第2讲 平行线分线段成比例 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第2讲 平行线分线段成比例 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平行线分线段成比例基本事实，能写出正确的对应比例式 · 掌握定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所得线段成比例 · 会借助辅助平行线构造基本图形求线段长 · 能运用平行线分线段成比例解决作图与综合压轴问题 · 综合运用比例、相似与全等知识解决几何计算与证明 📚 知识梳理 ☆ 1.平行线分线段成比例基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 常用比例式：=，=，= 书写时注意对应关系：上比上=下比下，左比左=右比右 “一组平行线”可以是三条或多条平行线，截线可以是任意两条直线 概念辨析例题：如图，两条直线被三条平行线所截，已知AD∥BE∥CF，若AB：BC＝2：3，DE＝4，则EF的长为（C）6 解析：由基本事实=，即=，解得EF=6 ☆ 2.定理的推论（三角形中） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 在△ABC中，DE∥BC⇒=，= 推论常与中线、中点结合：过中点作平行线可得出中位线关系 已知比例与部分线段长时，设未知数列方程求解 概念辨析例题：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（B）4 解析：由DE∥BC得=，即=，解得AE=4 ☆ 3.辅助平行线构造基本图形 过关键点（中点、分点）作目标直线的平行线，把复杂图形转化为基本图形 如过点D作DG∥BF，过点B作BG∥DF，取BF中点H连接DH等 辅助线目的是把一条线段按已知比例划分，或转移比例关系 多条平行线可连续使用两次比例关系，得到线段间传递关系 概念辨析例题：如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，求的值 解析：过D作DG∥BF交AC于G，则AF=FG=GC，故= ☆ 4.综合应用与作图 网格作图：利用平行线分线段成比例在格点上找分点（如AF：CF＝2：1） 角平分线分线段成比例：AD平分∠BAC⇒= 将军饮马等最值问题常与对称、等边三角形结合 压轴题常综合比例、相似、全等、勾股定理与二次函数最值 概念辨析例题：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长 解析：AC=10，由角平分线分线段成比例==得BD=3，AD=3，周长=6+3+3=9+3 📋 知识总结表 【考点1】平行线分线段成比例定理1求线段长（第1-8题） · 由基本事实直接写比例式，代入已知线段求解 · 两条平行截线时找准对应顶点，避免对应错误 · 生活图形（书法格线、五线谱等）先抽象为三条平行线模型 · 涉及中点与平行时考虑连续使用两次比例关系 1．（2026•汉台区二模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC的长为（　　） A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【解答】解：过点A作AE⊥CE于点E，如图， ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，则， ∴， 即， ∴AC＝12， ∴BC＝12﹣4＝8（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 2．（2026•禄丰市模拟）如图，两条直线被三条平行线所截，已知AD∥BE∥CF，若AB：BC＝2：3，DE＝4，则EF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴，即， 解得：EF＝6， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（2026•靖江市校级三模）如图，直线AB∥CD∥EF，AC：CE＝3：2，则DG：AB＝（　　） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．4：9 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得，进而可得的值，由DG∥AB可得即可求解． 【解答】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC：CE＝3：2， ∴， 设AG＝3k，GF＝2k，则AF＝AG+GF＝5k， ∴， ∵DG∥AB， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 4．（2025秋•顺义区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5分别与这三条直线交于点A，C，E和点B，D，F．若，则的值为　　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可求解． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 5．（2026春•滨城区校级月考）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝1.5，DE＝2，则DF的长为　5　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，将AB＝1，BC＝1.5，DE＝2代入比例式中进行计算，得出EF＝3，即可求出结论． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF，直线l1、l2与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F， ∴， ∵AB＝1，BC＝1.5，DE＝2， ∴， ∴EF＝3， ∴DF＝DE+EF＝2+3＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 6．（2025秋•永兴县期末）如图，AD∥BE∥FC，AB：BC＝2：3，DF＝15，则EF的长度是　9　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：∵AD∥BE∥FC， ∴，即， 解得：EF＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 7．（2023秋•顺义区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，求的值． 【分析】过点D作DG∥BF，交AC边于G，再根据D为BC中点可得出，；同理求得，从而得出AF＝FG＝GC，即可得出的值． 【解答】解：过点D作DG∥BF，交AC边于G，如图所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴D为BC中点， ∴， ∵DG∥BF， ∴，即：， 又∵E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF， ∴，即：， ∴AF＝FG＝GC， ∴． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 8．（2024秋•永春县校级月考）已知：如图，a∥b∥c，AG＝3，GD＝2，DF＝4，BG＝6，求CG，EC的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】解：∵a∥b∥c， ∴，， ∵AG＝3，GD＝2，DF＝4，BG＝6， ∴AD＝AG+GD＝5， ∴，， ∴CG＝4， ∴， ∴EC＝8， ∴CG＝4，EC＝8． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 【考点2】平行线分线段成比例定理2求线段（第9-17题） · 三角形中DE∥BC用推论列比例式 · 设未知数表示线段，利用整体线段和差列方程 · 中点、中线出现时优先取中点或作平行线转移比例 · 综合题注意与相似三角形、中位线定理结合 9．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD＝2，BD＝3，AC＝10， ∴， ∴AE＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确记忆行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题关键． 10．（2025秋•宽甸县期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的．某条直线分别与横线l1，l3，l4交于点A，B，C，若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】过点A作AE⊥过点C的横线于E，交过点B的横线于D，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥过点C的横线于E，交过点B的横线于D， ∵BD∥CE， ∴， ∴， 解得：BC， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 11．（2026春•淮南月考）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】取BF的中点H，连接DH，则DH是△BCF的中位线，可得，再证明△AEF∽△DEH得到，则，据此可得答案． 【解答】解：如图所示，取BF的中点H，连接DH， 由条件可知， ∵AD是△ABC的中线，即点D是BC的中点， ∴DH是△BCF的中位线， ∴， ∴∠EAF＝∠EDH，∠EFA＝∠EHD， ∴△AEF∽△DEH， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2026春•滨城区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，若，DE＝6，则EF等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【分析】由l1∥l2∥l3，得，然后代入即可求解． 【解答】解：根据平行线分线段成比例定理可知： ， ∴， ∴EF＝9， 故选：D． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 13．（2022秋•句容市期末）如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE．如果，那么窗口的高AB等于 　2　 米． 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，由此即可得到答案． 【解答】解：在△ACD中，BE∥AD， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 14．（2025秋•衡南县期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝12，DB＝6，AE＝8，则EC的长为 　4　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 即， ∴EC＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 15．（2025秋•柘城县月考）如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，BC与EF相交于点O． （1）如果AB＝4，BC＝8，DF＝12，求DE的长； （2）如果BO：CO＝3：2，BE＝25，求CF的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，则EF＝2DE，再根据DE+EF＝DF＝12代入计算即可得； （2）先证出△BOE∽△COF，再根据相似三角形的性质即可得． 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，AB＝4，BC＝8， ∴， ∴， ∴EF＝2DE， ∵DE+EF＝DF＝12， ∴DE+2DE＝12， ∴DE＝4； （2）∵l2∥l3，BO：CO＝3：2，BE＝25， ∴△BOE∽△COF， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 16．（2026•长春三模）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交边DC于点F，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．求证：PM＝QM． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若MN＝4，则线段QR的长为 　8　 ； （2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC＝10，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为 　2　 ． 【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证； [结论应用]（1）根据平行线分线段成比例得出，，进而得到MN是△PQR的中位线，即可求解； （2）根据（1）的结论得出MN是△PQR的中位线，当P为中点时得出△PBC的周长的最小值为24，进而勾股定理即可求解． 【解答】[问题原型]证明：∵点E为边AB的中点， ∴AE＝BE， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∵EF∥AD， ∴AD∥EF∥BC， ∴， ∴PM＝QM， [结论应用]（1）解：根据题意可得AD∥EF∥BC， ∴，， ∴QR＝2MN＝8， 故答案为：8． （2）解：如图所示， 作点C关于AD的对称点，连接PG，BG，DG， ∴PB+PC＝PB+PG≥BG， 当P在BG上时，取得最小值， 又∵PD∥BC，D是CG的中点， ∴PD是BC的中位线， ∴P是AD的中点，则PB＝PG＝PC， 即当P顶点是AD 中点时，三角形PBC的面积取得最小值， ∵根据（1）的结论得出MN是△PQR的中位线，BC＝10，且△PMN周长的最小值为12， ∴△PBC的周长为24， ∴，PB+PC＝24﹣10＝14， ∴PB＝7， ∴． 故答案为：2． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，轴对称的性质求线段的最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（2025秋•怀化期中）如图，若直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果AB＝5，BC＝8，EF＝7，求DE的长； （2）如果DE：EF＝3：4，AC＝21，求AB的长． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到AB：BC＝DE：EF，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出AB：BC＝DE：EF＝3：4，得到AB：AC＝3：7，即可求出AB长． 【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF， ∴AB：BC＝DE：EF， ∵AB＝5，BC＝8，EF＝7， ∴5：8＝DE：7， ∴DE； （2）∵AD∥BE∥CF， ∴AB：BC＝DE：EF， ∵DE：EF＝3：4， ∴AB：AC＝3：7， ∵AC＝21， ∴AB＝9． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是由AD∥BE∥CF，得到AB：BC＝DE：EF． 【考点3】定理求作线段（第18-23题） · 网格作图：利用格点间比例关系找分点（平行线截比例线段） · 角平分线用尺规作图，垂直平分线、对称点作图要规范 · 将军饮马：作对称点把同侧问题转成两侧连接问题 · 最值问题确定路径后常结合等边三角形、勾股定理求值 18．（2025秋•鼓楼区期末）如图，BC∥EF∥AD，BE：AE＝2：1，若AD长为12，则EF长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【解答】解：∵BC∥EF， ∴2， ∵EF∥AD， ∴， ∵AD＝12， ∴， ∴EF＝8． 故选：C． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握比例线段的对应关系是关键． 19．（2026•南岗区校级模拟）如图，AB∥CD∥EF，AD＝8，BC＝DF＝5，则CE的长为（　　） A． B．3 C．4 D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AD＝8，BC＝DF＝5， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 20．（2025春•龙湾区期中）如图是由7×6的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中△ABC的三个顶点都是格点，E是BC上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）直接写出边AC的长＝ 　　 ； （2）在图中画格点D，使四边形ACBD是平行四边形；再在线段AD上画点F，使得S四边形DBEF＝S四边形FECA． 【分析】（1）利用勾股定理计算即可． （2）结合平行四边形的判定可确定点D的位置；连接CD交AB于点O，连接EO并延长，交AD于点F，则点F即为所求． 【解答】解：（1）由勾股定理得，AC． 故答案为：． （2）如图，点D即为所求． 连接CD交AB于点O，连接EO并延长，交AD于点F， 则点F即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（2025秋•青羊区校级月考）在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，若C为斜边BF上一点，且CA＝CB，CD⊥BF，交射线BA于点D，过D作DE＝DA，交直线AC于点E． （1）如图1，当C，E重合时，求∠ACB度数； （2）如图2，当E在线段AC上时，连接BE，猜想DE和BE的位置关系，并说明理由； （3）当时，求CB2的值． 【分析】（1）连接DF，利用HL可证得Rt△ADF≌Rt△CDF，于是可得AF＝CF，由等边对等角可得∠B＝∠BAC，由直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠AFB＝90°，结合∠BAC+∠CAF＝90°，进而可得∠AFB＝∠CAF，由等角对等边可得CF＝AC，进而可得AF＝CF＝AC，则△AFC是等边三角形，于是可得∠ACF＝60°，然后利用邻补角互补即可求出∠ACB的度数； （2）连接DF，由等边对等角可得∠ABC＝∠BAC，由直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠AFB＝90°，结合∠BAC+∠CAF＝90°，进而可得∠AFB＝∠CAF，由等角对等边可得CF＝CA，进而可得CF＝CB，由线段垂直平分线的性质可得BD＝FD，由等边对等角可得∠ABF＝∠DFB，∠BAC＝∠AED，由三角形外角的性质可得∠BDE＝∠BAC+∠AED＝2∠ABC，∠FDA＝∠ABC+∠DFB＝2∠ABC，进而可得∠BDE＝∠FDA，利用SAS可证得△BDE≌△FDA，则∠BED＝∠FAD＝∠BAF＝90°，于是结论得证； （3）同（2）方法可得△BDE≌△FDA，∠BED＝90°，由全等三角形的性质可得FA＝BE，DA＝DE，进而可得，，由勾股定理可得，则，由勾股定理可得，由（2）可得CF＝CB，即，于是可得，由此得解． 【解答】解：（1）如图1，CD⊥BF，连接DF， ∴∠DCF＝∠BAF＝90°， ∴△ADF和△CDF是直角三角形， 在Rt△ADF和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△CDF（HL）， ∴AF＝CF， ∵CA＝CB， ∴∠B＝∠BAC， ∵∠BAF＝90°， ∴∠BAC+∠CAF＝90°，∠B+∠AFB＝90°， ∴∠AFB＝∠CAF， ∴CF＝AC， ∴AF＝CF＝AC， ∴△AFC是等边三角形， ∴∠ACF＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ACF＝120°； （2）DE⊥BE；理由如下： 如图2，CA＝CB，连接DF， ∴∠ABC＝∠BAC， ∵∠BAF＝90°， ∴∠BAC+∠CAF＝90°，∠B+∠AFB＝90°， ∴∠AFB＝∠CAF， ∴CF＝CA， ∴CF＝CB， 又∵CD⊥BF， ∴BD＝FD， ∴∠ABF＝∠DFB， ∵DE＝DA， ∴∠BAC＝∠AED， ∴∠BDE＝∠BAC+∠AED＝2∠BAC＝2∠ABC， ∵∠FDA＝∠ABC+∠DFB＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ABC＝2∠ABC， ∴∠BDE＝∠FDA， 在△BDE和△FDA中， ， ∴△BDE≌△FDA（SAS）， ∴∠BED＝∠FAD＝90°， ∴DE⊥BE； （3）如图3， 同（2）方法可得△BDE≌△FDA，∠BED＝90°， ∴FA＝BE，DA＝DE， ∵， ∴，， 在直角三角形BDE中，由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形ABF中，由勾股定理得：， 由（2）可得：CF＝CB， 即：， ∴． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质（HL和SAS），等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，等边三角形的判定与性质，利用邻补角互补求角度，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，勾股定理，线段的和与差，二次根式的运算等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（2026•道里区校级模拟）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．△ACB的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作△ACB的角平分线CD； （2）在图②中的AC边上找到一点F，使AF：CF＝2：1，连接BF，并直接写出tan∠FBC的值． 【分析】（1）取格点E，使CE＝AC＝5，连接AE，取AE的中点F，连接CF交AB于点D，则CD即为所求． （2）分别取格点G，H，使AG：CH＝2：1且AG∥CH，连接GH交AC于点F，则点F即为所求．由题意可得FG：FH＝2：1，GH＝4，则FH，进而可得tan∠FBC． 【解答】解：（1）如图①，由勾股定理得AC， 取格点E，使CE＝AC＝5，连接AE，取AE的中点F，连接CF交AB于点D， 则CD即为所求． （2）如图②，分别取格点G，H，使AG：CH＝2：1且AG∥CH，连接GH交AC于点F， 此时△AFG∽△CFH， ∴AF：CF＝FG：FH＝AG：CH＝2：1， 则点F即为所求． ∵FG：FH＝2：1，GH＝4， ∴FH， ∴tan∠FBC． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（2025秋•台山市期末）综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如图1，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】 （1）如图2，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使AC+BC最短． 【问题解决】 （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图3，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如图4，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝6km，请在备用图5中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【分析】（1）直接连接AB交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点A1，连接A1B交l于点C即可； （3）分别作出点A关于OM、ON的对称点B，C，连接BC分别交OM、ON于点D，E，连接AD、AE，则线段AD，DE，EA之和即为所求最短路径，结合题意易证△OBC为等边三角形，从而求解． 【解答】解：（1）直接连接AB交直线l于点C即可，如图，点C即为所求； （2）作A关于l的对称点A1，连接A1B交l于点C即可，如图，点C即为所求； （3）分别作出点A关于OM、ON的对称点B，C，连接BC分别交OM、ON于点D，E，连接AD、AE，则线段AD，DE，EA之和即为所求的最短路径． 由题意，得OB＝OA＝OC＝6， ∠BOD＝∠AOD， ∠COE＝∠AOE， ∵∠MON＝∠AOD+∠AOE＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE＝60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴BC＝OB＝6km， ∴AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝6km， ∴整个过程所行的路程为6km． 【点评】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． 【考点4】创新及压轴题（第24-27题） · 角平分线分线段成比例定理：先证后用的证明题按思路补全 · 动点问题用含x代数式表示线段，构造二次函数求最值 · 多平行线问题列出所有对应比例式，选择有用关系 · 综合题从已知比例出发，逐步求出所需线段 24．（2024•朝阳区校级开学）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作CE∥DA．交线段BA的延长线于点E．… 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 　9+3　 ． 【分析】（1）如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，由∠1＝∠2得∠ACE＝∠E，所以AE＝AC，可得结论； （2）先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用（1）中的结论得到，则可计算出BD，然后利用勾股定理计算出AD，从而可得到△ABD的周长． 【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E， ∵CE∥AD， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴； （2）解：如图3，∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°， ∴AC＝10， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴BDBC＝3， ∴AD3， ∴△ABD的周长＝3+6+39+3． 故答案为：9+3． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 25．（2026•皇姑区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S． （1）用含x的代数式表示AD的长； （2）求S与x的函数表达式，并求S的最大值． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例，用含x的代数式表示出CD，进一步表示出AD的长即可； （2）用x表示出S，再根据二次函数最值的求解方法即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为PD∥AB， 所以． 又因为AC＝3，BC＝4，CP＝x， 则， 所以CD， 所以AD＝3（0＜x＜4）； （2）因为∠C＝90°，，CP＝x， 所以S， 则当x＝2时，S有最大值，最大值为． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例及二次函数的应用，熟知平行线分线段成比例及求二次函数最值的方法是解题的关键． 26．（2025秋•北海期末）如图，a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知AD＝2，DF＝1，CE＝1.2，求线段BE的长． 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【解答】解：∵AD＝2，DF＝1， ∴AF＝AD+DF＝3， ∵a∥b∥c，CE＝1.2， ∴， 即， ∴BE＝3.6， 答：线段BE的长为3.6． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键． 27．（2025秋•昌黎县期中）如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到DE的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由DE：EF＝2：3得到，即，即可得到AB的长， 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝4，BC＝8，EF＝12， ∴， 解得：DE＝6； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵， ∴， 解得：AB＝10． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2024秋•嘉兴期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为　　 ． 【分析】先求出CF＝6，再根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：∵GF＝4，AC＝3，CG＝2， ∴CF＝6， ∵AB∥CD∥EF， ∴若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 2】（2025秋•大连期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，AE＝6，则AC的长为 　8　 ． 【分析】由DE∥BC，AD＝9，DB＝3，得，而AE＝6，则ECAE＝2，所以AC＝AE+EC＝8，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3， ∴， ∵AE＝6， ∴ECAE6＝2， ∴AC＝AE+EC＝6+2＝8， 故答案为：8． 【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理，推导出是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•龙华区校级期中）如图，△ABC的边AC上有一点E，EF是△ABE的中线，FE的延长线与射线BC交于点D，且BC＝2CD，则的值为　　 ． 【分析】过点F作FG∥AC，交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理得，BG＝GC，进而得BG＝GC＝CD，再根据相似三角形的判定与性质得，S△DGF＝4S△DCE，进而得S四边形FGCE＝3S△DCE，S△FBG＝2S△DCE，再根据相似三角形的判定与性质得S△ABC＝8S△DCE，进而得S△AFE＝3S△DCE，即可求解． 【解答】解：△ABC的边AC上有一点E，EF是△ABE的中线，FE的延长线与射线BC交于点D， 如图，过点F作FG∥AC，交BC于点G， ∵FG∥AC，由题意可得：， ∴BG＝GC， 又∵BC＝2CD， ∴BG＝GC＝CD， ∵FG∥EC， ∴△DCE∽△DGF， ∴， ∴S△DGF＝4S△DCE， ∴S四边形FGCE＝SDGF﹣S△DCE＝3S△DCE， 又∵， ∴， ∴， ∵FG∥AC， ∴， ∴S△ABC＝4S△FBG＝8S△DCE， ∴S△AFE＝S△ABC﹣S△FBG﹣S四边形FGCE＝3S△DCE， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 【练习 4】（2025秋•桐城市期中）如图，在△ABC中，延长CB至点D使得BD＝BC，点E是AB的中点，连接DE并延长交AC于点F，求的值． 【分析】过点B作BG∥DF交AC于点G．由平行线分线段成比例得到，，结合中点从而得，，由此证得AF＝FG＝CG即可求出结果． 【解答】解：过点B作BG∥DF交AC于点G，如图， ∴，． 又∵BD＝BC，点E是AB的中点， ∴， ∴AF＝FG＝CG． ∴． 【点评】此题考查平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 基本事实写比例式要找准对应线段，上比上、下比下 · 三角形中DE∥BC用推论= · 过中点或分点作平行线是构造基本图形的常用辅助线 · 设未知数结合线段和差列方程，是求线段长的通法 · 综合题先画图标量，再结合相似、全等与勾股定理求解 【作业 1】（2025秋•青龙县期末）如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已知最上层与中间层的垂直距离为BD＝30cm，中间层与最下层的垂直距离为DF＝45cm，BC∥DE∥FG，CE＝50cm，则线段CG的长为（　　） A．75cm B．105cm C．120cm D．125cm 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：∵BC∥DE∥FG， ∴， ∵BD＝30cm，DF＝45cm，CE＝50cm， ∴， ∴CG＝125cm． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【作业 2】（2026•云南模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，若AD：DB＝1：2，AE＝4，则AC的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可求出EC的长，再将其代入AC＝AE+EC中，即可求出AC的长． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴，即， ∴EC＝8， ∴AC＝AE+EC＝4+8＝12． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【作业 3】（2024秋•怀化期末）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合AB∥CD∥EF，逐个判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， 故A错误，该选项不符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴， 故B错误，该选项不符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴， 故C错误，该选项不符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴， 故D正确，该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解答本题的关键． 【作业 4】（2025秋•宝山区月考）如图，直线l1和直线l2分别与直线AD、BE、CF相交于点A、D、B、E、C、F，其中：AD∥BE∥CF，若AB：BC＝2：3，DF＝10，则EF的长为　6　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得DE：EF＝AB：BC＝2：3，进而可设DE＝2a，EF＝3a，再根据DF＝DE+EF＝5a＝10得a＝2，由此即可得出EF的长． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴DE：EF＝AB：BC， ∵AB：BC＝2：3， ∴DE：EF＝2：3， 设DE＝2a，EF＝3a， ∵DF＝DE+EF＝5a， ∵DF＝10， ∴5a＝10， 解得：a＝2， ∴EF＝3a＝6． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 【作业 5】（2023秋•沂南县期末）如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 　①②④　 ． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∴，，，， 故①②④正确；③错误； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解答本题的关键在于掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 【作业 6】（2025秋•浦口区校级月考）如图，已知l1∥l2∥l3，若，DE＝6，则DF＝　10　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴DF＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【作业 7】（2026•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，BD是AC边上的中线，点E是BD边上的一点，连接CE并延长，交AB于点F．若，，则BF的长为　　 ． 【分析】过点D作DN∥CF交AB于点N，过点A作AG⊥BC于点G，交BD于点H，根据平行线分线段成比例可得，，设AN＝NF＝7x，则BF＝10x，则，然后证明DG为△ABC的中位线，则△DGH∽△BAH，求出，，则，，那么，，即可求解BF． 【解答】解：过点D作DN∥CF交AB于点N，过点A作AG⊥BC于点G，交BD于点H， ∵DN∥CF，BD是AC边上的中线， ∴，， ∴设AN＝NF＝7x，则BF＝10x， ∴AB＝AN+NF+BF＝24x， ∴， 由条件可知， ∵AD＝DC， ∴DG为△ABC的中位线， ∴， ∴△DGH∽△BAH， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 8】（2024秋•赫章县期末）如图，AD∥BE∥CF，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，AC＝15，求BC的长． 【分析】由AD∥BE∥CF，可得，即，由AB+BC＝15，计算求解即可． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF，交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F， ∴， 解得，， ∵AB+BC＝15，即， 解得，BC＝9． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业 9】（2026•沙坪坝区校级一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD，取CD的中点M，连接AM，过D作AM的垂线，交AM于点E，交BC于点N．则点N也是线段BC的中点． （1）用尺规完成以下基本作图：过D作AM的垂线，交AM于点E，交BC于点N（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，某小组发现点N也是线段BC的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°． ∵DE⊥AM， ∴∠AED＝90°（①　垂线的定义　 ）， 又∵∠MAD+∠AED+∠ADE＝180° ∴②　∠MAD+∠ADE＝90°　 ． 又∵∠ADE+∠NDC＝90°， ∴∠MAD＝∠NDC， 在△ADM与△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（ASA）． ∴③DM＝CN ． ∵M为CD中点， ∴， 又∵④CD＝BC ， ∴， ∴点N是线段BC的中点． 【分析】（1）根据作垂线的方法画图即可； （2）根据正方形的性质以及全等三角形的判定结合证明步骤完成证明即可． 【解答】（1）根据作垂线的方法画图，垂线DN如下： （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°． ∵DE⊥AM， ∴∠AED＝90°（①垂线的定义）， 又∵∠MAD+∠AED+∠ADE＝180°， ∴②∠MAD+∠ADE＝90°， 又∵∠ADE+∠NDC＝90°， ∴∠MAD＝∠NDC， 在△ADM与△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（ASA）， ∴③DM＝CN， ∵M为CD中点， ∴， 又∵④CD＝BC， ∴， ∴点N是线段BC的中点． 故答案为：垂线的定义；∠MAD+∠ADE＝90°；DM＝CN；CD＝BC． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 10】（2025•渭滨区校级模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，DF＝16，求EF的长． 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【解答】解：由条件可知， ∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DF＝16， ∴， ∴EF＝10． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 平行线分线段成比例 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平行线分线段成比例基本事实，能写出正确的对应比例式 · 掌握定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所得线段成比例 · 会借助辅助平行线构造基本图形求线段长 · 能运用平行线分线段成比例解决作图与综合压轴问题 · 综合运用比例、相似与全等知识解决几何计算与证明 📚 知识梳理 ☆ 1.平行线分线段成比例基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 常用比例式：=，=，= 书写时注意对应关系：上比上=下比下，左比左=右比右 “一组平行线”可以是三条或多条平行线，截线可以是任意两条直线 概念辨析例题：如图，两条直线被三条平行线所截，已知AD∥BE∥CF，若AB：BC＝2：3，DE＝4，则EF的长为（C）6 解析：由基本事实=，即=，解得EF=6 ☆ 2.定理的推论（三角形中） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 在△ABC中，DE∥BC⇒=，= 推论常与中线、中点结合：过中点作平行线可得出中位线关系 已知比例与部分线段长时，设未知数列方程求解 概念辨析例题：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（B）4 解析：由DE∥BC得=，即=，解得AE=4 ☆ 3.辅助平行线构造基本图形 过关键点（中点、分点）作目标直线的平行线，把复杂图形转化为基本图形 如过点D作DG∥BF，过点B作BG∥DF，取BF中点H连接DH等 辅助线目的是把一条线段按已知比例划分，或转移比例关系 多条平行线可连续使用两次比例关系，得到线段间传递关系 概念辨析例题：如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，求的值 解析：过D作DG∥BF交AC于G，则AF=FG=GC，故= ☆ 4.综合应用与作图 网格作图：利用平行线分线段成比例在格点上找分点（如AF：CF＝2：1） 角平分线分线段成比例：AD平分∠BAC⇒= 将军饮马等最值问题常与对称、等边三角形结合 压轴题常综合比例、相似、全等、勾股定理与二次函数最值 概念辨析例题：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长 解析：AC=10，由角平分线分线段成比例==得BD=3，AD=3，周长=6+3+3=9+3 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 基本事实 两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例 找准对应线段 常用比例式 = 上比上=下比下 三角形推论 DE∥BC⇒= 平行于三角形一边 设k法 按比例设份数求线段长 利用和差关系列方程 辅助平行线 过点作平行线构造基本图形 确定平行线位置 角平分线分线段 = AD平分∠BAC时成立 ⚠️ 核心考点 【考点1】平行线分线段成比例定理1求线段长（第1-8题） · 由基本事实直接写比例式，代入已知线段求解 · 两条平行截线时找准对应顶点，避免对应错误 · 生活图形（书法格线、五线谱等）先抽象为三条平行线模型 · 涉及中点与平行时考虑连续使用两次比例关系 1．（2026•汉台区二模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC的长为（　　） A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm 2．（2026•禄丰市模拟）如图，两条直线被三条平行线所截，已知AD∥BE∥CF，若AB：BC＝2：3，DE＝4，则EF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 3．（2026•靖江市校级三模）如图，直线AB∥CD∥EF，AC：CE＝3：2，则DG：AB＝（　　） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．4：9 4．（2025秋•顺义区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5分别与这三条直线交于点A，C，E和点B，D，F．若，则的值为__________________ ． 5．（2026春•滨城区校级月考）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝1.5，DE＝2，则DF的长为_____ ． 6．（2025秋•永兴县期末）如图，AD∥BE∥FC，AB：BC＝2：3，DF＝15，则EF的长度是_____ ． 7．（2023秋•顺义区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，求的值． 8．（2024秋•永春县校级月考）已知：如图，a∥b∥c，AG＝3，GD＝2，DF＝4，BG＝6，求CG，EC的长． 【考点2】平行线分线段成比例定理2求线段（第9-17题） · 三角形中DE∥BC用推论列比例式 · 设未知数表示线段，利用整体线段和差列方程 · 中点、中线出现时优先取中点或作平行线转移比例 · 综合题注意与相似三角形、中位线定理结合 9．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2025秋•宽甸县期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的．某条直线分别与横线l1，l3，l4交于点A，B，C，若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　） A． B．1 C． D．2 11．（2026春•淮南月考）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．（2026春•滨城区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，若，DE＝6，则EF等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 13．（2022秋•句容市期末）如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE．如果，那么窗口的高AB等于 _____ 米． 14．（2025秋•衡南县期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝12，DB＝6，AE＝8，则EC的长为 _____ ． 15．（2025秋•柘城县月考）如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，BC与EF相交于点O． （1）如果AB＝4，BC＝8，DF＝12，求DE的长； （2）如果BO：CO＝3：2，BE＝25，求CF的长． 16．（2026•长春三模）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交边DC于点F，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．求证：PM＝QM． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若MN＝4，则线段QR的长为 _____ ； （2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC＝10，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为 ________________ ． 17．（2025秋•怀化期中）如图，若直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果AB＝5，BC＝8，EF＝7，求DE的长； （2）如果DE：EF＝3：4，AC＝21，求AB的长． 【考点3】定理求作线段（第18-23题） · 网格作图：利用格点间比例关系找分点（平行线截比例线段） · 角平分线用尺规作图，垂直平分线、对称点作图要规范 · 将军饮马：作对称点把同侧问题转成两侧连接问题 · 最值问题确定路径后常结合等边三角形、勾股定理求值 18．（2025秋•鼓楼区期末）如图，BC∥EF∥AD，BE：AE＝2：1，若AD长为12，则EF长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 19．（2026•南岗区校级模拟）如图，AB∥CD∥EF，AD＝8，BC＝DF＝5，则CE的长为（　　） A． B．3 C．4 D． 20．（2025春•龙湾区期中）如图是由7×6的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中△ABC的三个顶点都是格点，E是BC上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）直接写出边AC的长＝ ________________ ； （2）在图中画格点D，使四边形ACBD是平行四边形；再在线段AD上画点F，使得S四边形DBEF＝S四边形FECA． 21．（2025秋•青羊区校级月考）在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，若C为斜边BF上一点，且CA＝CB，CD⊥BF，交射线BA于点D，过D作DE＝DA，交直线AC于点E． （1）如图1，当C，E重合时，求∠ACB度数； （2）如图2，当E在线段AC上时，连接BE，猜想DE和BE的位置关系，并说明理由； （3）当时，求CB2的值． 22．（2026•道里区校级模拟）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．△ACB的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作△ACB的角平分线CD； （2）在图②中的AC边上找到一点F，使AF：CF＝2：1，连接BF，并直接写出tan∠FBC的值． 23．（2025秋•台山市期末）综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如图1，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】 （1）如图2，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使AC+BC最短． 【问题解决】 （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图3，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如图4，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝6km，请在备用图5中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【考点4】创新及压轴题（第24-27题） · 角平分线分线段成比例定理：先证后用的证明题按思路补全 · 动点问题用含x代数式表示线段，构造二次函数求最值 · 多平行线问题列出所有对应比例式，选择有用关系 · 综合题从已知比例出发，逐步求出所需线段 24．（2024•朝阳区校级开学）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作CE∥DA．交线段BA的延长线于点E．… 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 __________________ ． 25．（2026•皇姑区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S． （1）用含x的代数式表示AD的长； （2）求S与x的函数表达式，并求S的最大值． 26．（2025秋•北海期末）如图，a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知AD＝2，DF＝1，CE＝1.2，求线段BE的长． 27．（2025秋•昌黎县期中）如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2024秋•嘉兴期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为__________________ ． 【练习 2】（2025秋•大连期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，AE＝6，则AC的长为 _____ ． 【练习 3】（2025秋•龙华区校级期中）如图，△ABC的边AC上有一点E，EF是△ABE的中线，FE的延长线与射线BC交于点D，且BC＝2CD，则的值为__________________ ． 【练习 4】（2025秋•桐城市期中）如图，在△ABC中，延长CB至点D使得BD＝BC，点E是AB的中点，连接DE并延长交AC于点F，求的值． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•青龙县期末）如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已知最上层与中间层的垂直距离为BD＝30cm，中间层与最下层的垂直距离为DF＝45cm，BC∥DE∥FG，CE＝50cm，则线段CG的长为（　　） A．75cm B．105cm C．120cm D．125cm 【作业 2】（2026•云南模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，若AD：DB＝1：2，AE＝4，则AC的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【作业 3】（2024秋•怀化期末）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业 4】（2025秋•宝山区月考）如图，直线l1和直线l2分别与直线AD、BE、CF相交于点A、D、B、E、C、F，其中：AD∥BE∥CF，若AB：BC＝2：3，DF＝10，则EF的长为_____ ． 【作业 5】（2023秋•沂南县期末）如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ________ ． 【作业 6】（2025秋•浦口区校级月考）如图，已知l1∥l2∥l3，若，DE＝6，则DF＝_______ ． 【作业 7】（2026•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，BD是AC边上的中线，点E是BD边上的一点，连接CE并延长，交AB于点F．若，，则BF的长为__________________ ． 【作业 8】（2024秋•赫章县期末）如图，AD∥BE∥CF，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，AC＝15，求BC的长． 【作业 9】（2026•沙坪坝区校级一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD，取CD的中点M，连接AM，过D作AM的垂线，交AM于点E，交BC于点N．则点N也是线段BC的中点． （1）用尺规完成以下基本作图：过D作AM的垂线，交AM于点E，交BC于点N（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，某小组发现点N也是线段BC的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°． ∵DE⊥AM， ∴∠AED＝90°（①__________ ）， 又∵∠MAD+∠AED+∠ADE＝180° ∴②__________________ ． 又∵∠ADE+∠NDC＝90°， ∴∠MAD＝∠NDC， 在△ADM与△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（ASA）． ∴③__________ ． ∵M为CD中点， ∴， 又∵④__________ ， ∴， ∴点N是线段BC的中点． 【作业 10】（2025•渭滨区校级模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，DF＝16，求EF的长． 复习建议 · 基本事实写比例式要找准对应线段，上比上、下比下 · 三角形中DE∥BC用推论= · 过中点或分点作平行线是构造基本图形的常用辅助线 · 设未知数结合线段和差列方程，是求线段长的通法 · 综合题先画图标量，再结合相似、全等与勾股定理求解 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $