3.2.1配方法第3课时 教学设计 2026-2027学年湘教版九年级上册数学

该初中数学教学设计聚焦二次项系数不为1的一元二次方程配方法，通过复习二次项系数为1的旧知，引导学生思考转化思路，搭建从已知到未知的知识迁移支架。 此资料以化归与推理为核心，步骤口诀化（化1-移项-配方-开方-求解）强化运算能力，分层练习（基础达标到拓展迁移）培养应用意识，帮助学生规范解题，教师可精准把握学情，提升教学效率。

3.2.1配方法第3课时教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 三 课题 3.2.1配方法第3课时 课时 1 课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于数与代数领域方程与不等式板块,要求学生掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法解法,会将方程先化为二次项系数为1的形式,再完成配方、变形、开方、求解；理解配方过程中等式恒等变形的依据,体会化归、降次、等价变形的数学思想；能规范书写解题步骤,准确判断方程有无实数根,发展代数运算、逻辑推理与严谨表达能力,为后续公式法的推导与应用奠定扎实基础。 教材分析 本节是配方法的提升与完善课时,承接二次项系数为1的配方方法,重点解决二次项系数不为1的一元二次方程求解问题。教材通过实例引导学生先将二次项系数化为1,再沿用已学配方步骤求解,同时引入负数平方情形,让学生认识到部分方程无实数根,完善对一元二次方程解的认识。内容由易到难、由特殊到一般,突出“化未知为已知”的化归思想,既是对前两课时配方知识的综合提升,也是推导求根公式的直接铺垫,在整章解法体系中具有承上启下的关键作用。 学情分析 九年级学生已掌握二次项系数为1的配方法与直接开平方法,但面对系数不为1的方程时,易忘记先化二次项系数为1；化系数时常出现各项同除不彻底、符号出错、分数运算错误；配方后对平方数为负的情况理解不深,不会判断无实数根的情形。学生具备一定运算基础,但整体代换与恒等变形意识较弱,适合分步示范、易错点强化、口诀化指导的教学方式。 教学目标 1.掌握二次项系数不为1的一元二次方程配方法,熟练完成“化1-移项-配方-开方-求解”全过程。 2.理解配方的恒等变形依据,能正确判断方程是否有实数根,提升代数推理与运算准确性。 3.经历从特殊到一般的探究过程,深化化归、降次、整体代换思想,完善解方程思维体系。 4.养成规范书写、步步有据、及时检验的良好解题习惯,增强复杂运算的信心与耐心。 教学重点 1.二次项系数不为1时,先化系数为1再进行配方的标准步骤。 2.配方后正确开方、求解,并判断方程有无实数根。 教学难点 二次项系数为负数时的化1与符号处理,以及配方后右边为负数时无实数根的理解。 教学过程 教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 复习回顾 1.二次项系数为1时,配方的关键步骤是什么？ 2.用配方法解方程。 探究问题 方程二次项系数不是1,能否转化为我们会解的形式？ 答案 1.加上一次项系数一半的平方。 2.配方得,解得。 3.方程两边同除以2,化为再求解。 回顾二次项系数为 1 的配方法步骤,引导思考系数不为 1 时的转化思路。 回忆旧知,口述配方关键步骤,尝试提出化系数为 1 的想法。 以旧引新,构建知识迁移路径,为新课探究做好铺垫。 讲授新课 探究活动一:用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 思考:如何用配方法解方程呢? 由于方程的二次项系数不为1,为了便于配方,我们可根据等式的性质,在方程两边同除以,将二次项系数化为,再用配方法解二次项系数为的一元二次方程。 解:将二次项系数化为,得：, 移项得 配方,得, 因此 由此得或 解得 方法总结: 用配方法解二次项系数不为的一元二次方程的一般步骤： 1.二次项系数化为：左右两边同时除以二次项系数; 2.移项：将常数项移至右边,含未知数的项移至左边; 3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方; 4.用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方 引导将方程二次项系数化为 1,示范规范配方与求解流程。 按步骤完成化系数、移项、配方、开方、求解全过程。 掌握化归方法,突破系数不为 1 的配方难点。 探究活动二:例题精讲 例4:用配方法解下列方程： 解：将二次项系数化为,得：, 移项得 配方,得, 因此 由此得或 解得 说一说:如何用配方法解方程? 解：将二次项系数化为,得：, 移项得 配方,得, 因此 因为在实数范围内,任何实数的平方都是非负数, 因此,不成立,即原方程无实数根. 总结归纳: 1.二次项系数为负时,先化1并注意各项符号改变。 2.配方后右边为负数,则方程在实数范围内无实数根。 3.解题需先判断右边非负再开方,养成规范推理习惯。 示范负系数化 1 处理,引导判断平方为负时方程无实数根。 完成负系数方程求解,理解并说明方程无实数根的理由。 完善配方法适用类型,强化实数范围内解方程的严谨性。 课堂练习 课堂练习 1.用配方法解方程时,方程的两边都应加上( ) A.3 B.1 C.2 D.5 2.用配方法解方程：,则配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 3.把一元二次方程化成的形式是____. 4.代数式的最小值为____. 5.解方程： 6.用配方法解下列方程时,配方错误的是( ) A.化为 B.化为 C.化为 D.x2－x－4＝0化为＝ 7.M＝3x2－5x－1,N＝ax2－5x－7,其中x为任意数.若M的值总大于N的值,则a可取的数为( ) A.5B.4C.πD.2 8.已知：a是不等式的最小整数解,请用配方法解关于x的方程 9.阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0,求m,n的值. 解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0, ∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0, ∴(m－n)2＋(n－4)2＝0,∴(m－n)2＝0,(n－4)2＝0, ∴n＝4,m＝4 根据你的观察,探究下面的问题： (1)已知a2＋6ab＋10b2＋2b＋1＝0,求a－b的值； (2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0,求△ABC的周长； (3)已知x＋y＝2,xy－z2－4z＝5,求xyz的值. 1B;2A;3;4-1; 5解:, , , 解得 6D;7D; 8解:解不等式,得, ∴不等式的最小整数解为, 将代入方程,得,配方,得 直接开平方,得 解得 9解:(1), , , , 解得,则 (2), , , 则,解得,, 由三角形三边关系可知,三角形三边分别为1,3,3, ∴△ABC的周长为1＋3＋3＝7 (3)∵x＋y＝2,∴y＝2－x,则x(2－x)－z2－4z＝5, ∴x2－2x＋1＋z2＋4z＋4＝0, ∴(x－1)2＋(z＋2)2＝0,则x－1＝0,z＋2＝0, 解得x＝1,y＝1,z＝－2,∴xyz＝－2 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.二次项系数不为 1 时,先化 1 再配方。 2.配方法完整五步：化系数为 1、移项、配方、开平方、求解。 3.负系数方程需注意符号变化,避免出错。 4.配方后右边为负数,方程无实数根。 5.配方依据：完全平方公式与等式性质。 6.核心思想：化归思想、降次思想、恒等变形思想。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。 板书设计 321配方法（第3课时） 1. 步骤：化1→移项→配方→开方→求解 2. 关键：二次项系数不为1,先化1 3. 判定：右边≥0→有实根；右边<0→无实根 4. 思想：化归、降次、恒等变形 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。 作业设计 基础达标: 1.将方程3x2-12x-1=0进行配方,正确的是( ) A.3(x-2)2=5 B.(3x-2)2=13 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2= 2.用配方法解下列方程时,配方错误的是( ) A.2x2-7x-4=0化为(x-)2= B.2t2-4t+2=0化为(t-1)2=0 C.4y2+4y-1=0化为(y+)2= D.x2-x-4=0化为(x-)2= 3.当x=　时,代数式3x2-6x的值等于12 4.解方程:(1)2x2-4x=3;(2)4x(x-1)=1 5.代数式x2-4x+5的值( ) A.恒为正 B.恒为负 C.可能为0 D.不能确定 6.已知任意实数满足等式M=a2-4ab+4b2,N=4a-8b-5,则M,N的大小关系是( ) A.M=N B.M>N C.M<N D.M≥N 能力提升: 7.代数式x2+8x+5的最小值是 . 8.a,b,c是△ABC的三边长,其中a,b满足a2+b2-4a-10b+29=0,c=4,则△ABC的周长为　　 9.若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值 10.用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则a+b的值为( ) A. B. C.2 D. 11.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( ) A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 C.2t2-7t-4=0化为(t-)2= D.3y2-4y-2=0化为(y-)2= 12.下列用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中,出现错误的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 13.不论x,y取什么值,代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值( ) A.总大于7 B.总不小于9 C.总不小于-9 D.为任意有理数 拓展迁移: 14.已知a,b是等腰△ABC的边且满足a2+b2-8a-10b+41=0,则等腰△ABC的周长为　 　. 15.先阅读,后解题 已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值 解:将左边分组配方:(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,即(m+1)2+(n-3)2=0 ∵(m+1)2≥0,(n-3)2≥0,且和为0, ∴(m+1)2=0且(n-3)2=0, ∴m=-1,n=3 利用以上解法,解下列问题: (1)已知:x2+4x+y2-2y+5=0,求x和y的值; (2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=8a+6b-25且△ABC为直角三角形,求c. 1.D;2.D;3.; 4.解:(1)∵2x2-4x=3,则x2-2x=, ∴x2-2x+1=+1,即(x-1)2=, ∴x-1=±, ∴x1=1+,x2=1-; (2)4x(x-1)=1, 4x2-4x+1=1+1, (2x-1)2=2, 2x-1=±,x=, x1=,x2= 5.A;6.B;7.-27;8.11; 9.解:∵m2+2mn+2n2-6n+9=0, ∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0, ∴(m+n)2+(n-3)2=0, ∴m+n=0,n-3=0, ∴m=-3,n=3 10.B; 11.B; 12.D; 13.C; 14.13或14; 15.解:(1)∵x2+4x+y2-2y+5=0, ∴(x2+4x+4)+(y2-2y+1)=0, 即(x+2)2+(y-1)2=0, ∵(x+2)2≥0,(y-1)2≥0,且和为0, ∴(x+2)2=0且(y-1)2=0, ∴x=-2,y=1; (2)∵a2+b2=8a+6b-25, 方程变形为(a-4)2+(b-3)2=0, ∵(a-4)2≥0,(b-3)2≥0,∴a=4,b=3, ∵△ABC为直角三角形, ∴当a=4,b=3是直角边时, 则c==5; 当a=4是斜边,b=3是直角边时, 则c==; ∴c=5或c= 教学反思 本节课以旧引新、层层递进,聚焦二次项系数不为1的配方解法,紧扣2022新课标强化运算与推理素养。教学中突出“先化1、再配方”核心思路,强化符号、分数、负数平方三类易错点。但部分学生仍存在化系数时漏除常数项、符号出错、配方后不会判断无实根等问题。后续应加强步骤模板化记忆,增加负系数、含分数方程的专项训练,通过错题对比、当堂过关夯实掌握程度,为公式法学习做好充分准备。 学科网（北京）股份有限公司 $