第10讲 一元二次方程概念及其解法 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第10讲 一元二次方程概念及其解法 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，会识别一元二次方程 · 掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） · 理解方程的根的含义，会由根求待定系数 · 熟练掌握四种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 · 能根据方程特点选择最合适的解法 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程概念 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0） ax2为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项 a≠0是必要条件，b、c可为0 概念辨析例题：若(m+1)x2-5x-3=0是一元二次方程，求m的取值范围 解析：二次项系数m+1≠0，故m≠-1 ☆ 2.方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根 一元二次方程最多两个实数根 已知根代入方程可求待定系数 两个根代入可列方程组求多个未知数 概念辨析例题：已知x2+mx-8=0的一个根为-4，求m 解析：代入x=-4：16-4m-8=0，解得m=2 ☆ 3.四种解法 直接开平方法：形如(x+m)2=n（n≥0）直接开方 因式分解法：化为(x-a)(x-b)=0，得x=a或x=b 配方法：方程两边加一次项系数一半的平方 公式法：x= 概念辨析例题：解方程x2-4x-5=0 解析：因式分解(x-5)(x+1)=0，得x=5或x=-1 ☆ 4.解法选择策略 缺一次项（bx=0）→直接开平方法 易因式分解→因式分解法最快 系数较大或不易分解→公式法 题目要求用配方法时才用配方法 概念辨析例题：解方程x(2x+3)-3(2x+3)=0最简单的方法是？ 解析：提取公因式(2x+3)，得(2x+3)(x-3)=0 📋 知识总结表 【考点1】一元二次方程的概念（第1-5题） · 只含一个未知数、最高次2、整式方程三条件 · 化为一般形式后判断 · 注意a≠0 · 项与系数要带符号 1．下列方程： ①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）； ②； ③x2+y＝0； ④（x+3）2＝（x﹣3）2； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数）； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0（m为常数）． 其中一定是一元二次方程的有（　　） A．①②③⑥ B．①⑥ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【解答】解：①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）是一元二次方程，符合题意； ②，是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ③x2+y＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ④（x+3）2＝（x﹣3）2，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数），当m＝0时，不是一元二次方程，不符合题意； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0是一元二次方程，符合题意， 综上所述，一定是一元二次方程是①⑥． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（2026春•海淀区校级期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝x2 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、是分式方程，不是整式方程，不符合题意； B、ax2+bx+c＝0未说明a≠0，当a＝0时方程不是二次方程，不符合题意； C、展开左边得（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，原方程化为x2+x﹣2＝x2，整理得x﹣2＝0，是一元一次方程，不符合题意； D、3x2﹣2x﹣1＝0满足一元二次方程的所有条件，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3．（2026春•东平县期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2＝x（x+1） D．（x+1）（x﹣1）＝0 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意；含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程x2＝x（x+1）整理得x＝0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程（x+1）（x﹣1）＝0整理得x2﹣1＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4．（2025秋•河北校级期中）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得出关于m的等式及不等式，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， m2+1＝2，且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． 5．（2025秋•仪征市期末）把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【解答】解：把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：x2﹣x﹣2＝0， 故答案为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【考点2】一元二次方程的根（第6-10题） · 已知根代入原方程 · 两个根代入列方程组 · 注意增根要检验 · 结合根的定义求待定系数 6．（2024•宁海县校级自主招生）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个解，则代数式的值是 　2　 ． 【分析】把x＝a代入方程x2﹣x﹣1＝0得：a2﹣a﹣1＝0，从而求出a2﹣a，a2﹣1 的值，再整体代入是代数式进行计算即可． 【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣x﹣1＝0得：a2﹣a﹣1＝0， ∴a2﹣a＝1，a2﹣1＝a， ∴ ＝1+1 ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 7．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ． 【分析】结合已知条件得到x+2＝2023，求得x即可． 【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023， 解得x＝2021． 故答案为：x＝2021． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2023是解题的难点． 9．（2025秋•海淀区校级月考）已知a是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，求代数式2a（2a﹣3）+1的值． 【分析】一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x＝a代入原方程可求出a（2a﹣3）＝1，据此利用整体代入法求解即可． 【解答】解：由条件可知2a2﹣3a﹣1＝0， ∴2a2﹣3a＝1， ∴a（2a﹣3）＝1， ∴2a（2a﹣3）+1＝2×1+1＝3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【考点3】直接开平方法（第11-16题） · 方程化为(x+m)2=n · n≥0时开方得两解 · n=0时两等根 · n<0时无实数根 10．（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　　 ． 【分析】根据题意，得出m+1与2m﹣4互为相反数，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4， 所以m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， 即该方程的两个根为±2． 因为方程可化为x2， 所以（±2）2＝4， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，能根据题意得出m+1与2m﹣4互为相反数是解题的关键． 11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，等式右侧为通常的混合运算．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　4或﹣3　 ． 【分析】根据新运算法则列出方程[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，然后解方程即可． 【解答】解：∵（m+2）◎（m﹣3）＝24， ∴[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24， ∴（2m﹣1）2﹣25＝24， ∴（2m﹣1）2＝49， ∴2m﹣1＝±7， ∴m1＝4，m2＝﹣3， 故答案为：4或﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的运算，理解新运算法则是解题的关键． 12．（2025秋•江宁区校级月考）若关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，则关于x的一元二次方程a（x+h﹣1）2+k＝0的解为 x3＝0，x4＝4　 ． 【分析】把方程a（x+h﹣1）2+k＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，则利用关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3得到x﹣1＝﹣1或x﹣1＝3，然后解一次方程即可． 【解答】解：把方程a（x+h﹣1）2+k＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3， ∴x﹣1＝﹣1或x﹣1＝3， 解得：x3＝0，x4＝4， 即关于x的一元二次方程a（x+h﹣1）2+k＝0的解是x3＝0，x4＝4． 故答案为：x3＝0，x4＝4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用换元法是解决问题的关键． 13．（2025秋•兰州校级期末）解方程：（x﹣1）2＝16． 【分析】根据平方根定义即可求出答案． 【解答】解：原方程开方得x﹣1＝±4， 解得x1＝5，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了平方根的定义．熟练掌握该知识点是关键． 14．（2025秋•九台区月考）用直接开平方法解方程： （1）（x+3）2﹣121＝0； （2）3（2x﹣6）2＝18． 【分析】（1）先移项，然后直接开平方得x+3＝±11，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到（2x﹣6）2＝6，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）（x+3）2﹣121＝0， （x+3）2＝121， x+3＝±11， ∴x1＝8，x2＝﹣14； （2）3（2x﹣6）2＝18， （2x﹣6）2＝6， ， ∴，． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． 【考点4】因式分解法（第17-28题） · 右边化为0 · 左边因式分解 · 令每个因式为0 · 提公因式、平方差、完全平方、十字相乘 15．（2023秋•灌云县校级月考）若x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C． D．无法确定 【分析】由（2x+m）（x﹣4）＝0知2x+m＝0或x﹣4＝0，据此得x或x＝4，结合x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解可得关于m的方程，解之可得答案． 【解答】解：∵（2x+m）（x﹣4）＝0， ∴2x+m＝0或x﹣4＝0， 解得x或x＝4， 又∵x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解， ∴， ∴m＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 16．（2025秋•南京期末）方程x2＝x的根为 x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】移项后再因式分解求得两根即可． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 解得x＝0，x＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 17．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　②　 步开始出错．（填序号） 解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x 解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…① 2x＝﹣1…② x③ 【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0， 故答案为：②． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 18．（2025秋•肇源县月考）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　16或17　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝6，再利用三角形三边的关系得到答案． 【解答】解：x2﹣11x+30＝0， （x﹣5）（x﹣6）＝0， x﹣5＝0或x﹣6＝0， x1＝5，x2＝6， ∴等腰三角形的两边长分别为5或6， ①等腰三角形的腰为5，则底边为6时， ∴等腰三角形的周长为5+5+6＝16， ②等腰三角形的腰为6，则底边为5， ∴等腰三角形的周长为6+6+5＝17， ∴该等腰三角形的周长是16或17， 故答案为：16或17． 【点评】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形的定义等知识，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 19．（2025秋•秦淮区期末）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 20．（2026秋•香坊区校级月考）定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn＝m（m﹣n）+2n．若xΔ4＝8，当x＞0时，则x的值是　4　 ． 【分析】根据已知易得：x（x﹣4）+2×4＝8，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵xΔ4＝8， ∴x（x﹣4）+2×4＝8， x（x﹣4）＝0， ∵x＞0， ∴x﹣4＝0， 解得：x＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．（2026•建华区二模）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 【分析】根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：原方程因式分解可得（x﹣2）（5x+3）＝0， ∴x﹣2＝0或5x+3＝0， 解得x1＝2，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 22．（2022秋•锦江区校级月考）解方程： （1）； （2）x（2x+1）＝8x﹣3． 【分析】（1）方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1），去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）将原方程化为一般形式后利用因式分解法解方程即可； 【解答】解：（1）去分母，方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得：x（x+1）＝4+（x+1）（x﹣1）， 解得：x＝3． 检验：把x＝3代入（x+1）（x﹣1）＝（3+1）（3﹣1）＝8≠0， ∴原分式方程的解是x＝3； （2）把方程化为一般形式得：2x2﹣7x+3＝0， ∴（2x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴，x2＝3． 【点评】本题考查了解分式方程和解一元二次方程．熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法是解题的关键． 23．（2025秋•前郭县期末）用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【解答】解：（1）原方程配方得：x2﹣8x+16＝4， （x﹣4）2＝4， x﹣4＝±2， x1＝6，x2＝2； （2）原方程因式分解可得： （x﹣3）[（x﹣3）﹣2x]＝0， （x﹣3）（﹣x﹣3）＝0， x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0， x1＝3，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 24．（2026•泸县一模）解方程：（x﹣1）2＝3x﹣3． 【分析】移项后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：移项得， （x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣1﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝4，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选用合适的方法是解答本题的关键． 【考点5】配方法（第29-36题） · 二次项系数化为1 · 移常数项到右边 · 两边加一次项系数一半的平方 · 写成完全平方后开方 25．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 26．（2025秋•皮山县期末）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可解决问题． 【解答】解：由题知， x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 27．（2026春•鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　1　 ． 【分析】利用配方法把方程x2﹣6x+a＝0化为（x+b）2＝7的形式，进而求出a、b，代入计算即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+a＝0， ∴x2﹣6x+9＝﹣a+9， ∴（x﹣3）2＝﹣a+9， ∵关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7， ∴b＝﹣3，﹣a+9＝7， ∴a＝2， ∴（a+b）2026＝（2﹣3）2026＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 28．（2026•北京校级开学）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n＝　3　 ． 【分析】将原方程通过移项、配方化为（x+m）2＝n的形式，得到m和n的值，再计算m+n即可． 【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝﹣3， 配方得x2﹣6x+9＝﹣3+9， 整理得（x﹣3）2＝6， 对比（x+m）2＝n，可得m＝﹣3，n＝6， 因此m+n＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 29．（2026•碑林区校级模拟）解一元二次方程：x2﹣2x＝3． 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：由题意得，x2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 30．（2024•阿克苏地区模拟）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，从第 　③　 步开始出现错误，错误的原因是 　右边没有加上1　 .用这种方法解方程2x2﹣4x﹣3＝0． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即判断． 【解答】解：解答过程不正确，从第③步开始出现错误，错误原因是右边没有加上1， 移项，得2x2+4x＝1， 二次项系数化为1，得， 配方，得1，即（x+1）2， 由此可得x+1＝±， x1＝﹣1，x2＝﹣1． ∵2x2﹣4x﹣3＝0， ∴2x2﹣4x＝3， 则x2﹣2x， ∴x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 故答案为：③，右边没有加上1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 31．（2025秋•奉贤区期末）用配方法解方程：． 【分析】移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：原方程移项得， 整理得，， ， ， ， 解得，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【考点6】公式法（第37-44题） · 化为一般式确定a、b、c · 计算判别式Δ=b2-4ac · 代入求根公式 · Δ<0时无实数根 32．（2022秋•湖里区校级期中）用求根公式求一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根，公式中的b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【分析】根据b为一元二次方程一次项的系数，即可得出结果． 【解答】解：∵x2﹣2x+3＝0， ∴b＝﹣2； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，以及求根公式．解题的关键是掌握b为一元二次方程一次项的系数． 33．（2026春•莱州市期中）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 【分析】当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，则，由此根据题意可得a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，再代值计算即可． 【解答】解：∵是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3， ∴a+b+c ＝2+（﹣6）+（﹣3） ＝﹣4+（﹣3） ＝﹣（4+3） ＝﹣7， 即a+b+c＝﹣7， 故选：D． 【点评】本题主要考查了公式法解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．（2025秋•周口月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，5}＝5，按照这个规定，方程Max{1，4x}＝x2﹣5的解为x＝　5或　 ． 【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可． 【解答】解：当4x＞1，即时， 原方程即为x2﹣5＝4x， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， 因式分解得：（x﹣5）（x+1）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍去）， 此时x＝5； 当4x＜1，即时， 原方程即为：x2﹣5＝1， 整理得：x2＝6， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，原方程的解为x＝5或， 故答案为：5或． 【点评】本题考查解一元二次方程，实数的运算，实数的大小比较，方程的解，理解题意并进行正确的分类讨论是解题的关键． 35．以为根的一元二次方程可能是x2﹣bx﹣c＝0（答案不唯一）．　 ． 【分析】利用公式法进行解答即可． 【解答】解：由题知， 令这个可能得方程为mx2+nx+p＝0， 由这个方程的一个根为得， 2m＝2，﹣n＝b，﹣4mp＝4c， 则m＝1，n＝﹣b，p＝﹣c， 所以这个一元二次方程可能是x2﹣bx﹣c＝0． 故答案为：x2﹣bx﹣c＝0（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法、一元二次方程的解及二次根式的性质与化简，熟知公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 36．（2025秋•涪城区期中）关于x的方程（m+1）0是一元二次方程，则m＝　3　 ． 【分析】由一元二次方程的定义可得m2﹣2m﹣1＝2且m+1≠0，解得m的值即可． 【解答】解：∵关于x的方程（m+1）0是一元二次方程， ∴m2﹣2m﹣1＝2且m+1≠0， 将m2﹣2m﹣1＝2整理得m2﹣2m﹣3＝0， 因式分解得：（m+1）（m﹣3）＝0， 解得：m1＝﹣1，m2＝3， 由m+1≠0得m≠﹣1， 综上，m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 37．（2026•台山市一模）解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【解答】解：原方程整理得：3x2﹣13x﹣10＝0， a＝3，b＝﹣13，c＝﹣10， Δ＝b2﹣4ac＝289＞0， ， ． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 38．（2025秋•西安校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）将x＝﹣2代入方程，通过化简得到a＝c，从而判断△ABC为等腰三角形； （2）利用等边三角形性质a＝b＝c，代入方程化简后求解一元二次方程． 【解答】解：（1）由条件可得a×（﹣2）2+（b+c）×（﹣2）+2（b﹣c）＝0， 即4a﹣2（b+c）+2（b﹣c）＝0， 化简得4a﹣2b﹣2c+2b﹣2c＝0， ∴4a﹣4c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）由条件可知a＝b＝c， 于是方程变为ax2+（a+a）x+2（a﹣a）＝0， 即ax2+2ax＝0， ∵a＞0， ∴两边除以a得x2+2x＝0， 即x（x+2）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 39．（2024秋•铁岭县校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣4a＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）将x＝2代入方程，进行整理即可判断△ABC的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用b表示a，c，解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，理由： 将x＝2代入方程，整理得：4c﹣4b＝0， ∴c＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （2）根据条件可知：a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx﹣4a＝0， ∴（b+b）x2﹣2bx﹣4b＝0， ∵b≠0， ∴x2﹣x﹣2＝0，即：（x+1）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2． 【点评】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质． 💯 课后巩固 复习建议 · 一元二次方程三要素：一个未知数、最高次2、整式 · 一般形式ax2+bx+c=0中a≠0 · 四种解法：直接开方、因式分解、配方、公式 · 优先选因式分解，其次直接开方，最后公式法 · 已知根代入方程求待定系数 【作业 1】（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程． 【作业 2】（2026春•鹿城区期中）把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 【分析】先利用乘法公式展开，然后移项得到一元二次方程的一般式． 【解答】解：去括号得x2﹣4＝4x， 移项得一般式为：x2﹣4x﹣4＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【作业 3】（2024秋•普宁市期末）解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【分析】结合方程特点即可得出答案． 【解答】解：解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是因式分解法， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【作业 4】（2025秋•贵阳校级月考）若（m+1）x2﹣5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为m≠﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零进行求解即可． 【解答】解：根据题意得二次项系数m+1≠0， 解得m≠﹣1； 故答案为 m≠﹣1． 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【作业 5】（2026秋•北京校级月考）已知方程x2+mx﹣8＝0的一个根为﹣4，则m的值为　2　 ． 【分析】根据方程根的意义，把已知根代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：∵x＝﹣4是方程x2+mx﹣8＝0的根， ∴（﹣4）2+m•（﹣4）﹣8＝0． ∴8﹣4m＝0． ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握方程的根的意义及一元一次方程的解法是解决本题的关键．另解决本题亦可用根与系数的关系． 【作业 6】（2026春•达川区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是k＝0或k＝4　 ． 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和与两根之积，再将已知条件展开变形，代入求解k的值． 【解答】解：已知一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0，两根x1，x2， 根据韦达定理，得： x1+x2＝4k， x1x2＝﹣（k2+1）， （x1﹣1）（x2﹣1）＝0， x1x2﹣（x1+x2）+1＝0， 将韦达定理结果代入上式： ﹣（k2+1）﹣4k+1＝0， ﹣k2﹣4k＝0， k2+4k＝0， k（k+4）＝0， 解得k＝0或k＝4． 故答案为：k＝0或k＝4． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，熟练掌握韦达定理公式及代数式变形是解题的关键． 【作业 7】（2026春•虹口区校级月考）方程组只有两组实数解，则a＝　3　 ． 【分析】由（x+y）2＝16可得x+y＝±4，再分别代入x2+y2＝2（1+a），整理得到（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3，最后根据方程组只有两组实数解，得到（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3都只有唯一解，即可得到a﹣3＝0． 【解答】解：由（x+y）2＝16可得x+y＝±4， ∴x＝4﹣y或x＝﹣4﹣y， 把x＝4﹣y代入x2+y2＝2（1+a）， 得（4﹣y）2+y2＝2（1+a）， 展开整理得y2﹣4y+7＝a， ∴（y﹣2）2＝a﹣3， 同理把x＝﹣4﹣y代入x2+y2＝2（1+a）， 整理得（y+2）2＝a﹣3， ∴（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3的解的个数一致， ∵方程组只有两组实数解， ∴（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3都只有唯一解， ∴a﹣3＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查二元二次方程组，解一元二次方程，掌握二元二次方程组的解法是解题的关键． 【作业 8】（2023秋•滕州市期中）用适当方法解下列方程： （1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）； （2）x2﹣4x+5＝0； （3）2x2+3x﹣4＝0； （4）4（x2﹣x）＝﹣1． 【分析】（1）先移项，然后提取公因式将原方程转化为（x﹣3）（5x﹣2）＝0，进而得x﹣3＝0或5x﹣2＝0，然后解这两个一元一次方程即可得出原方程的解； （2）利用求根公式法，先求出根的判别式Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，据此得原方程没有实数根； （3）利用求根公式法，先求出根的判别式Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，然后代入求根公式即可得出原方程的解； （4）先将原方程化为一般式4x2﹣4x+1＝0，再进行因式分解得（2x﹣1）2＝0，据此可得原方程的解． 【解答】解：（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）， 移项得：5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（5x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或5x﹣2＝0， 由x﹣3＝0，解得：x＝3， 由5x﹣2＝0，解得：x＝0.4， ∴原方程的解为：x1＝3，x2＝0.4． （2）x2﹣4x+5＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝5， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0， ∴原方程没有实根． （3）2x2+3x﹣4＝0， a＝2，b＝3，c＝﹣4， Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41， ∴x， ∴原方程的解为：x1，x2； （4）4（x2﹣x）＝﹣1， 将原方程转化为一般式得：4x2﹣4x+1＝0， ∴（2x﹣1）2＝0， ∴2x﹣1＝0， 解得：x， ∴原方程的解为：x1＝x2 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、求根公式法解一元二次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 【作业 9】（2026春•越城区校级单元）解下列方程： （1）x2﹣6x＝1； （2）2x2﹣5x+2＝0； （3）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0； （4）2x2+2x+1＝0． 【分析】（1）根据公式法进行计算即可； （2）根据十字相乘法进行计算即可； （3）根据提公因式法进行计算即可； （4）根据公式法进行计算即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x＝1， x2﹣6x﹣1＝0， a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣1）＝36+4＝40， ， ，，； （2）2x2﹣5x+2＝0， （x﹣2）（2x﹣1）＝0， x﹣2＝0或2x﹣1＝0， ，x2＝2； （3）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0， （x﹣3）（﹣3﹣x）＝0， x﹣3＝0或﹣3﹣x＝0， x1＝3，x2＝﹣3； （4）2x2+2x+1＝0， a＝2，b＝2，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×2×1＝4﹣8＝﹣4＜0， 故原方程无实数根． 【点评】本题主要考查的是解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 【作业 10】（2026秋•小店区校级月考）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0； （2）4（x﹣1）2＝25； （3）x2﹣8x﹣1＝0； （4）2x2+6x﹣1＝0． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝0，x2＝3； （2）4（x﹣1）2＝25， （x﹣1）2， ∴x﹣1或x﹣1， ∴x1，x2； （3）x2﹣8x﹣1＝0， x2﹣8x＝1， x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17， ∴x﹣4或x﹣4， ∴x1＝4，x2＝4； （4）2x2+6x﹣1＝0， ∵b2﹣4ac＝62﹣4×2×（﹣1）＝44＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【作业 11】（2026•东昌府区校级开学）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10； （3）x2+4x+1＝0； （4）3x2+2x﹣3＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【解答】解：（1）4（x﹣5）2＝16， （x﹣5）2＝4， x﹣5＝±2， x1＝7，x2＝3； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10， （3x﹣5）2﹣2（3x﹣5）＝0， （3x﹣5）[（3x﹣5）﹣2]＝0， （3x﹣5）（3x﹣7）＝0， 3x﹣5＝0或3x﹣7＝0， ，； （3）x2+4x+1＝0， x2+4x＝﹣1， x2+4x+4＝﹣1+4， （x+2）2＝3， ， ，； （4）3x2+2x﹣3＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x， ∴，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，直接开平方法，配方法及公式法是解题的关键． 【作业 12】（2026•徐州模拟）解方程： （1）x2+4x+2＝0； （2）． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2+4x＝﹣2， ∴x2+4x+4＝2， ∴（x+2）2＝2， ∴， 解得，； （2）． 方程两边同时乘以x（x﹣1）得3（x﹣1）﹣2x＝0， 去括号得3x﹣3﹣2x＝0， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，x（x﹣1）≠0， ∴x＝3是原方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 13】（2025秋•莲湖区校级月考）解一元二次方程：3x2+2x﹣2＝0． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：3x2+2x﹣2＝0． Δ＝4+24＝28， ∴x， x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，确定判别式正负是解此题的关键，难度适中． 【作业 14】（2025春•舒城县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【分析】（1）先表示出（x﹣2）2＝3，再展开，得到2x2﹣8x+2＝0，即可得到结果； （2）先表示出（x﹣1）2＝2，再展开x2﹣2x＝1，即可得到结果； （3）先表示出（2x+1）2＝5，再展开x2+x＝1，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）∵， ∴， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+7＝8． （3）∵， ∴， ∴（2x+1）2＝5， ∴x2+x＝1， ∴3x3+6x2+2025＝3x2+3x+2025＝2028． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一元二次方程概念及其解法 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，会识别一元二次方程 · 掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） · 理解方程的根的含义，会由根求待定系数 · 熟练掌握四种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 · 能根据方程特点选择最合适的解法 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程概念 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0） ax2为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项 a≠0是必要条件，b、c可为0 概念辨析例题：若(m+1)x2-5x-3=0是一元二次方程，求m的取值范围 解析：二次项系数m+1≠0，故m≠-1 ☆ 2.方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根 一元二次方程最多两个实数根 已知根代入方程可求待定系数 两个根代入可列方程组求多个未知数 概念辨析例题：已知x2+mx-8=0的一个根为-4，求m 解析：代入x=-4：16-4m-8=0，解得m=2 ☆ 3.四种解法 直接开平方法：形如(x+m)2=n（n≥0）直接开方 因式分解法：化为(x-a)(x-b)=0，得x=a或x=b 配方法：方程两边加一次项系数一半的平方 公式法：x= 概念辨析例题：解方程x2-4x-5=0 解析：因式分解(x-5)(x+1)=0，得x=5或x=-1 ☆ 4.解法选择策略 缺一次项（bx=0）→直接开平方法 易因式分解→因式分解法最快 系数较大或不易分解→公式法 题目要求用配方法时才用配方法 概念辨析例题：解方程x(2x+3)-3(2x+3)=0最简单的方法是？ 解析：提取公因式(2x+3)，得(2x+3)(x-3)=0 📋 知识总结表 方法 适用方程特征 关键步骤 直接开平方法 (x+m)2=n 两边开方 因式分解法 易分解为乘积 提公因式/十字相乘 配方法 一般式，配方 加(一次项系数/2)2 公式法 不易分解 代入x= 一般形式 ax2+bx+c=0 a≠0 方程的根 代入成立 最多两个实根 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念（第1-5题） · 只含一个未知数、最高次2、整式方程三条件 · 化为一般形式后判断 · 注意a≠0 · 项与系数要带符号 1．下列方程： ①2x2﹣mx﹣1＝0（m为常数）； ②； ③x2+y＝0； ④（x+3）2＝（x﹣3）2； ⑤mx2﹣3x+2＝0（m为常数）； ⑥（m2+1）x2+（2m﹣1）x+2﹣m＝0（m为常数）． 其中一定是一元二次方程的有（　　） A．①②③⑥ B．①⑥ C．③④⑤ D．②③④⑤ 2．（2026春•海淀区校级期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝x2 D．3x2﹣2x﹣1＝0 3．（2026春•东平县期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2＝x（x+1） D．（x+1）（x﹣1）＝0 4．（2025秋•河北校级期中）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 _______ ． 5．（2025秋•仪征市期末）把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：____________________ ． 【考点2】一元二次方程的根（第6-10题） · 已知根代入原方程 · 两个根代入列方程组 · 注意增根要检验 · 结合根的定义求待定系数 6．（2024•宁海县校级自主招生）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个解，则代数式的值是 _____ ． 7．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为_____ ． 8．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ___________ ． 9．（2025秋•海淀区校级月考）已知a是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，求代数式2a（2a﹣3）+1的值． 【考点3】直接开平方法（第11-16题） · 方程化为(x+m)2=n · n≥0时开方得两解 · n=0时两等根 · n<0时无实数根 10．（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则__________________ ． 11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，等式右侧为通常的混合运算．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝_________ ． 12．（2025秋•江宁区校级月考）若关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，则关于x的一元二次方程a（x+h﹣1）2+k＝0的解为 ______________ ． 13．（2025秋•兰州校级期末）解方程：（x﹣1）2＝16． 14．（2025秋•九台区月考）用直接开平方法解方程： （1）（x+3）2﹣121＝0； （2）3（2x﹣6）2＝18． 【考点4】因式分解法（第17-28题） · 右边化为0 · 左边因式分解 · 令每个因式为0 · 提公因式、平方差、完全平方、十字相乘 15．（2023秋•灌云县校级月考）若x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C． D．无法确定 16．（2025秋•南京期末）方程x2＝x的根为 ______________ ． 17．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 _____ 步开始出错．（填序号） 解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x 解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…① 2x＝﹣1…② x③ 18．（2025秋•肇源县月考）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两根，则该等腰三角形的周长是__________ ． 19．（2025秋•秦淮区期末）方程x2＝x的解是 ______________ ． 20．（2026秋•香坊区校级月考）定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn＝m（m﹣n）+2n．若xΔ4＝8，当x＞0时，则x的值是_____ ． 21．（2026•建华区二模）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 22．（2022秋•锦江区校级月考）解方程： （1）； （2）x（2x+1）＝8x﹣3． 23．（2025秋•前郭县期末）用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 24．（2026•泸县一模）解方程：（x﹣1）2＝3x﹣3． 【考点5】配方法（第29-36题） · 二次项系数化为1 · 移常数项到右边 · 两边加一次项系数一半的平方 · 写成完全平方后开方 25．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 26．（2025秋•皮山县期末）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 27．（2026春•鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝_____ ． 28．（2026•北京校级开学）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n＝_____ ． 29．（2026•碑林区校级模拟）解一元二次方程：x2﹣2x＝3． 30．（2024•阿克苏地区模拟）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，从第 _____ 步开始出现错误，错误的原因是 ____________ .用这种方法解方程2x2﹣4x﹣3＝0． 31．（2025秋•奉贤区期末）用配方法解方程：． 【考点6】公式法（第37-44题） · 化为一般式确定a、b、c · 计算判别式Δ=b2-4ac · 代入求根公式 · Δ<0时无实数根 32．（2022秋•湖里区校级期中）用求根公式求一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根，公式中的b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 33．（2026春•莱州市期中）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 34．（2025秋•周口月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，5}＝5，按照这个规定，方程Max{1，4x}＝x2﹣5的解为x＝__________________ ． 35．以为根的一元二次方程可能是____________________ ． 36．（2025秋•涪城区期中）关于x的方程（m+1）0是一元二次方程，则m＝_____ ． 37．（2026•台山市一模）解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 38．（2025秋•西安校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 39．（2024秋•铁岭县校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣4a＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【作业 2】（2026春•鹿城区期中）把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 【作业 3】（2024秋•普宁市期末）解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【作业 4】（2025秋•贵阳校级月考）若（m+1）x2﹣5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为_________ ． 【作业 5】（2026秋•北京校级月考）已知方程x2+mx﹣8＝0的一个根为﹣4，则m的值为_____ ． 【作业 6】（2026春•达川区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是____________ ． 【作业 7】（2026春•虹口区校级月考）方程组只有两组实数解，则a＝_____ ． 【作业 8】（2023秋•滕州市期中）用适当方法解下列方程： （1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）； （2）x2﹣4x+5＝0； （3）2x2+3x﹣4＝0； （4）4（x2﹣x）＝﹣1． 【作业 9】（2026春•越城区校级单元）解下列方程： （1）x2﹣6x＝1； （2）2x2﹣5x+2＝0； （3）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0； （4）2x2+2x+1＝0． 【作业 10】（2026秋•小店区校级月考）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0； （2）4（x﹣1）2＝25； （3）x2﹣8x﹣1＝0； （4）2x2+6x﹣1＝0． 【作业 11】（2026•东昌府区校级开学）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10； （3）x2+4x+1＝0； （4）3x2+2x﹣3＝0． 【作业 12】（2026•徐州模拟）解方程： （1）x2+4x+2＝0； （2）． 【作业 13】（2025秋•莲湖区校级月考）解一元二次方程：3x2+2x﹣2＝0． 【作业 14】（2025春•舒城县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 复习建议 · 一元二次方程三要素：一个未知数、最高次2、整式 · 一般形式ax2+bx+c=0中a≠0 · 四种解法：直接开方、因式分解、配方、公式 · 优先选因式分解，其次直接开方，最后公式法 · 已知根代入方程求待定系数 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $