式先变形为和与积，再整体代入 · 用韦达定理前先验证Δ≥0 · 二次三项式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $