专题2.1 锐角的正弦和余弦、锐角的正切（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理正弦（对边与斜边比）、余弦（邻边与斜边比）、正切（对边与邻边比）的概念，构建从概念辨析到求函数值、已知值求边长，再到特殊角三角函数及关系的递进学习支架。 特色为15类题型分层设计，例题结合网格、矩形等图形，变式题强化概念理解与实际应用，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过举一反三查漏补缺，提升数学应用意识。

专题2.1 锐角的正弦和余弦、锐角的正切（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 正弦的概念辨析】 1 【题型2 求角的正弦值】 4 【题型3 已知正弦值求边长】 7 【题型4 余弦的概念辨析】 9 【题型5 求角的余弦值】 12 【题型6 已知余弦值求边长】 15 【题型7 正切的概念辨析】 18 【题型8 求角的正切值】 20 【题型9 已知正切值求边长】 23 【题型10 特殊角的三角函数】 27 【题型11 特殊角三角函数值的混合运算】 28 【题型12 由特殊角三角函数值判断三角形的形状】 29 【题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数】 31 【题型14 同角三角函数关系】 32 【题型15 锐角三角函数的增减性】 34 考点1 锐角的正弦 知识点1 锐角的正弦 1.定义：如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 2. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有. 【题型1 正弦的概念辨析】 【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【答案】A 【分析】本题考查正弦的定义是对边与斜边的比值，涉及相似三角形判定与性质，熟记正弦的定义是解决问题的关键． 先得到原直角三角形的正弦值，再将各边长度扩大为原来的倍，由相似三角形的判定与性质可知，，再计算的正弦值，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 令， 的正弦值； 若将各边长度都扩大为原来的倍，则扩大后的直角三角形三条边为， ， ， ， 的正弦值； 综上所述，， 故选：A． 【变式1-2】在中，，如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义，结合已知条件求出边的关系． 【详解】解：如图，在中，， ， ， 故选：． 【变式1-3】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， 在中， 故A、B不符合题意； 在中，， 故C符合题意； ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【题型2 求角的正弦值】 【例2】（25-26九年级上·广西来宾·期末）在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正弦等于该角对边与斜边的比,直接根据定义计算即可． 【详解】在中，，，， 为斜边，是的对边， . 【变式2-1】（25-26九年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，则正弦值是________． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点作轴于点C，利用勾股定理求解斜边，再由正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点C， ∵点、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，垂足分别为、，它的周长为，面积为，那么的正弦值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，求正弦；根据已知求得，进而根据平行四边形的性质得出 ，进而求正弦，即可求解． 【详解】解：∵在中，周长为，面积为 ∴ ∵ ∴ ∵面积为 ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，求一个角的正弦值，先理解题意，结合网格特征，得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：取格点，连接，如图所示： 结合网格特征，得， 则， 故答案为：． 【题型3 已知正弦值求边长】 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则_____． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）在中，，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-3】如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，，，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明四边形BCED是矩形，得到DE=BC=2，用∠ABC的正弦求得AD=ABsin∠ABD=15sinα，得到AE= DE +AD =2+15sinα． 【详解】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE， ∴∠AEC=∠BCE=90°， ∵BD∥CE， ∴BD⊥AE，BD⊥BC， ∴∠ADB=∠BDE=∠DBC=90°， ∴四边形BCED是矩形， ∴DE=BC=2， ∵AD=ABsin∠ABD=15sinα， ∴AE= DE +AD =2+15sinα． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的判断和性质，正弦的定义和计算． 考点2 锐角的余弦 知识点2 锐角的余弦 1. 定义： 如图所示，在中，，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 2. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有． 【题型4 余弦的概念辨析】 【例4】（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 【变式4-1】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角的余弦值（    ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义和分数的基本性质联手解答即可． 【详解】如图，cosA=， 根据分数的基本性质，得 =， ∴余弦值不变， 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及其分数的基本性质，熟练掌握函数的定义，灵活运用分数的基本性质是解题的关键． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（  ） A．OA B．OB C．OC D．OD 【答案】A 【分析】根据余弦的定义分别求出四条射线与x轴正半轴夹角的余弦值，即可得出答案. 【详解】A. ，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故A符合题意； B. ，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故B不符合题意； C. ，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故C不符合题意； D. ，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查网格图中的三角函数值，熟练掌握余弦的定义是解题的关键. 【变式4-3】如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 【题型5 求角的余弦值】 【例5】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“三倍长三角形”．若等腰是“三倍长三角形”，则底角的余弦值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及余弦的定义是解题的关键．等腰中，为底边，“三倍长三角形”指一边是另一边的3倍，有两种情况：腰是底边的3倍（）或底边是腰的3倍（）. 但底边是腰的3倍时，不满足三角形三边关系，故只有腰是底边的3倍成立. 此时计算底角（如角B）的余弦值即可 【详解】解：设，则， 如图，作于M， 是等腰三角形， ， 在中，， 故选：C 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中点，连接，若与x轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【题型6 已知余弦值求边长】 【例6】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，为角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据等腰三角形三线合一的性质，得到，，在中，利用余弦求出，即可得解． 【详解】解：，为角平分线， ，， 在中，， ， ， 故选：C． 【变式6-1】如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 【变式6-2】如图，在中，，于点，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD长为_____． 【答案】 【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE=∠DCE=α，求出AC的值，再由勾股定理计算即可． 【详解】∵∠ADC=∠AED=90°，∠DAE+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90° ∴∠DAE =∠CDE 又∵∠DCE+∠CDE=90° ∴∠ADE=∠DCE=α ∴cosα＝= 又∵矩形ABCD中AB=CD=4 ∴AC= 在中满足勾股定理有 故答案为：． 【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键． 考点2 锐角的余弦 知识点3 锐角的正切 1. 定义：如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦称为锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有． 知识点4 锐角的三角函数 定义：我们把锐角A的正切、正弦、余弦称为锐角A的三角函数． 知识点5 特殊角的三角函数的值 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 知识点6 锐角的三角函数间的关系 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 【题型7 正切的概念辨析】 【例7】（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 【变式7-1】在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用∠A的大小没有变进行判断． 【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 【变式7-2】在△中，，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出BC，再利用三角函数即可求解. 【详解】在△中，，，， ∴BC= ∴= 故选C. 【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知三角函数的定义. 【变式7-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 【题型8 求角的正切值】 【例8】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦值，设，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ， ∴设，则：， ． 【变式8-2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、正切的定义等知识点．如图：连接，再利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图：连接， 设每个小正方形的边长为1， 则由勾股定理得：，，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 【变式8-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图是某校数学课外兴趣小组制作的风筝模型，将其抽象为如图所示的平面图形，发现四边形是菱形，，，垂足为E，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．先设，然后根据等腰三角形的性质、勾股定理可以得到和的值，再根据锐角三角函数即可计算出的值． 【详解】解：设， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：A． 【题型9 已知正切值求边长】 【例9】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线性质、勾股定理、正切定义，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 过B作交延长线于H，先根据三角形的中线平分该三角形的面积和三角形的面积公式求得，再根据正切定义求得，则，然后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：过B作交延长线于H，则， ∵是的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：B． 【变式9-1】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 【变式9-2】（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式9-3】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 【题型10 特殊角的三角函数】 【例10】（2026·四川乐山·中考真题） _________． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知： . 【变式10-1】的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式10-2】已知是锐角，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、坐标与图形变化-轴对称，先根据特殊角的三角函数值得到已知点的坐标，再根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【题型11 特殊角三角函数值的混合运算】 【例11】（25-26九年级上·河南商丘·期末）计算________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，直接代入特殊角的三角函数值，再计算即可 【详解】解：原式 ， 故答案为： 【变式11-1】（2026·广东·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式11-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）计算： 【答案】1 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据特殊角的锐角三角函数值计算即可． 【详解】原式 【变式11-3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了特殊角三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可． 【详解】解： 【题型12 由特殊角三角函数值判断三角形的形状】 【例12】在△ABC中，（2sinA﹣）2+＝0，则△ABC的形状为_____． 【答案】等边三角形． 【分析】先根据非负数的性质及特殊的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状． 【详解】解：由题意得，2sinA﹣＝0，cosB﹣＝0， ∴sinA＝，cosB＝， 则∠A＝60°，∠B＝60°， 则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°， 故△ABC为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理的综合应用，分析式子的结构特征找准对应知识点是解答此题的关键. 【变式12-1】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 【变式12-2】在中，若，则是________． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 【变式12-3】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 【题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例13】（24-25九年级上·河南周口·期末）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟练记忆是解题的关键． 根据，直接得到． 【详解】解：∵，则锐角的度数是， 故选：B． 【变式13-1】若，则锐角________． 【答案】 60 【分析】本题考查特殊角的三角函数，直接利用特殊角的三角函数值求出答案即可． 【详解】解：∵，且A是锐角， ∴． 故答案为：60． 【变式13-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）在中，，，，则的度数为________． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据题意可得，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-3】（24-25九年级上·四川资阳·期末）锐角三角形中，已知，满足则________． 【答案】/度 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理．根据绝对值和平方的非负性得到，，从而，，进而根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴在中，． 故答案为： 【题型14 同角三角函数关系】 【例14】已知是锐角，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得 ，然后代入求解； 【详解】 ， ∴原式 故答案为：． 【变式14-1】（2025·天津·一模）下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、同角三角函数的关系．对于A、B选项代入相应的特殊三角函数值即可判定，对于C、D选项根据同角三角函数之间的关系即可判定． 【详解】解：A、，，则，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式14-2】（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 【变式14-3】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【题型15 锐角三角函数的增减性】 【例15】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在学习锐角三角函数值过程中，你通过特殊角三角函数值或计算器的应用，可能了解到，，，，，，，值的大小与α变化规律，根据这个规律判断：若，则α的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】． 在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大， 已知，也就是， 所以的取值范围是． 【变式15-1】（2025·广东惠州·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 【变式15-2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）比较大小（用连接），，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式15-3】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解： ， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 锐角的正弦和余弦、锐角的正切（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 正弦的概念辨析】 1 【题型2 求角的正弦值】 2 【题型3 已知正弦值求边长】 3 【题型4 余弦的概念辨析】 4 【题型5 求角的余弦值】 5 【题型6 已知余弦值求边长】 6 【题型7 正切的概念辨析】 8 【题型8 求角的正切值】 8 【题型9 已知正切值求边长】 9 【题型10 特殊角的三角函数】 10 【题型11 特殊角三角函数值的混合运算】 11 【题型12 由特殊角三角函数值判断三角形的形状】 11 【题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数】 11 【题型14 同角三角函数关系】 12 【题型15 锐角三角函数的增减性】 12 考点1 锐角的正弦 知识点1 锐角的正弦 1.定义：如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 2. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有. 【题型1 正弦的概念辨析】 【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【变式1-2】在中，，如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 求角的正弦值】 【例2】（25-26九年级上·广西来宾·期末）在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，则正弦值是________． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，垂足分别为、，它的周长为，面积为，那么的正弦值为______． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的值为________． 【题型3 已知正弦值求边长】 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则_____． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）在中，，，则的长为_____． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 【变式3-3】如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，，，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（    ） A． B． C． D． 考点2 锐角的余弦 知识点2 锐角的余弦 1. 定义： 如图所示，在中，，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 2. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有． 【题型4 余弦的概念辨析】 【例4】（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角的余弦值（    ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化 【变式4-2】在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（  ） A．OA B．OB C．OC D．OD 【变式4-3】如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求角的余弦值】 【例5】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“三倍长三角形”．若等腰是“三倍长三角形”，则底角的余弦值为（    ） A． B． C． D．或 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中点，连接，若与x轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【题型6 已知余弦值求边长】 【例6】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，为角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，，于点，，，则的长为_____． 【变式6-3】如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD长为_____． 考点2 锐角的余弦 知识点3 锐角的正切 1. 定义：如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦称为锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有． 知识点4 锐角的三角函数 定义：我们把锐角A的正切、正弦、余弦称为锐角A的三角函数． 知识点5 特殊角的三角函数的值 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 知识点6 锐角的三角函数间的关系 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 【题型7 正切的概念辨析】 【例7】（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【变式7-2】在△中，，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 求角的正切值】 【例8】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是__________． 【变式8-1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式8-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图是某校数学课外兴趣小组制作的风筝模型，将其抽象为如图所示的平面图形，发现四边形是菱形，，，垂足为E，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型9 已知正切值求边长】 【例9】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式9-2】（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【题型10 特殊角的三角函数】 【例10】（2026·四川乐山·中考真题） _________． 【变式10-1】的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式10-2】已知是锐角，，则的值为_____． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是______． 【题型11 特殊角三角函数值的混合运算】 【例11】（25-26九年级上·河南商丘·期末）计算________． 【变式11-1】（2026·广东·中考真题）计算：． 【变式11-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）计算： 【变式11-3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）计算：． 【题型12 由特殊角三角函数值判断三角形的形状】 【例12】在△ABC中，（2sinA﹣）2+＝0，则△ABC的形状为_____． 【变式12-1】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式12-2】在中，若，则是________． 【变式12-3】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例13】（24-25九年级上·河南周口·期末）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】若，则锐角________． 【变式13-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）在中，，，，则的度数为________． 【变式13-3】（24-25九年级上·四川资阳·期末）锐角三角形中，已知，满足则________． 【题型14 同角三角函数关系】 【例14】已知是锐角，且，则______． 【变式14-1】（2025·天津·一模）下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【变式14-2】（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【题型15 锐角三角函数的增减性】 【例15】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在学习锐角三角函数值过程中，你通过特殊角三角函数值或计算器的应用，可能了解到，，，，，，，值的大小与α变化规律，根据这个规律判断：若，则α的取值范围是______． 【变式15-1】（2025·广东惠州·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）比较大小（用连接），，，，则__________． 【变式15-3】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $