第8讲 锐角的正弦余弦与正切 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第8讲 锐角的正弦余弦与正切 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解锐角正弦、余弦、正切的定义 · 熟记30°、45°、60°角的三角函数值 · 掌握同角三角函数关系与互余角三角函数关系 · 了解锐角三角函数的增减性 · 会用计算器求锐角三角函数值 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数定义 在Rt△ABC中，∠C=90°：sinA= cosA= tanA= 三角函数值只与角的大小有关，与三角形大小无关 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，AB=5，求tanA 解析：由勾股定理BC=4，tanA== ☆ 2.特殊角三角函数值 sin30°=，cos30°=，tan30°= sin45°=，cos45°=，tan45°=1 sin60°=，cos60°=，tan60°= 正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小 概念辨析例题：计算3tan30°+2sin60°+2cos260° 解析：3×+2×+2×()2==2 ☆ 3.同角与互余关系 同角：sin2A+cos2A=1 tanA= 互余：sinA=cos(90°-A) 互余：cosA=sin(90°-A) 概念辨析例题：已知sinA=，求cosA（A为锐角） 解析：由sin2A+cos2A=1，cosA== ☆ 4.增减性与计算器 0°~90°间，sinA、tanA随A增大而增大 cosA随A增大而减小 已知三角函数值反求角度用计算器第二功能 比较三角函数值大小：先化同名再比 概念辨析例题：比较sin25°、cos55°、sin65°的大小 解析：cos55°=sin35°，正弦递增，故sin25°<sin35°<sin65° 📋 知识总结表 【考点1】锐角正弦余弦正切的意义（第1-10题） · 先画图找准对边、邻边、斜边 · 按定义直接代入求三角函数值 · 网格中用勾股定理算边长 · 注意角必须是锐角 1．（2026•大姚县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数定义列式计算即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴sinB， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2026•道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】根据题意画出图形，明确∠A的对边及斜边，根据正弦定义列式，代入AB＝3BC即可求解． 【解答】解：如图，∠C＝90°，斜边是AB，∠A的对边是BC， 又∵AB＝3BC， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中正确识别角的对边与斜边是解题的关键． 3．（2024秋•长治期末）如图，△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】在AB上取格点D，连接CD，设正方形网格中的小正方形的边长为1，由勾股定理得AD，CD，AC，利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，然后根据正弦函数的定义即可得出sinA的值． 【解答】解：在AB上取格点D，连接CD，如图所示： 设正方形网格中的小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AD，CD，AC， 在△ACD中，AD2+CD210，AC210， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，即∠ADC＝90°， ∴sinA， ∴sinA的值为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解正方形网格的特点，熟练掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 4．（2026春•萨尔图区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算． 【解答】解：根据题意可知，． 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 5．（2026•邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　　 ． 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB中点得CD＝AD＝BDAB，进而得∠A＝∠DCA，根据DE＝CE得∠EDC＝∠DCA＝∠A，由三角形外角性质得∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，在Rt△ADE中根据∠A+∠AED＝90°，得∠A＝30°，设DE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得AD，然后根据正割函数的性质即可得出答案． 【解答】解：如图所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BD＝1/2AB， ∴△DAC是等腰三角形， ∴∠A＝∠DCA， ∵DE＝CE， ∴∠EDC＝∠DCA， ∴∠EDC＝∠DCA＝∠A， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是直角三角形， ∴∠A+∠AED＝90°， ∴∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 设DE＝a，则AE＝2a， 由勾股定理得：AD， ∴secA． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义是解决问题的关键． 6．（2025秋•让胡路区校级同步）如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝3，，则中线AD的长为 　　 ． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，设AE＝x，分别在Rt△ABE和Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出BE和CE的长，从而列出关于x的方程，进而求出BC的长，再利用三角形的中线定义求出BD的长，从而求出DE的长，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E， 设AE＝x， 在Rt△ABE中，∠B＝45°， ∴BE＝AE•tan45°＝x， 在Rt△AEC中，tanC， ∴， ∴CE＝2AE＝2x， ∴BC＝BE+CE， ∴x+2x＝3， 解得：x＝1， ∴AE＝BE＝1， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CDBC＝1.5， ∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5， 在Rt△ADE中， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．若锐角x满足，求x的度数． 【分析】设sinx＝a，解方程，求出a的值，最后得出x的度数． 【解答】解：设sinx＝a， ∴， ∴， ∴或， ∴， ∴x＝60°． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 8．（2026秋•同步）如图，求sinα，cosβ，tanγ的值． 【分析】根据勾股定理分别求出AB，AD的长，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【解答】解： ∵AC＝2，BC＝1， ∴AB， ∴AD， ∴sinα，cosβ，tanγ． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出AB，AD是关键． 9．（2023秋•同步）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝12，BC＝5，求∠A的各个三角函数． 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB，再利用三角函数的定义即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵两直角边AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∴sinA，cosA，tanA，cotA， 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第11-16题） · sin、tan随角度增大而增大 · cos随角度增大而减小 · 比较大小先化同名三角函数 · 互余转换cos→sin 10．（2026春•西城区校级月考）线段AB长为1，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取点C（不与A、B重合），连接BC．设∠BAC＝α，下列结论中一定正确的是（　　） A．sinα＜cosα B．cosα＜sinα C．sinα＜tanα D．cosα＜tanα 【分析】先利用圆周角定理确定∠ACB＝90°，得到α为0＜α＜90°的锐角，再结合锐角三角函数的性质逐一判断选项即可． 【解答】解：线段AB长为1，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取点C（不与A、B重合），连接BC． ∴∠ACB＝90°，可得0＜α＜90°，即α为锐角， 根据锐角三角函数定义，可得， ∵0＜α＜90°， ∴0＜cosα＜1，sinα＞0， ∴，即sinα＜tanα，故C选项正确； 对其余选项验证： 当α＞45°时，sinα＞cosα，故A选项错误， 当α＜45°时，sinα＜cosα，故B选项错误， 当α趋近于0°时，cosα趋近于1，tanα趋近于0，此时cosα＞tanα，故D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，正确进行计算是解题关键． 11．（2023春•淮安月考）如果0°＜∠A＜45°，那么sinA与cosA的差（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【分析】由0°＜∠A＜45°，可得∠A＜90°﹣∠A，进而得到sinA＜sin（90°﹣∠A），再根据互余两锐角三角函数的关系进行解答即可． 【解答】解：∵0°＜∠A＜45°， ∴45°＜（90°﹣∠A）＜90°， ∴∠A＜90°﹣∠A， ∴sinA＜sin（90°﹣∠A）， 即sinA＜cosA， ∴sinA﹣cosA＜0， 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握当∠A＜90°﹣∠A时，sinA＜sin（90°﹣∠A）以及sinA＝cos（90°﹣A）是正确解答的关键． 12．（2023秋•亳州月考）观察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1（α是锐角）；③tan30°+tan45°＝tan75°，其中成立的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值逐项判断即可得出答案． 【解答】解：由正弦值随着角度的增大而增大可知sin59°＞sin28°，故①正确，符合题意； ∵α是锐角， ∴0＜cosα＜1，故②正确，符合题意； ，故③错误，不符合题意； 综上所述，成立的有①②，共2个， 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 13．（2025秋•苏州校级期中）比较大小：sin57°　＞　 sin53°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【分析】根据锐角三角函数的性质，正弦函数在0°到90°范围内是单调递增的，即可得解． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质可知：因为正弦函数在区间0°到90°上单调递增， 故sin57°＞sin53°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了锐角三角形的性质，熟练掌握锐角三角形函数的性质是解此题的关键． 14．（2023秋•宁国市期末）已知，则锐角α的取值范围是 　30°＜α＜45°　 ． 【分析】α为锐角时，cosα随α的增大而减小，而cos45°＜cosα＜cos30°，即可得到答案． 【解答】解：∵cos30°，cos45°，cos， ∴cos45°＜cosα＜cos30°， ∵α为锐角时，cosα随α的增大而减小， ∴30°＜α＜45°． 故答案为：30°＜α＜45°． