1.1.2 成比例的线段-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©1.1.2 成比例的线段 基础在线》 知识要点分类练 知识点3黄金分割 5.如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC> 知识点1线段的比 BC),则下列等式不正确的是 () 1.如果线段a=2cm,b=6cm,那么名的值是 A C B A侣-C BS≈0.618 2根据图示求线段的比能S,S C.AC-5 1AB D.BC=5 1AB 2 2 6.(永州期末)黄金分割是汉字结构最基本的规 2cm 4cm 8cm A B C 律.如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观.其中 竖笔画起点为A,终点为C,交接处点B恰好 是线段AC的黄金分割点(BC>AB),即BC =AB·AC,若AC=2,则BC的长为() A.W5-1 B.5-1 2 知识点2成比例的线段 C.2√5-2 3.(衡阳期中)下列各组中的四条线段成比例的 是 ( D.无法确定 A.a=2,b=3,c=4,d=1 7宽与长之比为5，：1的矩形叫黄金矩形.如 2 B.a=2,b=5,c=4,d=10 图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那 C.a=4,b=6,c=5,d=10 么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的 D.a=√2，b=3,c=2,d=√3 结论 4.(教材P7练习T1变式)已知a,b,c,d是成比 例的线段 (1)若a=2cm,b=1cm,c=6cm,求d; (2)若a=1.9cm,b=2.7cm,d=8.1cm,求c (3)若b=√3cm,c=√2cm,d=3√3cm,求a. 易错点单位未统一致错 8.A,B两地的实际距离AB=250米，如果画在 地图上的距离A'B'=5厘米，那么地图上的距 离与实际距离的比为 () A.1:50 B.1:5000 C.50:1 D.5000:1 3探究在线九年级数学（上）·灯 2能力在线> :方法规律综合练 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB, 垂足为点D,AC=5,BC=12. 9.已知成比例的四条线段的长度分别为6cm, (1)AC,AB,CD,BC这四条线段是否是成比 12cm,xcm,8cm,且△ABC的三边长分别为 例的线段？请说明理由； xcm,3cm,5cm,则△ABC是 ) (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况， C.直角三角形 D.无法判定 并说明理由. 10.已知线段AB上有两点C,D,且AC:CB=1:5, CD:AB=1:3,则AC:CD等于 A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.1:1 11.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值 越接近0.618时，越给人一种美感.已知某女 士的身高为160cm,下半身长x与身高1的比 值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的 高跟鞋的高度大约为 (精确到1cm) 12.李刚在比例尺是1：100的房屋设计图纸上， 3 拓展在线沙塔优拔尖提升然 …0 量得自家房屋平面图长15cm、宽9cm,若把 房屋的地面铺上边长为0.6m的正方形地 15.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD, 砖，一共需要 块地砖. 取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线 13.小明查阅资料得知，国际标准A4规格纸张 上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形 的长与宽之比恰好为√2：1.已知一张如图所 AMEF,点M在AD上，如图所示 示的A4规格打印纸（长方形纸片ABCD)的 (1)求AM,DM的长； (2)求证：AM=AD·DM; 宽为21cm. (3)由(2)的结论，你能找出图中的黄金分割 (1)这张A4规格打印纸的长为cm; 点吗？ (2)如图，将一张A4规格的打印纸（长方形 纸片ABCD)对半裁剪3次后，请你通过计算 判断剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比是否 还为√2：1. D 第1章4温警提示：清做完后再看答案！ 13.(1)21√2 (2)由对半裁剪可得DE=21E,DG=头 4 21 参考答案 ∴.DG:DE=√2：1. .剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比还为2：1. 14.(1)AC,AB,CD,BC这四条线段是成比例的线段.理由 第1章图形的相似 如下： 1.1线段的比 1.1.1比例的基本性质 在R△ABC中，SA=子AC,BC=ZAB·CD, 基础在线 ..AC_CD 1.4和32和62.B3.C4.C5.(1)4:3(2)15:8 即AC,AB,CD,BC这四条线段是成比例的线段 7.(1)d=-6.(2)c=9. (2)示例：AC,AD,AB,AC这四条线段是成比例的线段. 8.x=40.(2z-1.8.(3)z-号 理由如下： 在Rt△ABC中，AC=5,BC=12, 能力在线 1.v,92v吃 由勾版定理得AB=18一肥品 9.A10B.B12是 14.22 由a可知S-是cD-ACBc-8 AB 131 15.由5a=46,得号=告， 在Rt△ADC中，AC=5,CD=0, 4--1= 1 13’ b (2=+1=号 9 由勾辰定理，得AD=得二吕品-怨 即AC,AD,AB,AC这四条线段是成比例的线段.（答案 不唯一) 1 (3)由(1)÷(2)，得8二b= 5 拓展在线 9 15.(1)四边形ABCD为正方形 a+b 9 ..AB=BC=CD=AD-2. 5 P为AB的中点，∴AP=BP=1. 16.(1)分两种情况讨论： 在Rt△APD中，由勾股定理，得 情况一：a+b十c≠0 由等比性质，k=6+o)+c+a)+a+)_2a+b+d2=2. PD=√1+2=√5=PF,.AF=√5-1. a+b+c a+b+c ,四边形AFEM为正方形， 情况二：a+b十c=0 ,.AM=√5-1，DM=2-(W5-1)=3-√5. 则6什c=一a,代入牛9中，得=二8=-1. (2)证明：A=(√5-1)2=6-2√5， a AD·DM=2X(3-√5)=6-2√5， 综上，k的值为2或一1. ∴.AMP=AD·DM. (2)一、四 (3)点M为线段AD的黄金分割点. 拓展在线 1.2平行线分线段成比例 17.(1)设a-c=-2k,a十b=7k,c-b=k, a一c=一2k, 基础在线 （a=3k, 则a十b=7k,解得b=4k, 1.D2.A c一b=k, c=5k. :a+b十c=24,.3k+4k+5k=24..k=2, AD∥BECR,÷e-器. ∴.a=6,b=8,c=10. BC=3 .AB_2 (2)a2+6=100,c2=100,a2+=c2, AC,心BC=3, ,∴.△ABC是直角三角形. 1.1.2成比例的线段 又DE=6号-县…BF=9. 基础在线 4.号5.86.B7.C8.6或12 AB 2 1 AC 6 3 BC 4 1 能力在线 6 3. 9.C10.A11.5 4号-=d=8m AG AB 2-=7m 12.h∥%，…2架-是而AG=4em,AB=2BC 架-2GF=2em 3 cm .AF=AG+GF=4+2=6(cm). DF AC 5 3 5.D6.A 后…a=2 山W6/k心品-能脚品=是∴EF=号 3 cm. 7.是.证明如下： “GF,AF,EF的长分别为2cm,6cm,3cm. 5 四边形ABEF是正方形，.AB=AF, 四边形ABCD是矩形，.AB=CD..AF=CD 13.(1)证明：过点A作AM∥DF交BC于 又AB=5-1 点M, AD 2,=5-1 LAD 2 即点F是AD的黄金分割点， aM/Dr装-架路品 AF-5 AD..DF-AD-AF-3AD. BD-DC...AE_FA ECFB 器52即器= =荒 矩形CDFE是黄金矩形. 由0能路寸 8.B ,FA=10,.FB=30.∴AB=FB-FA=30-10=20. 能力在线 拓展在线 9.C10.A11.8cm12.375 14.过点D作DG∥CA,交BF于点G, 一探究在线·九年 则祭認- :AD=6,AE=3,AB=5,写-53，EF=号 6 :E是AD的中点，GD∥AF, 易证△AEF≌△DEG,.∴EG=EF, .PG-EG-EF- BG-BG2BG10 10.(1)EC∥AB,.∠EDA=∠DAB. EF F 1 3 ∠EDA=∠ABF,∠DAB=∠ABF,AD∥BC. 又：DC∥AB,,四边形ABCD为平行四边形， E_BG+EG_BG+EF_10+3_13 ..CD=AB=6. :.EF EF EF 3 3 (2)证明：EC∥AB, 1.3相似图形 基础在线 ∴△0AA0ED,÷80-8那 1.C2.D3.94°40°24cm44.C .AD∥BC,.△OBF∽△ODA, 5.对应角：∠BAC与∠EAD,∠ABC与∠AED,∠BCA与 ∠EDA, 0888贺0m=0E0r 对应边的比例式是部-品 拓展在线 11.,四边形DEFC是正方形，.DE=DC,DE∥BC 6.B7.B ∴.△ADE∽△ACB,△ADG∽△ACF. 8.·四边形ABCD和四边形EFGH相似， ,./A=/E=60°，a=∠C=90°. CF· 8=360°-(90°+160+60)=50° 设正方形DEFC的边长为x,则DE=DC=x, ,四边形ABCD和四边形EFGH相似， ..EH_EF 器-B即号=号，懈得x=105 AD=AC-DC=15-,∴55=焉解得x=6, 15 ∴.AD=9,DE=CF=6. .a,3的值分别是90°，50°，EH的长度为10.5m. 能力在线 “0票0=0C-答-9 AC 15 9.610.B11.B 1812 12.(1).△ABCp△DAC,.AB:DA=BC:AC :.GE=DE-DG=6-= 又，'AD=3cm,AC=6cm,BC=9cm, 第2课时相似三角形的判定定理1 .AB-AD BC-3X9-4.5(cm). 基础在线 AC 6 1.B2.D3.C4.C5.△ACE△CDE (2):△ABCD△DAC, ,./DAC=/B=36°，/BAC=/D=117° 6.(1)∠BAD(2)号 ∴.∠BAD=∠DAC+∠BAC=36°+117°=153° 7.(1)证明：∠BCA=∠CDA=90° 13.(1).50cm=0.5m,BC=6m,AB=4m, ..∠B+∠BCD=∠BCD+∠ACD=90°， .EF=AB+0.5=4.5(m),FG=BC+0.5×2=7(m) .∠B=∠ACD,.△BCDn△CAD, 89 4 6 .CD_AD BD D,CD=BD·DA. 8 (2),∠ACB=90°，AC=3,BC=4， .AB=V√BC+AC=5. .石子路外边缘的矩形EFGH与矩形小花园ABCD不 '∠BDC=∠ACB=90°，∠B=∠B,.△BDC∽△BCA, 相似. (2)同(1)可知，EF=(4+0.01y)m,FG=(6+0.02x)m. .BC-BD AB_B 'AB-BC BD-BC 16 AS-9,AD=AB-BD=号 当矩形ABCD∽矩形EFGH时，罪一 8. G' 能力在线 即+0y6+0gz∴号-是。 4 6 9.D10.C11.C 12.△ABC和△GAF都是等腰直角三角形， 拓展在线 .∴.∠B=∠C=∠DAE=45 14.(1)A :∠ADC是△ABD的一个外角， (2)①相似比②相似比的平方③相似比的立方 1.4相似三角形的判定 ADeCMABEDADCAE+∠BAD=∠BAE, 第1课时用平行法判定三角形相似 13.(1)证明：，四边形ABCD为菱形， 基础在线 ∴.CD∥AB,AB=CB, 1.△DEC102.D3.D4.C 5.MN∥AB,AM=3MC,∴△CMNc∽△CAB,M=1 ..<ACD=∠CAB,∠CAB=∠ACB: ∠ACD=∠ABE, AC =4 ∴.∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB, ACAB,即=38 .MC_MN 4=A8AB=38X4=152(m). ∴.△ABCp△AEB. 答：AB的长为152m. (2②)△AB0△AB,提S即是专解得AB=9 6.DC=BD,且DC=4,∴BD=8,BC=12, 拓展在线 14.(1)15 四边形BDFE是菱形， (2)①证明：如图，在Rt△ABC中， ∴BE=EF=FD=BD=8,EF∥BD. ./B+∠BAC=90°， △AEF∽△ABC.AE=EP AE 8 ABBC,即AE年8 ∠BAC=2∠BAD, ∴.∠B+2∠BAD=90°， AE=16,即AE的长度是16. △ABD是“附余三角形”， 能力在线 ②存在.理由如下： 7.1 8.C ,△ABE也是“附余三角形”， 9.,在△ABC中，EG∥BC,.△AEG∽△ABC, .只有2∠B+∠BAE=90°， AE BCAB .4” /C=/C=90° C-10.E-3AB-5G6 .△CAE∽△CBA,可得CA2=CE·CB, .在△BAD中，EF∥AD,.△BEF∽△BAD CE=9BE=5-9=号 .EF-BE 第3课时相似三角形的判定定理2 adba 基础在线 1.D2.D3.104.(1,0) 级数学（上）·XJ一 13