3.2.1配方法第2课时 教学设计 2026-2027学年湘教版（新教材 ）九年级上册数学

该初中数学教学设计聚焦二次项系数为1的一元二次方程配方法，通过复习完全平方公式与直接开平方法，提出非直接开方方程的变形问题，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理配方原理与转化思路。 此资料以“观察—归纳—抽象”过程引导学生理解配方本质，通过规范步骤教学（移项→配方→开方→求解）培养运算能力与推理意识，结合实际问题（如排球邀请赛）和代数式最值探究发展模型意识，助力学生掌握配方技巧与化归思想，为教师提供清晰教学流程与分层练习，提升课堂效率。

3.2.1配方法第2课时教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 三 课题 3.2.1配方法第2课时 课时 1 课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准，本节课属于数与代数领域方程与不等式板块，要求学生理解配方的意义与依据，掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方法；经历配方、变形、开方、求解的完整过程，体会降次、化归的核心数学思想；能规范运用配方法解方程，准确完成配方变形与步骤书写；发展代数推理、运算能力与严谨表达习惯，为后续学习二次项系数不为1的配方、公式法推导提供关键支撑。 教材分析 本节是配方法的核心课时，承接上一课时直接开平方法，正式进入配方求解阶段。教材从完全平方公式回顾入手，通过“补项成方”将一般方程转化为可直接开平方的形式，给出配方法定义，再以典型例题示范规范步骤。内容以二次项系数为1为切入点，突出“加上一次项系数一半的平方”这一关键操作，实现从“普通二次方程”到“完全平方式”的转化，既是对完全平方公式的逆向应用，也是公式法的理论基础，在整章解法学习中起承上启下作用。 学情分析 九年级学生已掌握直接开平方法与完全平方公式，能进行简单等式变形，但对“配方”的目的与操作逻辑不清晰；易出现漏加、加错、符号错误等问题；对“等式两边同时加”与“左边加右边也要加”理解不透彻。学生习惯于机械计算，缺乏代数变形的整体意识，需要通过公式回顾、阶梯练习、步骤模板化教学，强化配方操作的规范性与准确性。 教学目标 1.理解配方法的原理，掌握二次项系数为1时的配方技巧，能规范运用配方法解一元二次方程。 2.经历配方变形、转化求解的过程，深刻体会化归、降次、整体代换的数学思想。 3.熟练掌握完全平方公式的逆用，提升代数变形、运算准确性与逻辑推理能力。 4.养成按步骤书写、及时检验、不漏根、不写错符号的良好解题习惯。 教学重点 1.配方法的基本步骤与一次项系数一半的平方的配方操作。 2.将一般形式转化为并正确开方求解。 教学难点 配方过程中等式的恒等变形，确保左右两边同时加相同常数，不破坏等式成立。 教学过程 教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 复习回顾 1. 完全平方公式:？ 2. 方程用什么方法解？ 探究问题 方程不能直接开方，怎样变形才能变成数的形式？ 答案 1. 2. 直接开平方法 3. 两边同时加，得. 回顾完全平方公式与直接开平方法，为配方学习做好知识铺垫。 回忆公式与解法，口述关键步骤与依据。 巩固旧知，搭建由完全平方公式到配方法的转化桥梁。 讲授新课 探究活动一:配方法 说一说:(1) . (2)把完全平方公式从右到左地使用，在下列各题中，填上适当的数，使等式成立: ①; ②; ③ 学生思考: . ①; ②; ③ 探究:如何解方程? 前面已经知道，如果能把这个方程写成的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解. 因此，需要在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，即加上；为了使等式仍然成立，应当再减去.于是，原方程可写成: ， 移项得. 即. 根据平方根的意义，得或, 解得. 归纳:一般地，像上面这样，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法． 配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 方法总结: 1.核心依据:完全平方公式的逆用，构造完全平方式。 2.配方操作:方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 3.配方法定义:通过配方将一元二次方程转化为可直接开平方的形式求解。 4.关键原则:等式两边同加同减，保证恒等变形。 引导逆用完全平方公式，归纳配方操作与配方法定义，强调等式恒等变形。 观察、补项、配方，理解配方本质并总结操作方法。 经历“观察—归纳—抽象”过程，建立配方法核心概念与操作逻辑。 探究活动二:用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例3用配方法解下列方程: (1); (2). 解:(1)移项，得, 配方，得, 因此. 由此得或. 解得. (2)移项，得, 配方，得, 因此. 由此得或. 解得. 总结归纳: 1.标准步骤:移项→配方→开方→求解。 2.易错提醒:开方必须写±，不漏负根；配方时左右两边同时加常数。 3.思想方法:降次思想、化归思想，将二次方程转化为一元一次方程。 示范规范解题步骤，强调移项、配方、开方、求解的书写格式。 模仿步骤解方程，熟练掌握配方与开方求解流程。 规范解题流程，强化运算能力，突破易错点。 课堂练习 课堂练习 1.用配方法解方程x²+8x+9=0,变形后的结果正确的是( ) A.(x+4)²=-9 B.(x+4)²=-7 C.(x+4)²=25 D.(x+4)²=7 2.用配方法解方程. (1)x²+2x-5=0 (2)x²+22x-240=0 3.已知方程x²-6x+q=0可以配方成(x-p)²=7的形式，那么x²-6x+q=2可以配方成下列的( ) A.(x-p)²=5B.(x-p)²=9 C.(x-p+2)²=9D.(x-p+2)²=5 4.若|x²-4x+4|与互为相反数,则x+y的值为( ) A.3B.4 C.6D.9 5.已知方程x²+4x+n=0可以配方成(x+m)²=3,则 6.关于x的二次三项式x²+4x+9进行配方得x²+4x+9=(x+m)²+n. (1)m= ,n= . (2)当x为何值时，此二次三项式的值为7? 7.若(2x+3y)²+2(2x+3y)-4=0,求2x+3y的值.(提示:换元法,设t=2x+3y) 8.某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛? 9.求代数式x²+4x+5的最小值.同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法. 解:x²+4x+5=x²+4x+4+1=(x+2)²+1. ∵(x+2)²≥0,∴当x=-2时,(x+2)²的值最小，最小值是0,∴(x+2)²+1≥1. ∴当(x+2)²=0时,(x+2)²+1的值最小，最小值是1，∴x²+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列问题. (1)求代数式x²-6x+12的最小值并求出此时x的值. (2)求代数式x²+y²+2x-4y+17的最小值. 1.D (2)x₁=8,x₂=-30, 3.B4.A5.16.(1)2,5 7.解:设t=2x+3y,则原方程变t²+2t-4=0,配方得(t+1)²=5,解得 的值为 8.解:设比赛组织者应邀请x个队参赛， 由题意可列方程为 解得x₁=8,x₂=-7(不合题意，舍去). 答:比赛组织者应邀请8个队参赛. 9.解:(1)∵x²-6x+12=(x-3)²+3,且(x-3)²≥0,∴(x-3)²+3≥3, ∴当x=3时,x²-6x+12有最小值3. (2)原式=(x²+2x+1)+(y²-4y+4)+12=(x+1)²+(y-2)²+12. ∵(x+1)²≥0,(y-2)²≥0,∴代数式的最小值为12. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.配方法:通过构造完全平方式解一元二次方程的方法。 2.配方操作:等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 3.解方程四步骤:移项、配方、开平方、解一元一次方程。 4.核心思想:降次、化归，将二次方程转化为一次方程。 5.易错点:配方要两边同加；开平方必须写出正负两个根。 6.适用类型:二次项系数为1的一元二次方程。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。 板书设计 3.2.1配方法(第2课时) 1. 依据:完全平方公式 2. 配方:两边加一次项系数一半的平方 3. 步骤:移项→配方→开方→求解 4. 关键:等式恒等变形，开方必写± 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。 作业设计 基础达标: 1.用配方法解方程时，配方后正确的是( ) A. B. C. D. 2.若一元二次方程经过配方，变形为n的形式,则mn的值为 . 3.方程的解是 ( ) A. B. C. D. 4.一元二次方程的解是 ( ) A. B. C. D. 5.已知方程可转化为,则q= . 6.解下列方程: 能力提升: 7.把方程化成的形式，下列变形正确的是 ( ) A. B. C. D. 8.如果用配方法可以将关于x的方程变形为那么用配方法也可以将关于的方程变形为下列形式 ( ) A. B. C. D. 9.用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为 ( ) A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 10.已知多项式(x为任意实数)，则多项式P与Q的大小关系为 ( ) A.P≤Q B.P>Q C.P=Q D.P<Q 11.若a为方程的正根，b为方程的负根，求a+b的值. 12.如图,某农场有一块长40m、宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m²,求小路的宽. 拓展迁移: 13.小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象:对于关于x的多项式由于所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当,即或时,.的值均为3;当,即或时,的值均为6. 于是小明给出一个定义:对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称.例如关于对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题: (1)多项式关于 对称；若关于的多项式.关于对称,则b= ; (2)关于x的多项式.关于对称，且当时，多项式的值为,求时,多项式的值. 1.B 2.48解析:∵一元二次方程经过配方，变形为的形式， ∴m=6, 配方，得( ∴n=8, ∴mn=6×8=48. 3.D 4.A解析: 解得故选A. 5.2 6.解:(1)移项,得 (2)移项,得 7.B解析:由得方程两边同时加4,得x²-4x+4=7+4,∴(x-2)²=11. 8.B9.D10.D 11.解:∵方程的解为 且 ∵方程 即的解为 且 12.解:设小路的宽为xm. 依题意,得(40-x)(32-x)=1140, 整理，得 解得(不合题意，舍去). 故小路的宽为2m. 13.解:( ∴该多项式关于对称； ∵关于的多项式.关于对称,. 答案: 且该多项式关于对称， 当时，多项式的值为， , 时, 教学反思 本节课以完全平方公式为起点，聚焦配方原理与规范步骤，紧扣2022新课标强化运算与推理素养。教学中突出“为什么配、配什么、怎么配”，通过例题示范、变式训练及时纠正漏配、符号错误等问题。但部分学生仍存在配方时只加左边不加右边、开方漏负根、移项出错等现象，对配方本质理解不足。后续应加强恒等变形强调，简化步骤口诀化，增加错题对比与当堂过关练习，夯实配方法基础，为后续学习做好铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $