精品解析：广东汕头市潮阳实验学校2026-2027学年度第一学期九年级数学第一次练习

2026—2027学年度第一学期第一次练习 九年级数学 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，，1 B. 2，3，1 C. 1，3，2 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 3. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数性质，，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，图象为抛物线即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是轴， ∴A选项图象正确. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 6. 抛物线与轴的两个交点之间的距离是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：令，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为，， ∴两交点之间的距离为． 7. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 8. 二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得对称轴为直线，则另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为和，抛物线开口向下， 当时，图象在轴的下方， ∴或， 故选：C． 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 10. 如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 利用黄金分割的定义列出比例式即可求出的长． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 或（舍去）， 故答案为：C． 二、填空题：（每题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，可得根的判别式小于0，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 12. 若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 13. 跨江大桥的造型形似抛物线，部分桥体截面如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为4米的、两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为________米． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用对称性得到点D的横坐标为2，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，点C和点D关于y轴对称，米， ∴点D的横坐标为2， 将代入得，， 答：警示灯离水面的距离为米． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象，确定抛物线的图象位于直线的图象下方（包括交点）时，自变量的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴由图象可知，不等式的解集是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点在函数的图象上，将正方形沿轴正方向平移后得到正方形，点的对应点落在抛物线上，则点与其对应点间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、求函数解析式、平移的性质、解一元二次方程等知识点，解题的关键是数形结合思想的综合应用． 作辅助线，构建全等三角形，先根据和的坐标求和的长，可证，，，写出，同理得：，得出的坐标，根据平移的性质：与的纵坐标相同，则，求出的坐标，计算其距离即可． 【详解】解：如图，过作轴，交轴于，过作于， ，， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 同理得：， ，， ， 在抛物线的图象上， 把代入函数中得：， ， 设， 由平移得：与的纵坐标相同，则， 当时，， 解得：，舍， ， 则点与其对应点间的距离为， 故答案为：． 三、解答题一：（每题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得；  【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的一个根，且时，求代数式的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ， 无论取何实数，， ，即， 方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出一元二次方程的判别式，根据判别式的符号即可证明； （2）把方程的根a，代入一元二次方程中，得到，再整体代入代数式中即可求得值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是该方程的一个根，且， ，即 ． 18. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 三、解答题二：（每题9分，共27分） 19. 2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设月平均增长率是x，结合数量关系列式求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，由数量关系列式求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是x， 根据题意得：， 解：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每天的销售量为（件）， 当时，每天的销售量为（件）， ∵， ∴售价应降低20元， 答：售价应降低20元． 20. 小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． （1）求抛物线表达式； （2）通过计算判断此球能否过网． 【答案】（1） （2）解：当时， ， ， ， ， 此球能过网． 【解析】 【分析】(1) 已知抛物线顶点坐标和经过的点，利用顶点式求抛物线表达式． (2) 将球网位置的水平距离代入抛物线表达式，求出对应高度，与球网高度比较． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线的顶点为，且经过点， 设抛物线表达式为， 将代入得， 即， 解得， 抛物线表达式为． 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （1）当为时，点的坐标为________；当为时，点的坐标为________； 【猜想与证明】 （2）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想图象为我们学过的________函数图象（填“一次”或“二次”），若设点的坐标是，根据与的关系，求、满足的关系式； 【实践与运用】 （3）运用所学知识，要使为锐角三角形，直接写出的取值范围为． 【答案】（1）； （2）二次； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线性质，P在上横坐标已知，设纵坐标列方程求解． （2）设，由建立等式，化简得到y关于x的关系式，判断函数类型． （3）为等腰三角形（），只需顶角，利用几何关系求x的范围． 【小问1详解】 解：当M为时，，， P在上，为过M的x轴垂线， P的横坐标为0，设， P在上（的垂直平分线）， ， 即， 展开得， 解得， P的坐标为； 当M为时，，， P在上，为过M的x轴垂线， P的横坐标为4，设， P在上（的垂直平分线）， ， 即， 展开得， 解得， P的坐标为． 【小问2详解】 解：设，P在上，故P的横坐标为m，设． P在上（的垂直平分线）， ， 即， 展开得， 化简得， ， ， 图象L为二次函数图象． 【小问3详解】 解：， 为等腰三角形，， 要使为锐角三角形，只需顶角． 由（2）知，． 当时，为等腰直角三角形， 由勾股定理：， 即， 两边除以得， 解得，即． 当时，，，不是锐角三角形． 当时，，，是锐角三角形． x的取值范围为或． 四、解答题三：（每题12分，共24分） 22. 【回归课本】一元二次方程有两个根，，则可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数的取值范围：________； ②是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于的一元三次方程有三个根，，，求的最小值． 【答案】（1）① ②存在， （2）最小值为 【解析】 【分析】（1）①一元二次方程有两个实数根，因此判别式，代入系数计算判别式，解不等式求出的取值范围； ②根据一元二次方程根与系数的关系，化简等式，代入求解的值，最后筛选出符合条件的k值． （2）根据一元三次方程根与系数的关系，求出、以及的值，然后对所求式子变形，用上述计算出的式子来表示，代入化简为二次函数后，配成顶点式来求最小值． 【小问1详解】 解：①∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得． ②∵，是方程两个实数根， ∴，． ∴， 整理得，解得，． 又∵， ∴． 【小问2详解】 一元三次方程中，，，，， 有三个根，，， ∴，，． ∴， 代入上述的值：原式． 配方：， ∵， ∴当时，原式取得最小值． 23. 如图1，已知抛物线：与抛物线：相交于、两点（其中点在的左侧），连接交轴于点． （1）求的值． （2）如图2，若抛物线上有一动点在、之间运动，连接并延长交抛物线于点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）若直线与抛物线、恰好有三个交点时，直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2），； （3）或或或或． 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）联立和，求出，设直线解析式为，求出直线解析式为，过点Q作x轴的垂线，交直线于点H，设Q点横坐标为，因Q在上，故；H在上、横坐标与Q相同，故．根据割补法得到的二次函数解析式，进而得到面积的最大值及此时点Q的坐标，根据和关于对称可知和关于对称，根据中点坐标公式计算即可； （3）将变形后可知其恒过定点，分三种情况作答即可． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：联立和，得到， 整理得， ， 解得：， 当时，， 即， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 过点Q作x轴的垂线，交直线于点H，设Q点横坐标为，因Q在上，故；H在上、横坐标与Q相同，故． 则将沿分割为和两个三角形． 两个三角形的公共底为的长度：， 两个三角形的高之和为A、B两点的水平距离：， ∴ ， ∵， ∴当时，面积有最大值， 此时， 当时， 解得：， 即， ：，可知抛物线顶点坐标为， ：，可知抛物线顶点坐标为， ∵， ∴和关于对称， 即和关于对称， ∴和关于对称，和关于对称， 设， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：直线可变形为， 可知其恒过定点， 直线与两抛物线恰好3个交点分三种情况： 直线与只有一个交点，联立与， 得到， 整理得， 此时， 整理得：， 解得：； 直线与只有一个交点，联立与， 得到， 整理得， 此时， 整理得：， 解得：； 直线经过两抛物线的交点或： 将代入，解得； 将代入，解得； 综上所述，的值为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次练习 九年级数学 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，，1 B. 2，3，1 C. 1，3，2 D. 1，，2 2. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与轴的两个交点之间的距离是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 12. 若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 13. 跨江大桥的造型形似抛物线，部分桥体截面如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为4米的、两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为________米． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点在函数的图象上，将正方形沿轴正方向平移后得到正方形，点的对应点落在抛物线上，则点与其对应点间的距离为______． 三、解答题一：（每题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的一个根，且时，求代数式的值． 18. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 三、解答题二：（每题9分，共27分） 19. 2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 20. 小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． （1）求抛物线表达式； （2）通过计算判断此球能否过网． 21. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （1）当为时，点的坐标为________；当为时，点的坐标为________； 【猜想与证明】 （2）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想图象为我们学过的________函数图象（填“一次”或“二次”），若设点的坐标是，根据与的关系，求、满足的关系式； 【实践与运用】 （3）运用所学知识，要使为锐角三角形，直接写出的取值范围为． 四、解答题三：（每题12分，共24分） 22. 【回归课本】一元二次方程有两个根，，则可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数的取值范围：________； ②是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于的一元三次方程有三个根，，，求的最小值． 23. 如图1，已知抛物线：与抛物线：相交于、两点（其中点在的左侧），连接交轴于点． （1）求的值． （2）如图2，若抛物线上有一动点在、之间运动，连接并延长交抛物线于点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）若直线与抛物线、恰好有三个交点时，直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $