13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册13.2.2《三角形的中线、角平分线、高》专项练习（全文约1410字） ## 一、知识梳理 1. **三角形的高**：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形两条高恰好是它的两条直角边，第三条高在内部；钝角三角形两条高在三角形外部，一条高在内部。三角形三条高所在直线交于一点，这个点叫做垂心。 2. **三角形的中线**：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。三角形三条中线都在三角形内部，交于一点，称为重心。**三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形**，这是常考结论。 3. **三角形的角平分线**：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。三条角平分线都在三角形内部，交于一点，叫做内心。 > 注意区分：三角形的高、中线、角平分线都是**线段**，不是射线或直线。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 下列说法正确的是（） A. 三角形的高是直线 B. 三角形的角平分线是射线 C. 三角形的中线是线段 D. 三角形三条高一定都在三角形内部 2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论一定成立的是（） A. AD⊥BC B. ∠BAD=∠CAD C. BD=DC D. AD平分∠BAC 3. 在钝角三角形中，关于三条高的位置描述正确的是（） A. 三条高都在内部 B. 一条高在内部，两条高在外部 C. 两条高在内部，一条高在外部 D. 三条高都在外部 4. 直角三角形的三条高的位置是（） A. 都在三角形内部 B. 两条高是直角边，一条高在内部 C. 两条高在外部，一条高在内部 D. 三条高交于三角形外部一点 5. 三角形的重心是（） A. 三条高线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三条中线交点 D. 三边垂直平分线交点 6. 已知AD是△ABC的中线，△ABD面积为5，则△ABC的面积为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 若AE是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，则∠BAE等于（） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 8. 下列图形中，线段BE是△ABC的AC边上的高的是（） A. BE⊥AB B. BE⊥AC，E在AC上 C. BE平分∠ABC D. E是AC中点 9. 关于三角形中线，说法错误的是（） A. 三条中线都在三角形内 B. 一条中线平分三角形的面积 C. 一条中线平分三角形的周长 D. 三条中线交于重心 10. 在△ABC中，AD为高，若∠ADB=（） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180° ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 三角形的高、中线、角平分线都是________（填线段、射线、直线）。 12. 在△ABC中，AD是BC边上中线，若BD=3，则BC=________。 13. 若CF是△ABC的角平分线，∠ACF=25°，则∠ACB=________。 14. 锐角三角形三条高的交点在三角形________；钝角三角形三条高所在直线交点在三角形________。 15. 已知△ABC面积为24，AD是BC边上中线，则△ADC面积为________。 16. 在△ABC中，BC边上的高是从顶点____向BC边所在直线作的垂线段。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线。已知∠B=40°，∠C=60°。求：（1）∠BAC的度数；（2）∠DAE的度数。 18.（12分）如图，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=4cm，△ABD周长为15cm，求△ACD的周长。 19.（12分）△ABC中，AD是BC边上的高。若∠BAD=35°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数（提示：分锐角三角形、钝角三角形两种情况讨论）。 ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B 7.B 8.B 9.C 10.B **填空题**：11.线段；12.6；13.50°；14.内部，外部；15.12；16.A **解答题** 17.解：（1）∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−60°=80°。AE平分∠BAC，∠BAE=40°。AD是高，∠ADB=90°，∠BAD=90°−40°=50°。∠DAE=∠BAD−∠BAE=50°−40°=10°。 18.解：AD是中线，BD=CD。△ABD周长=AB+BD+AD=15，AB=6，BD+AD=9。△ACD周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=4+9=13cm。 19.解：①△ABC是锐角三角形：∠BAC=∠BAD+∠CAD=35°+20°=55°；②△ABC为钝角三角形（B为钝角）：∠BAC=∠BAD−∠CAD=35°−20°=15°。综上∠BAC=55°或15°。 本节易错点：很多同学混淆高、中线、角平分线定义，忘记高是垂线段；忽略钝角三角形的高在三角形外部；中线平分面积但不平分周长；解答题注意分类讨论，避免漏解。 （全文：1408字） 需要我把这份练习**拆成无答案纯题目版**方便打印做题吗？ 学习目标 理解三角形中线、角平分线和高的定义，掌握其画法. 一 认识三角形重心的概念，理解不同类型三角形高的位置特点. 二 三 通过观察、操作和推理，体会三种线段在三角形中的作用，发展空间观念与数学思维. 复习引入 两边之和大于第三边. 两边之差小于第三边. 与三角形 有关的线段 三角形的边 ？ 三角形具有稳定性. 三角形的中线、角平分线、高 符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ＝BC 反之： ∵BD＝CD (BD＝BC) ∴AD是△ABC的中线 操作1：如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线。 探究新知 试一试：你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 你发现了什么？ 探究新知 符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC 反之： ∵∠BAD＝∠CAD (∠BAD＝∠BAC) ∴AD是△ABC的角平分线 操作2：如图所示，画∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线． 探究新知 试一试：你能用同样方法，画出△ABC的另外两条角平分线吗？ 你发现了什么？ 一个三角形有三条角平分线，这三条角平分线相交于一点. 探究新知 操作3：如图所示，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 符号语言： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° 反之： ∵∠ADC=90°(∠ADB=90°) ∴AD是△ABC的高 探究新知 探究1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部(图(1)）；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边(图(2)）；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上(图(3)）。 探究新知 探究1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 一个三角形有三条高，这三条高所在的直线相交于一点. 探究新知 知识点1 三角形的中线 1.如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为(　　)  A.34 cm　 B.31 cm　　 C.22 cm　　 D.20 cm 返回 C 【点拨】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，从而得出△ABD和△ACD周长的差就是AB，AC的差，然后计算即可. 基础提优题 2.［2026西安期中］如图，学校有一处三角形试验田ABC，其中D为AB的中点，连接CD，再取CD的中点E，连接AE，BE，AF是△ABE的边BE上的中线，学校计划在阴影部分栽种蔬菜.若三角形试验田ABC的面积为160 m2，则栽种蔬菜的面积是(　　) A.20 m2　　 B.40 m2　　 C.60 m2　　 D.80 m2 B 基础提优题 【点拨】根据三角形中线的性质可得S△AED＝S△ACD，S△BED＝S△BCD，进而可得S△AEB＝S△ABC＝80 cm2，再根据AF是△ABE的边BE上的中线，即可求解. 返回 基础提优题 3. 如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点(网格线的交点)上，黑棋A，B，C构成△ABC，白棋D，E，F，G在△ABC中，则正好与△ABC的重心位置重合的是白棋　　(填D或E或F或G). 返回 F 基础提优题 探究2：如图所示，线段AD是△ABC的边BC上的中线， △ABD与△ACD的面积有什么关系？ △ABD与△ACD的面积相等 即： 理由如下： 作△ABC的边BC上的高AE 则BDE，CDE ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ∴ 探究新知 例 1：如图 ，在△ABC 中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD，BE 分 别是边 BC，AC 上的高，且 AD＝6.5，求 BE 的长． 解：在△ABC 中，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的高，已知 AC＝8，BC＝6，AD＝6.5， 根据三角形面积公式，得 即 解得 A B C D E 探究新知 根据三角形面积公式求高 解决与三角形高线和面积有关的问题时，根据三角形面积公式可求得不同边上的高． 探究新知 例 2：如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 分析：根据 CD 是△ABC 的中线，可得 BD＝AD ． 所以△ACD 和△BCD 的周长差就是 AC 和 BC 的差． A B C D 探究新知 解：因为CD 是△ABC 的中线， 所以BD＝AD． 所以△ACD 和△BCD 的周长差为 (AC＋CD＋AD)－(BC＋CD＋BD) ＝AC－BC＝9－3＝6（cm）， 即△ACD 和△BCD 的周长差为 6 cm． A B C D 例 2：如图，CD 是△ABC 的中线，AC＝9 cm，BC＝3 cm，求△ACD 和△BCD 的周长差． 探究新知 三角形中线常见的两个应用 （1）根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角形的周长有关的问题； （2）根据中线把三角形分成面积相等的两部分，用于求解与面积有关的问题． 探究新知 例 3：如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 分析：（1）根据∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4， 所以 AD 是 △AEF 和 △ABC 的角平分线； （2）根据 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 可得∠2＋∠3＝∠1＋∠4， 所以∠EAF＝∠BAC． 1 2 3 4 A B E D F C 探究新知 21 解：（1）AEF ，ABC； （2）因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 所以∠2＋∠3＝(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)， 即∠EAF＝∠BAC． 例 3：如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4． （1）AD 是△_______和△_______的角平分线； （2）试判断∠EAF 与∠BAC 的关系． 1 2 3 4 A B E D F C 探究新知 三角形中边角的等量变换 ——沟通已知与未知的纽带 在判断角之间或线段之间的数量关系时，往往根据已知或隐含的相等关系进行等量变换，从而沟通已知与未知，这也体现了数学中的转化思想． 【知识技能类练习】必做题： 1．已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是( ) A.2 B.3 C.6 D.不能确定 A 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( ) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠ACB＝2∠3 D．CE是△ABC的角平分线 D 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( ) A 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．如图，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有____个． 6 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） D 当堂检测 知识点2 三角形的角平分线 4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(　　) A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C.∠3＝∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 返回 D　 基础提优题 5.如图，在△ABC中，AD是∠BAE的平分线，AF是∠EAC的平分线，若∠BAC的度数为88°，则∠1＋∠2的度数为　　. 返回 44° 【点拨】∵AD是∠BAE的平分线，AF是∠EAC的平分线， ∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠EAC.∴∠1＋∠2＝∠BAE＋ ∠EAC＝∠BAC＝44°. 基础提优题 知识点3 三角形的高 6.用三角尺画△ABC的边AB上的高线，下列三角尺的摆放位置正确的是(　　) 返回 A　　 B　　 C　　 D C 综合应用题 7.如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是(　　) A.线段AD是边AB上的高 B.线段BE是边AC上的高 C.线段CF是边AC上的高 D.线段CF是边BC上的高 返回 B　 基础提优题 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE∶AD∶BF＝　　 　　. 12∶15∶10 基础提优题 【点拨】在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，BO的延长线交AC于点F，∴BF⊥AC，∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF.∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF，∴CE∶AD∶BF＝12∶15∶10. 返回 基础提优题 【解】∵∠B＝26°，∠C＝74°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－26°－74°＝80°. ∵AD是高，AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－26°＝64°， ∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°. ∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝64°－40°＝24°. 9.如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是高，AE是△ABC的角平分线. (1)当∠B＝26°，∠C＝74°时，求∠DAE的度数； 基础提优题 (2)根据第(1)问得到的启示，判断∠C－∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系，并说明理由. 【解】∠C－∠B＝2∠DAE.理由如下： 在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C. ∵AD是高，∴∠BAD＝90°－∠B. ∵AE是△ABC的角平分线， 基础提优题 ∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C). ∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝(∠C－∠B)， 即∠C－∠B＝2∠DAE. 基础提优题 与三角形有关的线段 高 中线 角平分线 重心 课堂小结 谢谢观看 THANKS $