精品解析：广东省汕头市潮阳区2024-2025学年上学期九年级第二次月考数学试卷

2024－2025学年度初三上数学第二次诊断性检测 总分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列抛物线中，开口方向与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ） A. 25 B. C. D. 4. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则这次酒会的人数为（ ） A. 19 人 B. 10 人 C. 11 人 D. 12 人 6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图1是一个圆形分格干果盒，这种干果盒既美观又实用，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇形的一部分．如图2是它的截面示意图（小格的厚度忽略不记），通过测量得到，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. “海日生残夜，江春入旧年”，如图所记录的日出美景中，太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是______． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 13. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为______（精确到0.01） 14. 如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则的度数为______ 15. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，请用适当方法解此方程； （2）若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 17. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个长方形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题． 18. 中国古代“四大发明”是在世界上具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A指南针、B造纸术、C黑火药、D印刷术，如图是小刚收集的四大发明的卡片，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后第一次从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，第二次再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“C黑火药”的概率为______． （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A指南针”的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽端点到拱顶点距离，拱顶离水面的距离． 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 20. 如图，在中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段的垂直平分线交、于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，为，求线段的长． 21. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 23. 综合运用 已知：抛物线与轴交于，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1：抛物线的对称轴交轴于点，在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2：点在对称轴上，以点为圆心过、两点的圆与直线相切，求点的坐标． （4）如图3，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度初三上数学第二次诊断性检测 总分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 下列抛物线中，开口方向与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，得出各函数的开口方向，比较即可得解．本题考查了二次函数的性质，熟记二次项系数与二次函数的开口方向的关系是解题的关键． 【详解】解：中，， ∴向上； ∵中，， ∴向上； ∵中，， ∴向上； ∵中，， ∴向上； ∴的开口方向与其他三个不同． 故选：C． 3. 若关于x的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ） A. 25 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，由题意，得：， ∴； 故选C． 4. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据二次函数的顶点式，利用二次函数的平移规律即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位， 得到抛物线的函数表达式为． 故选：B． 5. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则这次酒会的人数为（ ） A. 19 人 B. 10 人 C. 11 人 D. 12 人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x-1）=55， 整理，得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及直角三角形中两个锐角互余．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，得，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，即得． 【详解】解：经过圆心． 是的直径， ∴， ∵， ， ∴， 故选：D． 7. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 将交点代入二次函数解析式，可得，将该式略作变形即可得出答案． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故选：． 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：B． 9. 如图1是一个圆形分格干果盒，这种干果盒既美观又实用，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇形的一部分．如图2是它的截面示意图（小格的厚度忽略不记），通过测量得到，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积．根据阴影部分的面积是大扇形的面积-小扇形的面积即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：A． 10. 如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过D作交于F，由切线的性质可证四边形是矩形，，根据切线长定理得到，，则，在中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，再判断其函数图象即可． 【详解】解：过D作交于F， 与切于点A、B， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，则， 在中， 由勾股定理得：， 整理为， ∴y与x的函数关系式是， y是x的反比例函数， 故选：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. “海日生残夜，江春入旧年”，如图所记录的日出美景中，太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据直线与圆有两个公共点，直线与圆相交，即可得到答案，掌握直线和圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点， ∴太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交， 故答案为：相交． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 13. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为______（精确到0.01） 【答案】0.53 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53， 故答案为：0.53． 14. 如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则的度数为______ 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得出旋转角是解题关键．由题意得出，再结合求解即可． 【详解】解：由旋转可知， ∴． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，可得点在以为直径的圆上运动，则为直径时，有最大值为1，即可求解． 【详解】解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 点在以为直径的圆上运动， 为直径时，有最大值为1， 故答案为：1 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，请用适当方法解此方程； （2）若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求参数，解题的关键是掌握配方法和根的判别式． （1）利用配方法进行求解即可； （2）根据根的判别式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程，得： ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故答案为：3． 17. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个长方形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题． 【答案】长比宽多12步 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设长为x步，则宽为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设矩形的长为x步，列方程得 ． 解得，． ∴矩形的长为36步，宽24步， (步)． 答：长比宽多12步． 18. 中国古代“四大发明”是在世界上具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A指南针、B造纸术、C黑火药、D印刷术，如图是小刚收集的四大发明的卡片，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后第一次从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，第二次再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“C黑火药”的概率为______． （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A指南针”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，画树状图或列表法求概率。 （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 共有4张卡片，第一次取出的卡片图案为“C黑火药”的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A指南针”的结果有7种． ∴P（至少一张卡片图案为“A指南针”） ． 答：两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A指南针”的概率为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽端点到拱顶点距离，拱顶离水面的距离． 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 【答案】方案一：半径为10m；方案二： 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用垂径定理和含角的直角三角形的性质，得出是等边三角形，然后进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：方案一，设圆的圆心为，连接、、． ， ． ， ，，直线过点． ， ． ． ． ， 是等边三角形． ． 故半径为； 方案二，∵顶点坐标为， 设桥拱的函数解析式为． ， ，代入得． 解得． 故函数解析式为． 20. 如图，在中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段的垂直平分线交、于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，为，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质以及勾股定理列方程求解即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查切线的判定，线段垂直平分线的定理，勾股定理，等边对等角等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 21. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3）30 【解析】 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接， ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 23. 综合运用 已知：抛物线与轴交于，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1：抛物线的对称轴交轴于点，在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2：点在对称轴上，以点为圆心过、两点的圆与直线相切，求点的坐标． （4）如图3，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，，运用待定系数法求出解析式即可； （2）根据是以为腰的等腰三角形，得到时，作轴于点Q，推出，得到，得到； 或时， 得到，； （3）根据抛物线顶点，推出直线的解析式为，得到直线交轴于点， 推出，．设切点为G，根据切线性质得到，推出，得到，根据勾股定理和等腰直角三角形性质得到，设，根据，得到，解得，即可求解； （4）设，则，根据点在直线下方，，构造方程，解方程，进而结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， 故抛物线解析式为，； 【小问2详解】 ∵中，时，， ∴， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴， 当时，过P作轴于点Q， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴，； 故点P的坐标为：，或，或； 【小问3详解】 设切点为，直线与轴交于点，连接，， ∵抛物线解析式为， ∴顶点 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为 ∴ 时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵在中，， ∴ 设，则，， ∴， 解得 ∴或． 故点的坐标为：或． 【小问4详解】 设，则， ∵点在直线下方，， ∴ 解得：或 当与点重合时，，当与点重合时，， 根据函数图象，当线段与抛物线有交点，或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，圆切线性质，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $