2.1 锐角的正弦和余弦 同步培优卷 2026-2027学年 湘教版数学九年级上册

2.1 锐角的正弦和余弦 同步培优卷 一、选择题 1．如图，在中，，若，，点是上一点，且，则的值为（　　）. A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则（　　） A． B． C．4 D． 3．如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A． B．3 C． D． 5．如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（　　） ①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 9．如图，已知，点P、A分别为射线、射线上的动点，将射线绕点P逆时针旋转交射线于点B，则的最大值为　 　. 10．将一组完全一样的宽，高的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角的正切值为. （1）求的长为　 　cm. （2）若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则的长为　 　cm. 11．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角，交AC于点M，交BC于点N，则的值为　 　. 12．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为　 　. 13．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 　 　. 三、解答题 14．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA =，CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值. 15．如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点D、E．求线段的长． 四、作图题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，. （1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为； （2）根据（1）的作图，　 　. 五、综合题 17．如图，矩形中，，，点是射线上的动点，点是射线上的动点，满足. （1）若点是的中点，求的长和的值. （2）若是等腰三角形，求的长. （3）若，点是射线上的点，满足，直接写出的长. 18．综合与时间 问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明. （1）数学思考：请解答上述问题. （2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若，，求的值. （3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出的面积. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图：过D作，垂足为E ∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∵在中，，若， ∴ ∵ ∴，即 ∴. 故答案为：B. 【分析】过D作DE⊥BC，垂足为E，由已知条件可得AD=3CD，结合AC=AD+CD=8可得CD、AD的值，由勾股定理可得BD、BC，然后根据三角函数的概念进行计算. 2．【答案】B 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在中，，，， ， ， 解得：， ， 故答案为：B. 【分析】根据正切函数的概念可求出AC的值，然后利用勾股定理进行计算. 3．【答案】C 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在中，，，， 故答案为：C. 【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根据三角函数的概念进行计算. 4．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线 【解析】【解答】解： 在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°， ∴， ∵BD=BC=3， ∴AD=AB-BD=5-3=2， 由题意可得MN是线段AD的垂直平分线， ∴AF=AD=1，∠AFE=90°， ∵cosA=， ∴， ∴. 故答案为：C. 【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据线段的和差算出AD的长，根据线段垂直平分线的性质得AF=1，∠AFE=90°，进而根据余弦三角函数的定义可得cosA=，代入即可求出AE的长. 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】由，，可证，可得，从而得出，继而得出. 6．【答案】B 【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】，， ， ， ； 故正确的是B选项； 故答案为：B． 【分析】根据余角的性质可得，利用正弦函数的定义得，即可判断. 7．【答案】D 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：①∵，E为的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③过点E作于点M，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故③正确； ④， 故④正确； 综上共有4个正确. 故答案为：D. 【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等边对等角及三角形外角性质得∠AED=∠EBF，从而根据同位角相等，两直线平行得BF∥ED，从而即可判断①；根据等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根据等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得BH=3FH，据此可判断②；过点E作EM⊥BF于点M，根据等腰三角形的三线合一得，根据等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFM∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM，再判断出△BHF∽△DFE，根据相似三角形对应边成比例可求出FH、BH，接着判断出△GFH∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出HG的长，最后根据正切三角函数的定义可求出tan∠GEB的值，据此可判断③；直接利用三角形面积计算公式算出△BFG的面积，可判断④. 8．【答案】B 【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°， ∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°， ∴∠EBD=∠EDP， ∵∠DEP=∠DEB， ∴△BDE∽△DPE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH， ∴，故②错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°， ∵∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CDP， ∴ ， ∴PD2=PH•CD， ∵PB=CD， ∴PD2=PH•PB，故③正确； 如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC， 设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4， ∴∠PCD=30° ∴CM=PN=PB•sin60°=4× ，PM=PC•sin30°=2， ∵DE∥PM， ∴∠EDP=∠DPM， ∴∠DBE=∠DPM， ∴tan∠DBE=tan∠DPM= ，故④正确； 故答案为：B. 【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF=30°，于是得到∠CPD＝∠CDP＝75°，证得∠EDP＝∠PBD＝15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确． ②由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到， 故②错误； ③由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，结合PB＝CP，等量代换得到PD2＝PH•PB，故③正确； ④过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，求得∠PCD＝30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB•sin60°=4×，PM＝PC•sin30°＝2，由平行线的性质得到∠EDP＝∠DPM，等量代换得到∠DBE＝∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=故④正确． 9．【答案】 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质 【解析】【解答】解：以为底作等腰且，过点B作垂直射线，过点O作，如图所示： ∵将射线绕点P逆时针旋转交射线于点B， ∴， ∴，， ∴点P、O、D、B在以点E为圆心的圆上，当时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的最大值为 故答案为：. 【分析】以BP为底作等腰△BDP且PD=BD，过点B作BH垂直射线PD，过点O作OC⊥PD，根据旋转的性质可得∠BPA=∠PBD=30°，则∠BDP=120°，∠BDH=60°，推出点P、O、D、B在以点E为圆心的圆上，当OE⊥PD时，OC取得最大值，证明△AOC∽△ABH，得到，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EPB=∠EBP=30°，∠EPC=60°，则PD=2PC，根据三角函数的概念可得PE、EC、BH，据此求解. 10．【答案】（1）2 （2） 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：（1）由题意得：在中， ，， ∵， ∴ 故答案为：2 （2）设③号骨牌落在②号骨牌上的点，过作地面的垂线段，延长交地面于点，如图所示： 则，，，，， 若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则 在中， ， 设，则，根据勾股定理，得 ， ∴， 解得：， ∴，， 中， ， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：. 【分析】（1）由题意得：在Rt△DE′F中，∠DFE′=90°，E′F=1，然后根据三角函数的概念进行计算； （2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，则∠BNM=90°，∠DC′P=90°，BM=5，∠MPN=α，C′D=1，设MN=k，BN=3k，由勾股定理可得k的值，据此可得MN、BN，根据三角函数的概念可得PN、PC′，利用勾股定理求出PD，然后根据BD=BP+PD进行计算. 11．【答案】 【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵点D为斜边AB的中点， ∴CD=AD=DB， ∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°， ∵∠EDF=90°， ∴∠CPD=60°， ∴∠MPD=∠NCD， ∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°）， ∴∠PDM=∠CDN=α， ∴△PDM∽△CDN， ∴， 在Rt△PCD中，∵， ∴. 故答案为：. 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=DB，由等腰三角形的性质可得∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，推出∠MPD=∠NCD，由旋转的性质可得∠PDM=∠CDN=α，证明△PDM∽△CDN，然后根据三角函数的概念以及相似三角形的性质进行解答. 12．【答案】或 【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ①当在线段上时， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 设中，边上的高为，则， ∴ ∵， 即当时， ∴ 解得：（负值舍去） ∴； ②当在的延长线上时，如图 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴四边形的面积为， 即 即 解得：或（，不合题意舍去） ∴， 故答案为：或. 【分析】根据矩形的性质可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根据三角函数的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①当E在线段AB上时，设AE=nBE，则，证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质可得AF，然后表示出AE，设△AFC中，AE边上的高为h，然后根据三角形的面积公式可得S△AFC，求出S△ABC，结合题意可得S△AFC=S△ABC，据此可求出n的值，进而可得AE；②当E在AB的延长线上时，同理求解即可. 13．【答案】5 【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质 【解析】【解答】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝， ∴∠ACB=∠PCO， ∴△BCP∽△ACQ， ∴ ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴即EQ＝QD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴， ∴DQ+CQ的最小值为5. 故答案为：5. 【分析】连接AC、AQ，根据正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，进而根据等角的同名三角函数值相等得∠ACB=∠PCO，则可判断出△BCP∽△ACQ，根据相似三角形的性质可求出AQ=2，故Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，再根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝QD，所以DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案. 14．【答案】解： ∵， ∴ ∵，， ∴ 根据勾股定理可得 ∴ 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据，，求出AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再利用正切的定义可得。 15．【答案】解：过A作 ，垂足为点H． 在 中，∵ ， ， ∴ ， ． 在 中，∵ ，∴ ． ∴ ． ∵ 垂直平分 ，∴ ， ． 在 中，∵ ，∴ ． ∴ ． 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出AH和BH的长，再根据锐角三角函数定义求出CH的长，从而求出BC的长，再求出BE的长，利用CE=BC-BE，即可得出CE的长. 16．【答案】（1）解：在y轴左侧，以O为位似中心，相似比为， ∴如图所示， ∴即为所求图形. （2） 【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点B作于D， ∵，，， ∴，点A到的距离（高）是， ∴，且， ∴，即， 在中，， ∴， ∵是的相似图形， ∴， ∴， 故答案为：. 【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使AO=2A1O，BO=2B1O，CO=2C1O，然后顺次连接即可； （2）过点B作BD⊥AC于D，求出BC、AC、AB的值，根据等面积法可求出BD的值，由勾股定理可得AD，根据相似图形的性质可得∠B1A1C1=∠A，然后根据三角函数的概念进行计算. 17．【答案】（1）解：∵矩形中，，， ∴， ∴， 当点E为的中点时， ， ∴， ∴； 过点F作，，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， ∴； （2）解：i当点E在线段上时，F在线段上时， 设，则，，，且() ①当时，如图所示： ∴，无解，不存在； ②当时，如图所示： 过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； ③当时，过点E作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴，， 解得：； ii同理：当点E在射线上时，F在线段上时， 设，则，，， 方法类似：只有当BF=BE时，成立，如图所示： ∴， 解得：； iii当点E在射线上时，F在射线上时， 设，则，，，， ①当时，如图所示： ∴，无解，不存在； ②当时，如图所示： 过点F作FG⊥AB， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 不符合题意，舍去； ③当时，过点E作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴，， 解得：，不符合题意； 综上可得：当或9时，是等腰三角形； （3）解：的长为或3.2 【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：（3）如图所示：当点E、F在点B左侧，点P在点下方时，过点B作BG⊥PE， ∵， ∴，， 设， 则 ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； 点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE， 同理解得：，故不存在； 当点E、F在点B右侧时，点P在点下方时，过点E作， ∵， ∴，， 设， 则 ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点E、F在点B右侧时，点P在点上方时，过点E作， 同理解得：，故不存在； 综上可得：的长为或. 【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC=6，利用勾股定理可得BD，当点E为AB的中点时， AE=BE=4，AE=DF=4，则BF=6，过点F作FG⊥AB，EH⊥BD，连接EF，则△ABD∽△GBF，△ABD∽△HBE，根据相似三角形的性质可得EH、FG，利用勾股定理求出BH，然后求出FH，再根据三角函数的概念进行计算； （2）当点E在线段AB上时，F在线段BD上时，设AE=x，则BE=8-x，DF=x，BF=10-x，①当BE=BF时，无解；②当BF=EF时，过点E作EH⊥AB，证明△FBH∽△DBA，根据相似三角形的性质可得BH，然后表示出BE、AE，据此可求出x的值；③当BE=EF时，过点E作EG⊥BD，证明△ABD∽△GBE，然后根据相似三角形的性质可得x；同理可求出当点E在射线AB上时，F在线段BD上，对应的x的值；当点E在射线AB上时，F在射线BD上时， 同理求解即可； （3）当点E、F在点B左侧，点P在点D下方时，过点B作BG⊥PE，则DF=AE=6，BE=2，设AP=x，则PE=，证明△EBG∽△EPA，根据相似三角形的性质可得BG、EG，然后表示出PG， 根据三角函数的概念可得x的值，进而可得DP；点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE，同理可得PA的值；当点E、F在点B右侧时，点P在点D下方时，过点E作EG⊥BP，同理求解即可.当点E、F在点B右侧时，点P在点D上方时，同理求解即可. 18．【答案】（1）解：，证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴. （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴在中，， ∴. （3） 【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：（3）连接，交于E，过点E作于H，如图所示： 四边形是矩形，且对角线交于E， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又， ，， ， ，即，，即， ，， 又点是的中点，且， 是的中位线， ， ， ， ， . 【分析】（1）BF=CG.理由：由正方形的性质可得，，从而推出，根据ASA证明△BEF≌△GEC，利用全等三角形的性质可得BF=CG； （2）根据两角分别相等证明，可得，由，继而得出结论； （3）连接，交于E，过点E作于H，利用勾股定理求出BD=10，根据矩形的性质可得，再证，可得，据此求出FC，EF的长，根据三角形中位线定理可得，利用勾股定理求出FH的长，从而求出GF的长，根据CG=CF-GF可可求出CG的长，再利用三角形的面积公式即可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $