第1讲 线段的比 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第1讲 线段的比 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握比例的基本性质，能灵活进行比例式的变形与求值 · 理解比例线段与比例中项的概念，会判断成比例线段 · 理解黄金分割的定义，能计算黄金分割点分得的两段长度 · 掌握平行线分线段成比例定理，能求对应线段的长 · 综合运用比例性质与平行线分线段成比例解决几何计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.比例的性质 比例的基本性质：若=，则ad=bc（内项之积等于外项之积） 合比性质：=⇒= 分比性质：=⇒= 等比性质：若==…=，则=（分母和不为0） 设k法：设每一组比为k，把各字母用k表示，代入求值 概念辨析例题：已知3x−5y＝0（xy≠0），下列比例式中成立的是（B） 解析：由3x−5y＝0得3x＝5y，根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），可改写为x：y＝5：3，故选项B正确 ☆ 2.比例线段与比例中项 四条线段a，b，c，d成比例：a：b＝c：d（顺序不能颠倒） 判断成比例线段：从小到大排序后看两两比值是否相等，或最大数与最小数的积是否等于中间两数的积 比例中项：若c2=ab，则c是a，b的比例中项 线段长度都是正数，求比例中项时负值应舍去 概念辨析例题：已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长为（A）4cm 解析：由比例中项定义c2=ab=8×2=16，得c=±4，线段长度取正值，故c=4cm ☆ 3.黄金分割 点C把线段AB分成AC、BC两段，若AC2=BC·AB，则点C是AB的黄金分割点 黄金分割数==≈0.618 较长线段长=×全长，较短线段长=×全长 一条线段有两个黄金分割点，注意题目限定的AC与BC大小关系 黄金矩形：宽与长的比为的矩形 概念辨析例题：已知线段AB＝2，点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝−1 解析：由黄金分割定义AC=×AB=×2=−1 ☆ 4.平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 书写比例式时对应关系要准确：上比上=下比下，左比左=右比右 可借助设未知数列方程求线段长度 概念辨析例题：如图，直线a∥b∥c分别交直线m，n于点A，B，C和D，E，F，若AB：BC＝3：2，EF＝4，则DE的长为（C）6 解析：由平行线分线段成比例得=，即=，解得DE=6 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例的基本性质 =⇔ad=bc 内项之积等于外项之积 合比性质 = 分子分母同时加减同一量 等比性质 ==…，则= 分母和不能为0 比例线段 a：b＝c：d，四条线段成比例 顺序不能颠倒 比例中项 c2=ab，c为a、b的比例中项 线段取正值，负值舍去 黄金分割 =≈0.618 较长段为全长的0.618倍 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例的性质（第1-12题） · 等积式与比例式互化：ad=bc⇔a：b=c：d · 求比值问题优先设k法：设每组比为k，用k表示字母再代入 · 等比性质注意分母和不为0的条件 · 已知比值求参数或字母值时，把比例式转化为方程求解 1．（2025秋•威远县期末）已知3x﹣5y＝0（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•城关区校级期末）如果，那么的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 3．（2026春•肇源县月考）根据5x＝8y，改写成比例正确的是（　　） A．x：y＝8：5 B．x：y＝5：8 C．x：8＝5：y D．x：5＝y：8 4．（2026春•荣成市期末）若，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•沙坪坝区期末）若，则的值为（　　） A．1 B． C． D．2 6．（2026•银川校级二模）已知，那么___________________ ． 7．（2026春•朝阳区校级期末）若，则 __________________ ． 8．（2026•武威二模）已知，若a+c＝5，且b+d≠0，则b+d＝ _______ ． 9．（2025秋•城关区校级期末）若，那么__________________ ． 10．（2025秋•博兴县期末）若，则__________________ ． 11．（2025秋•长安区期中）已知，且a+2b﹣3c＝15．求a、b、c的值． 12．（2025秋•滨江区期末）已知，求． 【考点2】比例线段（第13-19题） · 判断成比例线段：排序后比较两组比值，或比较最大最小数之积与中间两数之积 · 比例中项：c2=ab，注意线段取正值 · 成比例线段求值：列出比例式后交叉相乘解方程 · 比例尺问题：图上距离：实际距离=比例尺，面积比等于比例尺的平方 13．（2025秋•东台市期末）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（　　） A．4cm B．8cm C．2cm D．16cm 14．（2023秋•城阳区期中）若四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝4cm，d＝6cm，则线段c的长为（　　） A．1cm B．3cm C．9cm D．12cm 15．（2025秋•浦北县期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 16．（2023•秦都区校级开学）在一幅比例尺为1：200的地图上，一块圆形菜地的面积是25cm2，这块菜地的实际面积是 ________ m2． 17．（2025秋•鄞州区月考）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 _______________ ． 18．（2025秋•慈溪市校级月考）（1）已知，求的值． （2）已知线段c是线段a，b的比例中项线段，若a＝2，b＝8，求c的值． 19．（2024秋•永春县期末）如图，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC：BC＝2：3． （1）求AC的长度； （2）若点P在线段AB上，且PA＝2cm，点D、Q分别为BC、BP的中点，求QD的长度． 【考点3】黄金分割（第20-25题） · 牢记黄金分割比≈0.618 · 较长线段=黄金比×全长，较短线段=全长−较长线段 · 分清较长段与较短段对应的点，避免张冠李戴 · 含根号结果要化简：如80−（40−40）=120−40 20．（2026•广东模拟）2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦AB长为80cm，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即，则支点C到端点B的距离为（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•冷水滩区期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝100cm，则BC约为（　　） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 22．（2026•南山区校级二模）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到159.49亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），已知哪吒在剧中的身高AC设定为80cm，则其头部的长度AB是____________________ ． 23．（2026•东台市一模）已知线段AB＝2，点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝_________________ ． 24．（2023春•海淀区校级期中）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（图1）．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在宽MN为2的矩形纸片的一端，利用图2的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图3，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图4中所示的AD处，此时，AB＝_______________ ，CD＝_________________ ． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图5）就是黄金矩形．原因是 ____________________ ． 25．如图1，线段AB＝1，C是AB上一点，且AC＞BC，若点C的位置满足（即AC2＝BC•AB），则把点C叫作线段AB的黄金分割点，把比值k叫作黄金分割数． （1）设AC＝x，BC＝1﹣x，试求x的值，并求出黄金分割数k． （2）如图2，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝2BD，以点D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以点A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．求证：点C是线段AB的黄金分割点． 【考点4】平行线分线段成比例（第26-37题） · 对应线段成比例：找准对应点，上比上=下比下 · 过一点作平行线构造基本图形（如过D作BC的平行线） · 利用比例设未知数，列方程求线段长度 · 相似三角形与平行线分线段成比例结合求解综合题 26．（2025•哈尔滨模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AB：BC＝3：2，EF＝4，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 27．（2025秋•鼓楼区期末）如图，BC∥EF∥AD，BE：AE＝2：1，若AD长为12，则EF长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 28．（2025•大连一模）如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F，直线m，n相交于点H，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 29．（2025秋•淮南期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，AC＝15，则CE＝（　　） A．4.5 B．6 C．8 D．9 30．（2024秋•嘉兴期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为__________________ ． 31．（2026•余杭区校级模拟）如图，在△ABC中，AD＝2CD，CF＝2BF，则的值为__________________ ． 32．（2026•东源县一模）如图直线AB∥CD∥EF，若，BD＝6cm，则BF＝_______ cm． 33．（2026•坪山区二模）如图，l1∥l2∥l3，，且AB＝3，则AC的长为________ ． 34．（2025秋•岑溪市期末）如图，两条直线l1，l2相交于点O，A、B在直线l1上，且OA＝2，OB＝6，C是直线l2上任意一点，过B作BD∥CA，交l2于点D．若OC＝3，求OD的长． 35．（2024秋•平阴县校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，． 求：（1）； （2）． 36．（2025春•长春校级期中）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝12，BC＝24，DF＝33，求DE的长． 37．（2025秋•铜仁市期中）如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5． （1）求BF的长； （2）BD：BF的值． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•莱州市期中）已知2a＝3b，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习 2】（2025秋•衡南县期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝12，DB＝6，AE＝8，则EC的长为 _____ ． 【练习 3】（2026•吉林）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D为边AB上一点，AD＝2，BD＝1．以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE．若DE∥BC，则AE＝ _____ ． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025春•淄川区期末）下列四条线段（单位：cm）中，不是成比例线段的是（　　） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【作业 2】（2026秋•西安校级月考）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若b+d+f＝3，那么a+c+e的值为（　　） A．10 B．5 C． D． 【作业 3】（2026•盘锦三模）如图，AB∥CD∥EF，若AD＝3，AF＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 【作业 4】（2026•温州校级模拟）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：_____ ． 【作业 5】（2026•深圳）已知，则的值为_____ ． 【作业 6】（2025秋•灞桥区校级期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，B为线段AC的黄金分割点（AB＞BC）．若AC＝40cm，则BC的长为____________________ cm． 【作业 7】（2026•陕西模拟）唢呐是中国的传统双簧木管乐器，其主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成（如图1）．李师傅制作了一个唢呐，将其抽象为线段AB（如图2），唢呐杆为AC，唢呐碗为BC．若点C为线段AB的黄金分割点（即AC2＝BC•AB），AB＝30cm，则唢呐杆AC的长度是____________________ cm．（结果保留根号） 【作业 8】（2026春•南岗区校级期中）若（1+m）：（n+m）＝3：4，（1+n）：（n﹣1）＝2：1，求m和n的值． 【作业 9】（2025秋•潜山市月考）（1）如果，求； （2）如果，求k的值． 【作业 10】（2025秋•柘城县月考）如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，BC与EF相交于点O． （1）如果AB＝4，BC＝8，DF＝12，求DE的长； （2）如果BO：CO＝3：2，BE＝25，求CF的长． 【作业 11】（2026•沙坪坝区校级一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD，取CD的中点M，连接AM，过D作AM的垂线，交AM于点E，交BC于点N．则点N也是线段BC的中点． （1）用尺规完成以下基本作图：过D作AM的垂线，交AM于点E，交BC于点N（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，某小组发现点N也是线段BC的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°． ∵DE⊥AM， ∴∠AED＝90°（①__________ ）， 又∵∠MAD+∠AED+∠ADE＝180° ∴②__________________ ． 又∵∠ADE+∠NDC＝90°， ∴∠MAD＝∠NDC， 在△ADM与△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（ASA）． ∴③__________ ． ∵M为CD中点， ∴， 又∵④__________ ， ∴， ∴点N是线段BC的中点． 复习建议 · 比例变形抓住“内项之积等于外项之积”，设k法是求比值的通法 · 判断成比例线段：排序后比较两两比值是否相等 · 比例中项c2=ab，线段长度取正值 · 黄金分割记住较长段为全长的倍 · 平行线分线段成比例要找准对应线段，列比例式解方程 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 线段的比 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握比例的基本性质，能灵活进行比例式的变形与求值 · 理解比例线段与比例中项的概念，会判断成比例线段 · 理解黄金分割的定义，能计算黄金分割点分得的两段长度 · 掌握平行线分线段成比例定理，能求对应线段的长 · 综合运用比例性质与平行线分线段成比例解决几何计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.比例的性质 比例的基本性质：若=，则ad=bc（内项之积等于外项之积） 合比性质：=⇒= 分比性质：=⇒= 等比性质：若==…=，则=（分母和不为0） 设k法：设每一组比为k，把各字母用k表示，代入求值 概念辨析例题：已知3x−5y＝0（xy≠0），下列比例式中成立的是（B） 解析：由3x−5y＝0得3x＝5y，根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），可改写为x：y＝5：3，故选项B正确 ☆ 2.比例线段与比例中项 四条线段a，b，c，d成比例：a：b＝c：d（顺序不能颠倒） 判断成比例线段：从小到大排序后看两两比值是否相等，或最大数与最小数的积是否等于中间两数的积 比例中项：若c2=ab，则c是a，b的比例中项 线段长度都是正数，求比例中项时负值应舍去 概念辨析例题：已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长为（A）4cm 解析：由比例中项定义c2=ab=8×2=16，得c=±4，线段长度取正值，故c=4cm ☆ 3.黄金分割 点C把线段AB分成AC、BC两段，若AC2=BC·AB，则点C是AB的黄金分割点 黄金分割数==≈0.618 较长线段长=×全长，较短线段长=×全长 一条线段有两个黄金分割点，注意题目限定的AC与BC大小关系 黄金矩形：宽与长的比为的矩形 概念辨析例题：已知线段AB＝2，点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝−1 解析：由黄金分割定义AC=×AB=×2=−1 ☆ 4.平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 书写比例式时对应关系要准确：上比上=下比下，左比左=右比右 可借助设未知数列方程求线段长度 概念辨析例题：如图，直线a∥b∥c分别交直线m，n于点A，B，C和D，E，F，若AB：BC＝3：2，EF＝4，则DE的长为（C）6 解析：由平行线分线段成比例得=，即=，解得DE=6 📋 知识总结表 【考点1】比例的性质（第1-12题） · 等积式与比例式互化：ad=bc⇔a：b=c：d · 求比值问题优先设k法：设每组比为k，用k表示字母再代入 · 等比性质注意分母和不为0的条件 · 已知比值求参数或字母值时，把比例式转化为方程求解 1．（2025秋•威远县期末）已知3x﹣5y＝0（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用比例的性质变形得出答案． 【解答】解：∵3x﹣5y＝0（xy≠0）， ∴3x＝5y， 则． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 2．（2025秋•城关区校级期末）如果，那么的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】由已知比例，设x＝5k，y＝3k（其中k≠0），再代入所求表达式计算即可． 【解答】解：由题意可得：设x＝5k，y＝3k（其中k≠0）， 则． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质，正确进行计算是解题关键． 3．（2026春•肇源县月考）根据5x＝8y，改写成比例正确的是（　　） A．x：y＝8：5 B．x：y＝5：8 C．x：8＝5：y D．x：5＝y：8 【分析】将各选项的比例式转化为乘积式，与已知5x＝8y对比即可得到答案． 【解答】解：A、由x：y＝8：5可得5x＝8y，符合题意； B、由x：y＝5：8可得8x＝5y，不符合题意； C、由x：8＝5：y可得xy＝40，不符合题意； D、由x：5＝y：8可得8x＝5y，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 4．（2026春•荣成市期末）若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用比例性质可设a＝3k，b＝4k，然后把它们分别代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可． 【解答】解：∵， ∴设a＝3k，b＝4k， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 5．（2026春•沙坪坝区期末）若，则的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】先对已知条件进行变形，再代入即可． 【解答】解：由已知可得a＝2b， 则原式 ． 故选：C． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握代入法是解题的关键． 6．（2026•银川校级二模）已知，那么　　 ． 【分析】正确群算即可． 【解答】解：∵， ∴b＝2a， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2026春•朝阳区校级期末）若，则 　　 ． 【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∴1， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 8．（2026•武威二模）已知，若a+c＝5，且b+d≠0，则b+d＝ 　15　 ． 【分析】先根据等比性质得到，然后根据内项之积等于外项之积计算b+d的值． 【解答】解：∵， ∴， ∵a+c＝5， ∴b+d＝3（a+c）＝3×5＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 9．（2025秋•城关区校级期末）若，那么　　 ． 【分析】利用比例的性质计算即可． 【解答】解：由条件可知， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质．熟练掌握该知识点是关键． 10．（2025秋•博兴县期末）若，则　　 ． 【分析】设，得a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入进行计算即可． 【解答】解：若， 设，得a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查比例的性质，正确进行计算是解题关键． 11．（2025秋•长安区期中）已知，且a+2b﹣3c＝15．求a、b、c的值． 【分析】设k，利用内项之积等于外项之积得到a＝2k，b＝3k，c＝6k，再把它们分别代入a+2b﹣3c＝15中可求出k的值，从而得到a、b、c的值． 【解答】解：设k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k， ∵a+2b﹣3c＝15， ∴2k+6k﹣18k＝15， 解得k ∴a＝2k＝﹣3，b＝3k，c＝6k＝﹣9． 【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 12．（2025秋•滨江区期末）已知，求． 【分析】利用设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝3k， ∴． 【点评】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点2】比例线段（第13-19题） · 判断成比例线段：排序后比较两组比值，或比较最大最小数之积与中间两数之积 · 比例中项：c2=ab，注意线段取正值 · 成比例线段求值：列出比例式后交叉相乘解方程 · 比例尺问题：图上距离：实际距离=比例尺，面积比等于比例尺的平方 13．（2025秋•东台市期末）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（　　） A．4cm B．8cm C．2cm D．16cm 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【解答】解：线段a＝8cm，b＝2cm，线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab＝2×8＝16， ∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去）， ∴线段c＝4cm． 故选：A． 【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 14．（2023秋•城阳区期中）若四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝4cm，d＝6cm，则线段c的长为（　　） A．1cm B．3cm C．9cm D．12cm 【分析】根据比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后把a＝2cm，b＝4cm，d＝6cm代入进行计算即可． 【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 而a＝2cm，b＝4cm，d＝6cm， ∴c3（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有a：b＝c：d，那么就说这四条线段成比例． 15．（2025秋•浦北县期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【分析】根据比例线段的定义进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为，， 所以， 故A选项不符合题意； 因为，， 所以， 故B选项不符合题意； 因为，， 所以， 故C选项符合题意； 因为，， 所以， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． 16．（2023•秦都区校级开学）在一幅比例尺为1：200的地图上，一块圆形菜地的面积是25cm2，这块菜地的实际面积是 　100　 m2． 【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：设这个地区的实际面积是xm2， ∵25cm2＝0.0025m2， ∴（）2， ∴x＝100m2． 故答案为：100． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方． 17．（2025秋•鄞州区月考）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 　　 ． 【分析】根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【解答】解：设a，b的比例中项线段为x， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比例线段，正确列出算式是解题关键． 18．（2025秋•慈溪市校级月考）（1）已知，求的值． （2）已知线段c是线段a，b的比例中项线段，若a＝2，b＝8，求c的值． 【分析】（1）根据，用a表示b，再代入中进行计算； （2）根据比例中项的定义，列式c2＝ab，将a、b代入算出c． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴． （2）由条件可知， ∴c2＝ab， ∵a＝2，b＝8， ∴c2＝2×8＝16， ∴c＝±4， 又∵c＞0， ∴线段c的长为4． 答：4． 【点评】本题考查比例的基本性质，比例中项的定义，掌握比例中项的数量关系是解题关键． 19．（2024秋•永春县期末）如图，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC：BC＝2：3． （1）求AC的长度； （2）若点P在线段AB上，且PA＝2cm，点D、Q分别为BC、BP的中点，求QD的长度． 【分析】（1）根据AB＝30cm，AC：BC＝2：3，即可求出AC的长度； （2）根据线段的和与差得BC＝18cm，PB＝28cm，再根据线段中点的定义得BDBC＝9cm，QBPB＝14cm，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AB＝30cm，AC：BC＝2：3． ∴AC＝3012（cm）； （2）如图， ∵AC＝12cm， ∴BC＝30﹣12＝18cm， ∵PA＝2cm， ∴PB＝28cm， ∵点D、Q分别为BC、BP的中点， ∴BDBC＝9cm，QBPB＝14cm， ∴QD＝QB﹣BD＝14﹣9＝5（cm）． 【点评】本题考查了比例线段，两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． 【考点3】黄金分割（第20-25题） · 牢记黄金分割比≈0.618 · 较长线段=黄金比×全长，较短线段=全长−较长线段 · 分清较长段与较短段对应的点，避免张冠李戴 · 含根号结果要化简：如80−（40−40）=120−40 20．（2026•广东模拟）2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦AB长为80cm，两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即，则支点C到端点B的距离为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即，AB长为80cm， ∴ACAB＝（4040）cm， ∴CB＝AB﹣AC＝80﹣（4040）＝（120﹣40）cm， 故选：A． 【点评】本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．（2025秋•冷水滩区期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝100cm，则BC约为（　　） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 【分析】根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：，AC＝100cm， ∴AB≈61.8cm， ∴BC＝AC﹣AB≈38cm． 故选：B． 【点评】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键． 22．（2026•南山区校级二模）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到159.49亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），已知哪吒在剧中的身高AC设定为80cm，则其头部的长度AB是　　 ． 【分析】根据黄金比例的计算方法列式求解即可． 【解答】解：∵点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），AC＝80cm， ∴BCAC80＝（4040）cm， ∴AB＝AC﹣BC＝80﹣（4040）＝（120﹣40）cm， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．（2026•东台市一模）已知线段AB＝2，点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝　　 ． 【分析】根据黄金分割的定义得到，即可得AC的长． 【解答】解：根据题意得：， ∵AB＝2， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割的定义，正确记忆线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点是解题关键． 24．（2023春•海淀区校级期中）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（图1）．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在宽MN为2的矩形纸片的一端，利用图2的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图3，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图4中所示的AD处，此时，AB＝　　 ，CD＝　　 ． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图5）就是黄金矩形．原因是 　　 ． 【分析】如图4所示，先求出AC＝1，再利用勾股定理求出AB，由折叠的相等得到AD＝AB，则CD，进一步求出即可得到结论． 【解答】解：如图4所示，∵MN＝2， ∴ACMN＝1，BC＝2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB， 由折叠可知AD＝AB， ∴CD＝AD﹣AC， 如图5所示，∵DE＝BC＝MN＝2， ∴， ∴矩形BCDE为黄金矩形． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了黄金分割、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．如图1，线段AB＝1，C是AB上一点，且AC＞BC，若点C的位置满足（即AC2＝BC•AB），则把点C叫作线段AB的黄金分割点，把比值k叫作黄金分割数． （1）设AC＝x，BC＝1﹣x，试求x的值，并求出黄金分割数k． （2）如图2，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝2BD，以点D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以点A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．求证：点C是线段AB的黄金分割点． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （2）利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】（1）解：∵AC2＝BC•AB， ∴x2＝（1﹣x）•1， 整理得：x2+x﹣1＝0， 解得：x1，x2（舍去）， ∴k， 即x，k； （2）证明：设BD＝DE＝x， ∵AB＝2BD， ∴AB＝2x， 在Rt△ABD中，ADx， ∴AE＝AC＝AD﹣DE＝（1）x， ∴， ∴点C是线段AB的黄金分割点． 【点评】本题考查了黄金分割，解一元二次方程﹣公式法，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点4】平行线分线段成比例（第26-37题） · 对应线段成比例：找准对应点，上比上=下比下 · 过一点作平行线构造基本图形（如过D作BC的平行线） · 利用比例设未知数，列方程求线段长度 · 相似三角形与平行线分线段成比例结合求解综合题 26．（2025•哈尔滨模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AB：BC＝3：2，EF＝4，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【解答】解：∵a∥b∥c， ∴， ∵AB：BC＝3：2， ∴， ∴， ∴DE＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 27．（2025秋•鼓楼区期末）如图，BC∥EF∥AD，BE：AE＝2：1，若AD长为12，则EF长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【解答】解：∵BC∥EF， ∴2， ∵EF∥AD， ∴， ∵AD＝12， ∴， ∴EF＝8． 故选：C． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握比例线段的对应关系是关键． 28．（2025•大连一模）如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F，直线m，n相交于点H，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：已知直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F， ∴，，，， ∴选项A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键要明确：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 29．（2025秋•淮南期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，AC＝15，则CE＝（　　） A．4.5 B．6 C．8 D．9 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例计算计算CE的长． 【解答】解：∵AD：DB＝2：3， ∴BD：AB＝3：5， ∵DE∥CB， ∴， ∵AC＝15， ∴EC＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 30．（2024秋•嘉兴期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为　　 ． 【分析】先求出CF＝6，再根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：∵GF＝4，AC＝3，CG＝2， ∴CF＝6， ∵AB∥CD∥EF， ∴若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 31．（2026•余杭区校级模拟）如图，在△ABC中，AD＝2CD，CF＝2BF，则的值为　　 ． 【分析】过点D作BC的平行线，交AF于点E，设BF＝3a，由平行可判定△ADE∽△ACF，则，计算得DE＝4a，同理△DEP∽△BFP，因此． 【解答】解：如图，过点D作BC的平行线，交AF于点E，设BF＝3a， 由条件可知，CF＝6a， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACF， ∴， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DEP∽△BFP， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是关键． 32．（2026•东源县一模）如图直线AB∥CD∥EF，若，BD＝6cm，则BF＝　14　 cm． 【分析】根据题意得到，求出DF的长，即可得到答案． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，，BD＝6cm， ∴， ∴， ∴DF＝8， ∴BF＝BD+DF＝6+8＝14（cm）， 故答案为：14． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 33．（2026•坪山区二模）如图，l1∥l2∥l3，，且AB＝3，则AC的长为　7.5　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出BC，进而求出AC． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴，即， 解得：BC＝4.5， ∴AC＝AB+BC＝3+4.5＝7.5， 故答案为：7.5． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 34．（2025秋•岑溪市期末）如图，两条直线l1，l2相交于点O，A、B在直线l1上，且OA＝2，OB＝6，C是直线l2上任意一点，过B作BD∥CA，交l2于点D．若OC＝3，求OD的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，再代入数据求解即可． 【解答】解：∵BD∥CA，OA＝2，OB＝6，OC＝3， ∴， ∴， ∴OD＝9． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 35．（2024秋•平阴县校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，． 求：（1）； （2）． 【分析】（1）根据比例式的基本性质可得结果； （2）根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，列出比例式即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴； （2）∵DE∥BC， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，比例的性质，熟练根据基本性质对比例式进行变形是解答本题的关键． 36．（2025春•长春校级期中）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝12，BC＝24，DF＝33，求DE的长． 【分析】据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵DF＝33，AB＝12，BC＝24， ∴， 12（33﹣DE）＝24DE， 解得：DE＝11． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 37．（2025秋•铜仁市期中）如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5． （1）求BF的长； （2）BD：BF的值． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解答即可； （2）根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：（1）∵BD＝1.5，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5， ∴， 即， 解得：； （2）∵AC＝2，AE＝5，AB∥CD∥EF， ∴． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•莱州市期中）已知2a＝3b，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把每一个选项的比例式转化为等积式，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵， ∴3a＝2b，故不符合题意； B、∵， ∴3a﹣3b＝b， ∴3a＝4b，故不符合题意； C、∵， ∴2a+2b＝5b， ∴2a＝3b，故符合题意； D、∵， ∴5a+10＝4b+8， ∴5a＝4b﹣2，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•衡南县期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝12，DB＝6，AE＝8，则EC的长为 　4　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 即， ∴EC＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 【练习 3】（2026•吉林）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D为边AB上一点，AD＝2，BD＝1．以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE．若DE∥BC，则AE＝ 　4　 ． 【分析】利用基本作图得到CE＝AD＝2，再根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可求出AE的长． 【解答】解：由作法得CE＝AD＝2， ∵DE∥BC， ∴， 即， 解得AE＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 💯 课后巩固 复习建议 · 比例变形抓住“内项之积等于外项之积”，设k法是求比值的通法 · 判断成比例线段：排序后比较两两比值是否相等 · 比例中项c2=ab，线段长度取正值 · 黄金分割记住较长段为全长的倍 · 平行线分线段成比例要找准对应线段，列比例式解方程 【作业 1】（2025春•淄川区期末）下列四条线段（单位：cm）中，不是成比例线段的是（　　） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【分析】可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 【解答】解：A、1，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意； B、3×4＝6×2，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意； C、4×10≠6×5，故本选项的四条线段，不是成比例线段，符合题意； D、22，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题重点考查两条线段的比、成比例线段等知识，将四条线段从小到大排列，再求出前面两条线段的比及后面两条线段的比，看这两个比是否相等，即可判断这四条线段是否成比例． 【作业 2】（2026秋•西安校级月考）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若b+d+f＝3，那么a+c+e的值为（　　） A．10 B．5 C． D． 【分析】根据比例线段相关知识运算即可． 【解答】解：由题意得，，． ∵b+d+f＝3， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 3】（2026•盘锦三模）如图，AB∥CD∥EF，若AD＝3，AF＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知可求DF＝5，再根据AB∥CD∥EF，可得． 【解答】解：∵AD＝3，AF＝8， ∴DF＝5， ∵AB∥CD∥EF， ∴，C选项符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 4】（2026•温州校级模拟）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：　2　 ． 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【解答】解：由条件可知， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【作业 5】（2026•深圳）已知，则的值为　3　 ． 【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到的值． 【解答】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•灞桥区校级期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，B为线段AC的黄金分割点（AB＞BC）．若AC＝40cm，则BC的长为　　 cm． 【分析】根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【解答】解：根据黄金分割点的定义，列出比例式可得：， ∴， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键． 【作业 7】（2026•陕西模拟）唢呐是中国的传统双簧木管乐器，其主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成（如图1）．李师傅制作了一个唢呐，将其抽象为线段AB（如图2），唢呐杆为AC，唢呐碗为BC．若点C为线段AB的黄金分割点（即AC2＝BC•AB），AB＝30cm，则唢呐杆AC的长度是　　 cm．（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义计算即可得出结果． 【解答】解：根据黄金分割的定义可知： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 8】（2026春•南岗区校级期中）若（1+m）：（n+m）＝3：4，（1+n）：（n﹣1）＝2：1，求m和n的值． 【分析】根据比例的性质得到4（1+m）＝3（n+m），2（n﹣1）＝1+n，然后解方程组即可． 【解答】解：∵（1+m）：（n+m）＝3：4，（1+n）：（n﹣1）＝2：1， ∴4（1+m）＝3（n+m），2（n﹣1）＝1+n， 解得n＝3，m＝5， 即m的值为5，n的值为3． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 【作业 9】（2025秋•潜山市月考）（1）如果，求； （2）如果，求k的值． 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分a+b+c≠0与a+b+c＝0两种情况，分别讨论． 【解答】解：（1）∵， ∴2a+3b＝﹣2a+2b， ∴b＝﹣4a， ∴； （2）由题意得，a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka， ∴（a+b﹣c）+（a﹣b+c）+（﹣a+b+c）＝kc+kb+ka， 即a+b+c＝k（a+b+c）， 当a+b+c≠0时，； 当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c， ， 综上可知，k的值为1或﹣2． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•柘城县月考）如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，BC与EF相交于点O． （1）如果AB＝4，BC＝8，DF＝12，求DE的长； （2）如果BO：CO＝3：2，BE＝25，求CF的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，则EF＝2DE，再根据DE+EF＝DF＝12代入计算即可得； （2）先证出△BOE∽△COF，再根据相似三角形的性质即可得． 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，AB＝4，BC＝8， ∴， ∴， ∴EF＝2DE， ∵DE+EF＝DF＝12， ∴DE+2DE＝12， ∴DE＝4； （2）∵l2∥l3，BO：CO＝3：2，BE＝25， ∴△BOE∽△COF， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【作业 11】（2026•沙坪坝区校级一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD，取CD的中点M，连接AM，过D作AM的垂线，交AM于点E，交BC于点N．则点N也是线段BC的中点． （1）用尺规完成以下基本作图：过D作AM的垂线，交AM于点E，交BC于点N（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，某小组发现点N也是线段BC的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°． ∵DE⊥AM， ∴∠AED＝90°（①　垂线的定义　 ）， 又∵∠MAD+∠AED+∠ADE＝180° ∴②　∠MAD+∠ADE＝90°　 ． 又∵∠ADE+∠NDC＝90°， ∴∠MAD＝∠NDC， 在△ADM与△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（ASA）． ∴③DM＝CN ． ∵M为CD中点， ∴， 又∵④CD＝BC ， ∴， ∴点N是线段BC的中点． 【分析】（1）根据作垂线的方法画图即可； （2）根据正方形的性质以及全等三角形的判定结合证明步骤完成证明即可． 【解答】（1）根据作垂线的方法画图，垂线DN如下： （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°． ∵DE⊥AM， ∴∠AED＝90°（①垂线的定义）， 又∵∠MAD+∠AED+∠ADE＝180°， ∴②∠MAD+∠ADE＝90°， 又∵∠ADE+∠NDC＝90°， ∴∠MAD＝∠NDC， 在△ADM与△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（ASA）， ∴③DM＝CN， ∵M为CD中点， ∴， 又∵④CD＝BC， ∴， ∴点N是线段BC的中点． 故答案为：垂线的定义；∠MAD+∠ADE＝90°；DM＝CN；CD＝BC． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $