课时规范练59 圆锥曲线中的证明、探索性问题专题-2027届高三数学一轮复习

课时规范练59　圆锥曲线中的证明、探索性问题

(分值:58分)

1.(13分)已知双曲线M:=1(a>0,b>0)与双曲线N:=1的渐近线相同,且双曲线M经过点(2,2),双曲线N的焦距为2.

(1)分别求双曲线M和双曲线N的方程;

(2)如图,过点T(0,1)的直线l(斜率大于0)与双曲线M和双曲线N的左、右两支依次相交于点A,B,C,D,证明:|AB|=|CD|.             

2.(13分)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,P(2,0)为定点.

(1)若P为抛物线的焦点,求抛物线C的方程.

(2)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动,A,B是圆M与y轴的两交点,是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值?若存在,求这个定值;若不存在,请说明理由.             

 

 

3.(15分)(2025·北京,19)已知椭圆E:=1(a>b>0),离心率为,椭圆E上的点到两个焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆E的方程;

(2)已知椭圆E上一点M(x0,y0)(x0≠0),直线x0x+2y0y-4=0与y=2,y=-2的交点为A,B,△AOM与△BOM的面积分别为S1,S2,猜想的数量关系并求证.             

 

4.(17分)(2026·江苏徐州高三期中)已知双曲线E:=1(a>1)的右焦点为F(c,0),P是双曲线E与直线l:y=x+1的公共点,直线l分别与直线x=,y轴交于点Q,R,直线QF与y轴交于点T,记△TPR,△TQR的面积分别为S1,S2.

(1)若c=,求点R到双曲线E的渐近线的距离.

(2)证明:.

(3)双曲线E的右支上是否存在点M,使得|MP|=|MQ|?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.             

 

参考答案

课时规范练59　圆锥曲线中的证明、探索性问题

1.(1)解 由题意可知双曲线N的焦距为2=2|m|=2,解得m2=1,即双曲线N的方程为x2-=1.

因为双曲线M与双曲线N的渐近线相同,不妨设双曲线M的方程为x2-=λ,因为双曲线M经过点(2,2),所以4-2=λ,解得λ=2,则双曲线M的方程为=1.

(2)证明 不妨设直线l的方程为y=kx+1(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

联立消去y并整理得(2-k2)x2-2kx-1-2λ=0,此时2-k2≠0,Δ=4k2+4(2-k2)(1+2λ)>0,当λ=1时,由根与系数的关系得x2+x3=,当λ=2时,由根与系数的关系得x1+x4=,所以AD与BC的中点的横坐标均为.

因为A,B,C,D在同一直线l上,所以AD与BC的中点重合,不妨设该点为E,此时|EA|=|ED|,|EB|=|EC|,则|EA|-|EB|=|ED|-|EC|,故|AB|=|CD|.

2.解 (1)设抛物线的方程为y2=2px(p≠0),则抛物线的焦点坐标为(,0).

由已知,=2,即p=4,故抛物线C的方程是y2=8x.

(2)存在.设圆心M(a,b),点A(0,y1),B(0,y2).

因为圆M过点P(2,0),所以可设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=(a-2)2+b2.

令x=0,得y2-2by+4a-4=0,则y1+y2=2b,y1y2=4a-4.所以|AB|=.

设抛物线C的方程为y2=mx(m≠0),