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，关键是掌握α为锐角时，cosα随α的增大而减小． 15．（2023秋•龙口市期中）当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 　30°＜∠A＜60°　 ． 【分析】根据题意先判断出cosA值在锐角范围内随着角度的增大变小，再根据特殊角的三角函数值进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ∵∠A为锐角， ∴cosA在锐角范围内，∠A的值越大，cosA的值越小， ∵cosA时， ∴30°＜∠A＜60°． 故答案为：30°＜∠A＜60°． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【考点3】同角三角函数关系（第17-23题） · sin2A+cos2A=1 · tanA= · 已知一个三角函数值求另一个 · 注意A为锐角开方取正 16．（2024•巧家县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3，则sinB的值为（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据题意设BC＝4a，AC＝3a，然后利用勾股定理求出AB，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3， ∴tanB3， 设 AC＝3x则BC＝x， 故ABx， ∴sinB． 故选：A． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，正确掌握边角之间的关系是解题关键． 17．（2026秋•同步）若α为锐角，且sin2α+cos226°＝1，则α＝（　　） A．13° B．26° C．54° D．25° 【分析】根据sin2α+cos2α＝1进行解答即可． 【解答】解：∵sin226°+cos226°＝1， ∴α＝26°， 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握sin2α+cos2α＝1是正确解答的关键． 18．（2024•中山市三模）如果β是锐角，且tanβ，那么sinβ的值是 　　 ． 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β，根据已知可设AC＝3x，则BC＝4x，从而利用勾股定理求出AB的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β， ∴tanβ， ∴设AC＝3x，则BC＝4x， ∴AB5x， ∴sinβ， 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．（2025秋•蒙城县月考）比较大小：sin42°　＜　 cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【分析】利用锐角三角函数的性质，比较sin42°和cos42°的大小． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质可知： 因为当0°＜α＜45°时，sinα＜cosα， 所以sin42°＜cos42°． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 20．（2024秋•西湖区校级月考）α是锐角，且，则tanα＝ 　　 ． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理，求出另一条直角边，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：如图，∠C＝90°，∠A＝α， ∵sinα， 可设BC＝k，则AB＝3k，由勾股定理得， ， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，解题的关键是掌握根据已知三角函数值确定直角三角形的三边． 21．（2024秋•阳谷县期中）计算： （1）tan30°•tan60°+sin245°+cos245°； （2）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°． 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按运算顺序进行计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是代入并计算特殊角的三角函数值． 【考点4】互余两角三角函数关系（第24-31题） · sinA=cos(90°-A) · cosA=sin(90°-A) · 把不同名化同名 · 用于比较大小和化简 22．（2025•海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解答】解：∵tanB， ∴设AC＝4x，BC＝3x， 由勾股定理得：AB5x， ∴sinA． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 23．（2025秋•萧县月考）在Rt△ABC中，，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】设AC＝2x，则AB＝5x，由勾股定理得出，再由正切的定义即可得出答案， 【解答】解：如图， ∵， ∴设AC＝2x，则AB＝5x， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及应用、勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2025秋•安化县期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB＝　　 ． 【分析】根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 25．（2025秋•池州月考）已知∠A+∠B＝90°，若sinA＝0.618，则cosB＝　0.618　 ． 【分析】根据互余角的三角函数关系，sinA＝cosB计算即可． 【解答】解：∵∠A+∠B＝90°， ∴∠A与∠B互余， 又∵sinA＝0.618， ∴cosB＝0.618． 故答案为：0.618． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的基础性质是关键． 26．（2025秋•芝罘区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是　　 ． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，可设b＝12k，a＝5k， ∴c13k， ∴sinA， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及互余两角的三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及互余两角的三角函数的关系是正确解答的关键． 27．（2023秋•同步）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，sinA，求cosA和tanB的值． 【分析】根据sinA和BC的值可以求出斜边AB的值，再由勾股定理即可求得AC的值，知道了直角三角形的三边即可求得cosA、tanB的值． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝8，sinA， ∴sinA， ∴AB＝10， 由勾股定理得：AC6， ∴cosA，tanB． 【点评】此题主要考查解直角三角形，正确记忆直角三角形中边角关系是解题关键． 【考点5】特殊锐角三角函数值（第32-37题） · 熟记30°、45°、60°三张表 · 混合运算按顺序算 · 负指数、零指数同步化简 · 最后结果化最简 28．（2025秋•安国市期末）在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是　75°　 ． 【分析】利用非负数的性质求出sinA和cosB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数． 【解答】解：由条件可得且， ∴，， ∵锐角△ABC， ∴∠A、∠B为 锐角， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2026春•莱芜区期末）计算：sin245°﹣tan60°•cos30°＝　﹣1　 ． 【分析】利用特殊锐角三角函数值列式计算即可． 【解答】解：原式＝（）2 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关特殊值是解题的关键． 30．（2025秋•兴庆区校级期末）如果∠A是锐角，且，那么∠A＝　60°　 ． 【分析】根据余弦函数的定义和特殊角的三角函数值，当余弦值为时，对应锐角为60°． 【解答】解：根据余弦函数的定义和特殊角的三角函数值可知： ∠A是锐角，且，根据特殊角的三角函数值， 因此∠A＝60°； 故答案为：60°． 【点评】本题考查了特殊角三角函数，熟记特殊角三角函数是解题的关键． 31．（2025秋•晋江市校级期末）4sin30°+tan60°＝　2　 ． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：原式＝4 ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 32．（2026•苏州模拟）计算：． 【分析】先根据特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键． 33．（2025秋•肥东县期末）2sin260°﹣tan45°+4cos60°． 【分析】直接把各角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝2×（）2﹣1+4 1+2 ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【考点6】计算器求三角函数（第38-40题） · 角度模式选DEG · 求函数值直接按函数键 · 已知函数值求角用第二功能键 · 注意度分秒输入 34．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是　sin28°＜tan26°＜cos27°　 （用“＜”连接）． 【分析】先用计算器求出tan26°、cos27°、sin28°的值，比较即可． 【解答】解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469， ∴sin28°＜tan26°＜cos27°． 故答案为：sin28°＜tan26°＜cos27°． 【点评】本题考查了计算器求三角函数值，掌握计算器的使用方法是解题的关键． 35．已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键 　2ndF ，再按三角函数键，最后输入 　函数值　 ，即可得到结果． 【分析】按计算器使用说明即可． 【解答】解：已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键2ndF，再按三角函数键，最后输入函数值，即可得到结果． 故答案为：2ndF；函数值． 【点评】本题主要考查了计算器使用，解题关键是正确使用． 36．利用计算器计算，并回答下列问题． （1）sin20°+sin40°是不是等于sin60°？ （2）cos80°﹣cos32°是不是等于cos48°？ （3）sin20°是不是等于cos70°？ 【分析】（1）先用计算器求出20°、40°、60°的正弦值，再把正弦值加减得结论； （2）先用计算器求出80°、32°、48°的余弦值，再把余弦值加减得结论； （3）利用计算器先求出两个锐角的函数值，根据函数值得结论． 【解答】解：（1）∵sin20°+sin40° ≈0.3420+0.6428 ＝0.9848， sin60°≈0.9660， ∴sin20°+sin40°等于sin60°． （2）∵cos80°﹣cos32° ≈0.1736﹣0.8480 ＝﹣0.6744， cos48°≈0.6691， ∴cos80°﹣cos32°不等于cos48°． （3）∵sin20°≈0.3420， cos70°≈0.3420， ∴sin20°等于cos70°． 【点评】本题考查了三角函数，掌握科学计算器的使用方法是解决本题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•柳江区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理计算出BC，然后根据正切的定义求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC4， ∴tanA． 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切的定义是解决问题的关键． 【练习 2】（2023秋•雁塔区校级月考）如图，在下面正方形网格中，△ABC按如图所示的位置摆放，则cos∠ABC的值是（　　） A． B．1 C． D． 【分析】根据网格所示信息，勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，利用三角函数的定义解答． 【解答】解：∵， ∴AC2+BC2＝AB2 ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•衡水期末）下列三角函数值是有理数的是（　　） A．tan30° B．tan45° C．sin60° D．cos45° 【分析】分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【解答】解：A、中，是无理数，故不符合题意； B、中tan45°＝1，是有理数，故符合题意； C、中，是无理数，故不符合题意； D、中，是无理数，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键． 【练习 4】（2025春•二道区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，3CD＝BD．若，则∠BAD的正弦值为 　　 ． 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝∠BED＝90°，设CD＝a，BD＝3a，则BC＝4a，由可得，，利用勾股定理求出AD，DE，根据正弦的定义即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E， 则∠AED＝∠BED＝90°， ∵3CD＝BD， ∴设CD＝a，BD＝3a， ∴BC＝4a， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【练习 5】（2026•江门校级一模）计算：　　 ． 【分析】先计算负整数指数幂和特殊的三角函数值，再计算乘法，最后进行加法运算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的运算，负整数指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键． 【练习 6】（2025秋•祁东县期末）在△ABC中，，则∠C的度数为　105°　 ． 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，锐角三角函数值的计算，三角形内角和定理，和定理即可求解． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 故答案为：105°． 【点评】本题考查了绝对值，平方数的非负性，锐角三角函数值的计算，掌握特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 【练习 7】（2025秋•莲湖区校级月考）计算：3tan30°+2sin60°+2cos260°． 【分析】先代入tan30°、sin60°、cos60°、tan60°的具体值，再通过四则运算和分母有理化逐步计算，最终化简得到结果． 【解答】解：3tan30°+2sin60°+2cos260° ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练记忆并准确代入特殊角的三角函数值是解题的关键． 【练习 8】（2025秋•榆树市校级期末）计算：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入，再运用实数的混合运算顺序和法则计算即可． 【解答】解：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60° ． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角函数只与角有关，与三角形大小无关 · 牢记30°、45°、60°的sin/cos/tan表 · 同角sin2A+cos2A=1，tanA= · 互余：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A) · sin、tan随角增大而增大，cos随角增大而减小 【作业 1】（2026•玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余弦的定义即可求得答案． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5， 则cosA， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【作业 2】（2026•安徽一模）已知锐角α满足，则锐角α的度数是（　　） A．40° B．55° C．60° D．70° 【分析】根据特殊角的余弦值，由得出α﹣10°的度数，进而求出α的度数． 【解答】解：∵锐角α满足，，且α是锐角， ∴α﹣10°＝60°， 解得α＝70°． 故选：D． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记各特殊角的三角函数值． 【作业 3】（2026•海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ 　或　 ． 【分析】分∠C＝90°或∠A＝90°两种情况进行讨论，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，当∠C＝90°时， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴sinB， 在Rt△ABC中，当∠A＝90°时， ∵AC＝3，BC＝4， ∴sinB， 综上分析可知，sinB或sinB． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，注意分情况讨论是关键． 【作业 4】（2026•蓬江区模拟）°＝　1　 ． 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：2﹣1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了分母有理化，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 【作业 5】（2026•福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　2　 ． 【分析】首先，根据已知条件，得出AG∥FC，得∠AEB＝∠BCF，最后，得． 【解答】解：如图，在3×3的正方形网格中， ∵AG∥FC， ∴∠BCF＝∠AEB， ∵∠BFC＝90°， ∴A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则． 故答案为：2． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 6】利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较sin25°，cos55°，sin65°，的大小并排序． 【分析】由cos55°＝sin35°，sin25°＜sin35°＜sin65°，即可得sin25°＜cos55°＜sin65°． 【解答】解：由cos55°＝sin35°， sin25°＜sin35°＜sin65°， 得sin25°＜cos55°＜sin65°． 【点评】本题主要考查了互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，解题关键是正确按照大小并排序． 【作业 7】（2025秋•浦东新区校级期中）计算：30°． 【分析】先计算各特殊角的三角函数值，然后分母有理化，计算乘方与乘法，最后进行减法运算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 锐角的正弦余弦与正切 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解锐角正弦、余弦、正切的定义 · 熟记30°、45°、60°角的三角函数值 · 掌握同角三角函数关系与互余角三角函数关系 · 了解锐角三角函数的增减性 · 会用计算器求锐角三角函数值 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数定义 在Rt△ABC中，∠C=90°：sinA= cosA= tanA= 三角函数值只与角的大小有关，与三角形大小无关 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，AB=5，求tanA 解析：由勾股定理BC=4，tanA== ☆ 2.特殊角三角函数值 sin30°=，cos30°=，tan30°= sin45°=，cos45°=，tan45°=1 sin60°=，cos60°=，tan60°= 正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小 概念辨析例题：计算3tan30°+2sin60°+2cos260° 解析：3×+2×+2×()2==2 ☆ 3.同角与互余关系 同角：sin2A+cos2A=1 tanA= 互余：sinA=cos(90°-A) 互余：cosA=sin(90°-A) 概念辨析例题：已知sinA=，求cosA（A为锐角） 解析：由sin2A+cos2A=1，cosA== ☆ 4.增减性与计算器 0°~90°间，sinA、tanA随A增大而增大 cosA随A增大而减小 已知三角函数值反求角度用计算器第二功能 比较三角函数值大小：先化同名再比 概念辨析例题：比较sin25°、cos55°、sin65°的大小 解析：cos55°=sin35°，正弦递增，故sin25°<sin35°<sin65° 📋 知识总结表 角/关系 公式 记忆 30° sin=，cos=，tan= 对边短斜边2 45° sin=cos=，tan=1 两直角边相等 60° sin=，cos=，tan= 对边长边斜边2 同角 sin2A+cos2A=1，tanA= 平方和1 互余 sinA=cos(90°-A) 正余互换 增减性 sin、tan随角增大而增大，cos递减 cos反着变 ⚠️ 核心考点 【考点1】锐角正弦余弦正切的意义（第1-10题） · 先画图找准对边、邻边、斜边 · 按定义直接代入求三角函数值 · 网格中用勾股定理算边长 · 注意角必须是锐角 1．（2026•大姚县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　） A． B． C．3 D． 3．（2024秋•长治期末）如图，△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•萨尔图区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 ____________________ ． 6．（2025秋•让胡路区校级同步）如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝3，，则中线AD的长为 ____________________ ． 7．若锐角x满足，求x的度数． 8．（2026秋•同步）如图，求sinα，cosβ，tanγ的值． 9．（2023秋•同步）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝12，BC＝5，求∠A的各个三角函数． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第11-16题） · sin、tan随角度增大而增大 · cos随角度增大而减小 · 比较大小先化同名三角函数 · 互余转换cos→sin 10．（2026春•西城区校级月考）线段AB长为1，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取点C（不与A、B重合），连接BC．设∠BAC＝α，下列结论中一定正确的是（　　） A．sinα＜cosα B．cosα＜sinα C．sinα＜tanα D．cosα＜tanα 11．（2023春•淮安月考）如果0°＜∠A＜45°，那么sinA与cosA的差（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 12．（2023秋•亳州月考）观察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1（α是锐角）；③tan30°+tan45°＝tan75°，其中成立的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．（2025秋•苏州校级期中）比较大小：sin57°_____ sin53°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 14．（2023秋•宁国市期末）已知，则锐角α的取值范围是 ______________ ． 15．（2023秋•龙口市期中）当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 _______________ ． 【考点3】同角三角函数关系（第17-23题） · sin2A+cos2A=1 · tanA= · 已知一个三角函数值求另一个 · 注意A为锐角开方取正 16．（2024•巧家县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3，则sinB的值为（　　） A． B． C． D．3 17．（2026秋•同步）若α为锐角，且sin2α+cos226°＝1，则α＝（　　） A．13° B．26° C．54° D．25° 18．（2024•中山市三模）如果β是锐角，且tanβ，那么sinβ的值是 __________________ ． 19．（2025秋•蒙城县月考）比较大小：sin42°_____ cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 20．（2024秋•西湖区校级月考）α是锐角，且，则tanα＝ ____________________ ． 21．（2024秋•阳谷县期中）计算： （1）tan30°•tan60°+sin245°+cos245°； （2）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°． 【考点4】互余两角三角函数关系（第24-31题） · sinA=cos(90°-A) · cosA=sin(90°-A) · 把不同名化同名 · 用于比较大小和化简 22．（2025•海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 23．（2025秋•萧县月考）在Rt△ABC中，，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 24．（2025秋•安化县期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB＝__________________ ． 25．（2025秋•池州月考）已知∠A+∠B＝90°，若sinA＝0.618，则cosB＝__________ ． 26．（2025秋•芝罘区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是___________________ ． 27．（2023秋•同步）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，sinA，求cosA和tanB的值． 【考点5】特殊锐角三角函数值（第32-37题） · 熟记30°、45°、60°三张表 · 混合运算按顺序算 · 负指数、零指数同步化简 · 最后结果化最简 28．（2025秋•安国市期末）在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是________ ． 29．（2026春•莱芜区期末）计算：sin245°﹣tan60°•cos30°＝_______ ． 30．（2025秋•兴庆区校级期末）如果∠A是锐角，且，那么∠A＝________ ． 31．（2025秋•晋江市校级期末）4sin30°+tan60°＝_________________ ． 32．（2026•苏州模拟）计算：． 33．（2025秋•肥东县期末）2sin260°﹣tan45°+4cos60°． 【考点6】计算器求三角函数（第38-40题） · 角度模式选DEG · 求函数值直接按函数键 · 已知函数值求角用第二功能键 · 注意度分秒输入 34．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是____________________ （用“＜”连接）． 35．已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键 __________ ，再按三角函数键，最后输入 ________ ，即可得到结果． 36．利用计算器计算，并回答下列问题． （1）sin20°+sin40°是不是等于sin60°？ （2）cos80°﹣cos32°是不是等于cos48°？ （3）sin20°是不是等于cos70°？ 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•柳江区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【练习 2】（2023秋•雁塔区校级月考）如图，在下面正方形网格中，△ABC按如图所示的位置摆放，则cos∠ABC的值是（　　） A． B．1 C． D． 【练习 3】（2025秋•衡水期末）下列三角函数值是有理数的是（　　） A．tan30° B．tan45° C．sin60° D．cos45° 【练习 4】（2025春•二道区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，3CD＝BD．若，则∠BAD的正弦值为 __________________ ． 【练习 5】（2026•江门校级一模）计算：__________________ ． 【练习 6】（2025秋•祁东县期末）在△ABC中，，则∠C的度数为_________ ． 【练习 7】（2025秋•莲湖区校级月考）计算：3tan30°+2sin60°+2cos260°． 【练习 8】（2025秋•榆树市校级期末）计算：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60°． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2026•安徽一模）已知锐角α满足，则锐角α的度数是（　　） A．40° B．55° C．60° D．70° 【作业 3】（2026•海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ ____________________ ． 【作业 4】（2026•蓬江区模拟）°＝_____ ． 【作业 5】（2026•福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是_____ ． 【作业 6】利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较sin25°，cos55°，sin65°，的大小并排序． 【作业 7】（2025秋•浦东新区校级期中）计算：30°． 复习建议 · 三角函数只与角有关，与三角形大小无关 · 牢记30°、45°、60°的sin/cos/tan表 · 同角sin2A+cos2A=1，tanA= · 互余：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A) · sin、tan随角增大而增大，cos随角增大而减小 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $