培优专题14 空间几何体中的探索性问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2026 届高三数学一轮复习培优专题 14　空间几何体中的探索性问题 （详细解析版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本专题聚焦空间几何体中的存在性与条件探索，围绕“存在点使线面平行或垂直—存在点使二面角或线面角为定值—存在点使体积（面积）满足条件—由存在性反求参数”四条主线命制，共 16 题，全部为原创题或改编题，数据简单、运算量适中。通法是“先假设存在、设出参数，再用坐标法列方程求解，最后检验参数是否落在允许范围内，规范作答存在或不存在”。建议先限时完成学生版，再逐题对照解析复盘。 方法导航 假设存在法　存在性问题的通法：先假设符合条件的点存在，再把“点在棱上”设成一个参数（棱上设 ，体对角线上设 ），一切条件都转化为关于该参数的方程。 坐标化列方程法　建立空间直角坐标系，把平行、垂直、角度、距离、体积等条件全部写成向量方程或数量积方程，解出参数，使“是否存在”问题变成“方程是否有解”问题。 范围检验法　求出参数后必须检验是否落在定义域内：棱上 ，体对角线上 。参数超出范围或在端点处取得，都直接影响“存在”“不存在”“唯一”的结论。 法向量判定法　线面平行等价于方向向量与法向量垂直；线面垂直等价于方向向量与法向量平行；二面角用两个平面的法向量夹角（或其补角）处理，先看清法向量的方向再定角。 体积与距离转化法　三棱锥体积用 或 乘底面积与高，动点代入后常得到关于参数的一次函数，单调性一目了然，便于判断是否存在满足体积条件的点。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点， 为棱 上一点。若 平面 ，则 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 为 的中点，故 。设 （），则 ，。 平面 的法向量可由 ， 求得，取 ，它与 ， 的数量积都为零。直线 平面 等价于 ，即 解得 ，即 ，此时 满足 ，不在平面 上，故 确实与平面平行而非含于平面。故选 B。 【方法点睛】判断棱上是否存在点使线面平行：设 ，求平面的法向量 ，令方向向量与 的数量积为零解出 ，再回代检验点是否落在平面内、 是否落在 ，两点都通过才能下结论。 2．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）。若二面角 的大小为 ，则 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 取棱 的中点 。在底面 内与 垂直且指向 的方向为 ；在平面 内与 垂直的方向为 ，且 。二面角 的平面角 即 与 的夹角。 令 ，得 ，即 ，故 ，满足 。故选 B。 【方法点睛】二面角的坐标法：取棱上一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线的夹角就是二面角的平面角。本题中底面内垂线为 ，平面 内垂线为 ，夹角余弦只随 变化，代入即可反求参数。 3．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）。若三棱锥 的体积为 ，则 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。三棱锥 的体积等于以 ，， 为棱的平行六面体体积的 。 ，，，混合积为 故体积 。令 得 ，满足 ，且 关于 单调递增，解唯一。故选 C。 【方法点睛】求体积条件的探索题，用混合积 把体积写成参数的一次函数，再解方程。本题 关于 单调，故解得唯一，注意回验 是否在棱长范围内。 4．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。若 平面 ，则 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，。设 （），则 。 平面 的法向量取 （同第 1 题）。，由 平面 得 解得 ，满足 ，故 。故选 C。 【方法点睛】体对角线 上的动点统一参数化：，，则 。这类“探索分点比”问题，最终都归结为解一个关于 的一次方程，再转化为比值。 5．在长方体 中，，， 为棱 的中点。若直线 与平面 所成角的正切值为 ，则 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，， 为 的中点，故 。 。平面 的法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 在平面内的投影长为 ，竖直分量为 。 令 得 。故选 B。 【方法点睛】含参线面角问题，先由“竖直分量比水平投影”写出正切表达式，再令其等于已知值反解参数。本题 ，是 的一次式，解得 ；注意 的隐含条件。 6．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。若 ，则 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，。设 （），则 。 ，它与 同向。由 得 解得 ，满足 。此时 为 的中点，而 ，故 。故选 C。 【方法点睛】“存在点使两直线垂直”转化为方向向量数量积为零：设体对角线上的点 ，把两条直线的方向向量写成 的函数，令数量积为零解出 ，再换算成所求线段长。 7．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）。若直线 与平面 所成角为 ，则这样的点 有 A． 个 B． 个 C． 个 D．无数个 【答案】A　（难度：中档） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，。平面 的法向量为 ，。 设直线 与平面 所成角为 ，则 当 时， 随 增大而减小，最大值在 处取得，为 ，故 最大为 。若 ，则需要 ，即 ，得 ，无实根。故这样的点 有 个。故选 A。 【易错警示】探索“是否存在”时要先估计量角的最值范围：本题线面角最大只有 ，而 更大，方程无解。切勿添一条“求出 再取精确值”的路，直接判断方程无实数解即为“不存在”。 8．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。则三棱锥 的体积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，。平面 的方程为 。 设 （），则 到平面 的距离为 。底 的三边均为 ，是边长为 的正三角形，面积为 。 在 上的最大值为 （即 与 重合）处取得，。故选 C。 【方法点睛】体对角线上的动点到定平面的距离是参数 的绝对值一次函数，体积随之变化。判断“存在点使体积最大”时，比较两端取值即可；本题最大在 与 重合时取得，属于“最值恰在端点”的常见情形。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点（含端点），则下列结论正确的是 A．存在点 （不与端点重合）使 B．存在唯一的点 使 C．存在点 使 平面 D．存在点 使 平面 【答案】ABC　（难度：中档） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。设 （）。 对 A：，，数量积为 ，令其为零得 或 ，取 时 不是端点，A 正确。 对 B：，，由 得 ，唯一，B 正确。对 C：，平面 的法向量取 ，两者数量积为零，且 ， 都不在平面内，故 时 平面 ，C 正确。 对 D：，而平面 的法向量为 ， 不可能与该法向量平行，故不存在这样的 ，D 错误。故选 ABC。 选项 A． 得 或 ，后者 不是端点，存在，正确。 选项 B．，，相减得 ， 唯一，正确。 选项 C． 与平面 的法向量 数量积为零，且 ， 均不在平面内， 取端点 即可，正确。 选项 D． 与 同向，平面 的法向量为 ，二者不平行，故不存在，错误。 【方法点睛】“存在点”类多选逐一化为方程：垂直看数量积为零，等距看平方差，平行看与法向量垂直。特别要注意“唯一”与“存在”的区别： 对体对角线上任意点都成立，而 只有中点成立，判定时要分清恒成立与存在唯一。 10．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （），则下列结论正确的是 A．存在 使 B．存在 使三棱锥 的体积为 C．对任意 ，都有 D．存在 使 平面 【答案】ABC　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，。 对 A：，，数量积为 ，令其为零得 或 ，都在 内，A 正确。对 B：平面 为 ， 到它的距离为 ，底 面积为 ，故 ，令其为 得 ，B 正确。 对 C：，，数量积为 ，与 无关，恒成立，C 正确。 对 D：平面 的法向量为 ，，数量积为 ，令其为零得 ，超出 ，故不存在这样的 ，D 错误。故选 ABC。 选项 A． 得 或 ，存在，正确。 选项 B． 得 ，落在 内，存在，正确。 选项 C． 恒成立，与 无关，正确。 选项 D．令 与法向量 数量积为零得 ，超出棱长范围，不存在，错误。 【易错警示】“对任意 都成立”与“存在 使成立”是两类命题，求解前务必先看清楚。本题 对棱上一切点恒成立，原因是 平面 ，而 ， 都在该平面内；这类“恒垂直”常可借助面面垂直结论快速判断。 11．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点，记 （），则下列结论正确的是 A． 的充要条件是 为 的中点 B． 的充要条件是 C．当 时， D．三棱锥 体积的最大值为 【答案】BCD　（难度：较难） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，。设 ，则 （）。 对 A：，，二者恒相等，即 对一切 成立，并非只在 中点处，A 错误。 对 B：，由 得 ，即 ，对应 ，且解唯一，B 正确。对 C：，，数量积为 ，令其为零得 ，此时 ，C 正确。 对 D：平面 为 ， 面积为 ， 到平面的距离为 ，故 ，在 （ 与 重合）处取最大值 ，D 正确。故选 BCD。 选项 A． 恒成立，故 与 是否为中点无关，错误。 选项 B． 得 ，即 ，且唯一，正确。 选项 C． 得 ，对应 ，正确。 选项 D． 在 处取最大值 ，正确。 【方法点睛】含“充要条件”的多选要两头验证：既要由条件推出结论，也要由结论反推条件，尤其警惕“结论对某点成立但并非唯一”的情形。本题 恒成立，恰是典型的“假充要”陷阱。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．在长方体 中，，， 为棱 的中点。若三棱锥 的体积为 ，则 ________。 【答案】　（难度：中档） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 在平面 内，， 为直角，故其面积为 。点 到平面 的距离即竖直落差 。 令 得 。故填 。 【方法点睛】内接几何体的体积条件题，先由几何关系把高写成参数的函数（本题高为 ），再套体积公式得到一次方程。注意区分“底面在顶面”导致的高为 而非 。 13．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。若点 在平面 内，则 ________。 【答案】　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，平面 的方程为 。 设 （）。 在平面 内等价于 的坐标满足该平面方程，即 解得 ，满足 。故 。故填 。 【方法点睛】“点在对角线上且落在某平面内”等价于“对角线与平面相交”：把点参数化后代入平面方程解出参数，再换算成线段比。体对角线 与平面 的交点把 分成 ，是常见的对称分点。 14．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。若 ，则点 到平面 的距离为________。 【答案】　（难度：较难） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，体对角线长 。设 （），则 。 由 得 ，即 （取正值），所以 。平面 的方程为 （同第 13 题）。 故点 到平面 的距离为 。故填 。 【方法点睛】两步走：先用等距条件（或给定线段长）确定动点位置，再用点到平面的距离公式 求距离。注意 的取值范围会筛掉负根。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）， 为棱 的中点。(1) 是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；(2) 是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的值。 【答案】(1) 存在，；(2) 存在，　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，平面 的法向量为 。 (1) 假设存在这样的点 。 平面 等价于 ，而 ，故 ，解得 ，满足 ，且 ， 都不在平面 内，直线确实与平面平行。 (2) 假设存在这样的点 。设直线 与平面 所成的角为 ，，则 令 ，得 ，即 ，（取正值），满足 。综上：(1) 存在，；(2) 存在，。 【方法点睛】解答题的规范流程：先假设存在，再设参数、建系列方程，解出参数后必须回代检验“参数是否在 内”与“是否落在退化位置”。线面角统一用 ，可避免因角的范围而产生的分类讨论。 16．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）。(1) 若二面角 的大小为 ，求 ；(2) 是否存在点 ，使三棱锥 的体积为 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 同时成立？若存在，求出 的值。 【答案】(1) ；(2) 不存在这样的点 　（难度：较难） 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，平面 的法向量为 。 (1) 取 的中点 。在底面内与 垂直且指向 的方向为 ，在平面 内与 垂直的方向为 。设二面角为 ，则 令 得 （取正值），满足 。 (2) 假设存在这样的点 。，，。由 得混合积 ，故 。 令 得 ，满足 。另一方面，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，令 得 ，即 ，（取正值）。两个条件分别给出 与 ，二者不相等，故不存在同时满足两个条件的点 。 【方法点睛】“双条件同时成立”的探索题，分别把两个条件化为关于同一参数的方程，再比较各自解出的参数值：若相同且在允许范围内，则存在；若不同或超出范围，则不存在。本题两条件分别给出 与 ，是“各自成立但不能同时成立”的典型陷阱。 专题结语 空间探索性问题的核心是把“是否有”化为“方程有没有解”：先假设存在，用坐标把几何条件翻译成向量方程，再解出参数并检验其是否落在允许范围内。复盘时优先重温第 4、9、11、15、16 题，体会“假设存在—建系列方程—范围检验—规范作答”的四步流程，并特别留意端点与不存在两类情形。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 届高三数学一轮复习培优专题 14　空间几何体中的探索性问题 （学生版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本卷共 16 题（8 单选、3 多选、3 填空、2 解答），围绕空间几何体中的探索性问题命制，均为中档题及以上，建议 90 分钟限时独立完成。做题时务必先写清动点所在棱（或对角线）与参数范围，再建系列式，最后回验参数是否可用；完成后对照《详细解析版》复盘“假设存在——设参列方程——范围检验”的完整链条。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点， 为棱 上一点。若 平面 ，则 A． B． C． D． 2．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）。若二面角 的大小为 ，则 A． B． C． D． 3．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）。若三棱锥 的体积为 ，则 A． B． C． D． 4．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。若 平面 ，则 A． B． C． D． 5．在长方体 中，，， 为棱 的中点。若直线 与平面 所成角的正切值为 ，则 A． B． C． D． 6．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。若 ，则 A． B． C． D． 7．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）。若直线 与平面 所成角为 ，则这样的点 有 A． 个 B． 个 C． 个 D．无数个 8．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。则三棱锥 的体积的最大值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点（含端点），则下列结论正确的是 A．存在点 （不与端点重合）使 B．存在唯一的点 使 C．存在点 使 平面 D．存在点 使 平面 10．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （），则下列结论正确的是 A．存在 使 B．存在 使三棱锥 的体积为 C．对任意 ，都有 D．存在 使 平面 11．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点，记 （），则下列结论正确的是 A． 的充要条件是 为 的中点 B． 的充要条件是 C．当 时， D．三棱锥 体积的最大值为 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．在长方体 中，，， 为棱 的中点。若三棱锥 的体积为 ，则 ________。 13．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。若点 在平面 内，则 ________。 14．正方体 的棱长为 ， 为体对角线 上一点。若 ，则点 到平面 的距离为________。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）， 为棱 的中点。(1) 是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；(2) 是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的值。 16．正方体 的棱长为 ， 为棱 上一点，记 （）。(1) 若二面角 的大小为 ，求 ；(2) 是否存在点 ，使三棱锥 的体积为 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 同时成立？若存在，求出 的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $