培优专题18 解析几何中的非对称问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2026 届高三数学一轮复习培优专题 18　解析几何中的非对称问题 （详细解析版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本专题聚焦直线与圆锥曲线综合问题中的“非对称”结构：目标式含 、 与 地位不对等、含交叉项或只出现一个交点坐标，致使韦达定理无法直接套用。全卷围绕三大手法组织——算两次（对同一量用两种途径各算一次再相等）、点代曲线降次（用交点满足的曲线方程消去高次项）、配凑对称（用 与 收拢非对称式），共 16 题，全部为原创题或改编题，数据简单、运算量适中。建议先限时完成学生版，再逐题对照解析复盘。 方法导航 算两次法　对同一个量用两种途径各计算一次，再令两者相等：一种途径走韦达定理与直线方程（点代线），另一种途径利用交点在曲线上（点代曲线）。两条途径联立，能消去非对称的高次结构，得到参数之间的关系，是定点、定值证明的主框架。 点代曲线降次法　交点坐标满足曲线方程：抛物线 上 可写成 的二次式，椭圆上 可写成 的一次式。遇到含 、 等高次结构的非对称式，先代入曲线方程降次，再化归为和与积的组合。 点代线降次法　交点坐标满足直线方程：若直线为 ，则 可整体换成 。含 、 等交叉项的目标式，代入直线方程展开后，用 与 的韦达结果收口。 配凑对称法　把非对称目标式恒等变形为对称结构：分子分母同除 制造倒数和，展开 借助韦达，或利用 ，让韦达定理重新够得着。 焦半径单变量法　过焦点的弦中，焦半径只含一个坐标：抛物线的 ，椭圆的 。涉及 与 的非对称比例条件，直接化为只含 、 的方程，配合焦点弦积 求解。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则直线 的斜率为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】点差法（算两次的入门形态）：、 都在椭圆上，将两个交点坐标各代入椭圆方程一次，得 与 。两式相减： 由中点 得 ，，且 ，故 。 检验弦的存在性：直线 代入椭圆方程得 ，即 或 ，交点为 与 ，恰被 平分。故选 B。 【方法点睛】点差法即“对曲线方程算两次”：两个交点各代一次再相减，得到中点坐标与弦斜率的关系 （椭圆 ）。用完点差必须回验弦的存在性（联立后判别式为正），否则中点可能是“虚拟中点”。 2．过抛物线 的焦点 的直线与 交于 ， 两点，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】焦点 ，准线 。由抛物线定义，焦半径只含一个横坐标：，，这是“只出现单个交点坐标”的典型非对称结构。 过焦点的弦满足 （设 代入 ，由韦达定理即得）。条件 化为 ，即 ，代入 ： 解得 或 。 时 ，、 重合于 ，舍去；故 ，。。故选 C。 【方法点睛】抛物线焦半径 把“长度”化成“单坐标”，非对称的比例条件随即变成 与 的一次关系；再配焦点弦积 （）即可解出两点。求出根后要检验退化情形（如 对应 与焦点重合）。 3．过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，则直线 的斜率为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】由点在抛物线上（点代曲线消元）：，，故 ，。条件 化为 ，即 （与 相容）。 由 知直线 的斜率 ，设 。点代线： 代入得 ，故 ，。 将 代入： 且 ，两式相除得 ，即 ，，进而 ，。 检验：由 ， 得 ，，二者均在抛物线与直线 上，且 ，，满足条件。故选 C。 【易错警示】斜率之比 是典型的非对称条件：先点代曲线把斜率化为 ，比值条件才变成 的对称关系。注意 锁定 ，排除 的另一组解，否则易误认为有两解。 4．直线 与椭圆 交于 ， 两点，则 A． B． C． D． 【答案】D　（难度：易） 【解析】联立：，整理得 ，解得 或 ，故 。 由点代线：，，故 （这也与弦长公式 中 一致：横纵差相等）。 故 。故选 D。 【方法点睛】弦长公式 把弦长化归为非对称量 ，其值由 经韦达定理获得；直线方程本身还能提供 的换算。 5．已知直线 （）与抛物线 交于 ， 两点，若直线 与 的斜率之积为 ，则直线 恒过的定点为 A． B． C． D． 【答案】A　（难度：中档偏难） 【解析】联立 与 ：，故 ，。 配凑对称：（交叉的非对称结构展开后，二次项恰好抵消）。 于是 ，得 ，直线 恒过定点 。此时判别式 ，即 ，满足条件的直线族全部过该定点。故选 A。 【方法点睛】“斜率之积为定值”型条件的一般流程：联立韦达得 与 ，点代线展开 ，则 （对 ）；令其为定值即得 与 的线性关系，读出定点。本结论与第 11 题互相呼应。 6．过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点（， 异于原点），则 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】为避免斜率讨论，设直线 ，代入 得 ，故 。 由点在抛物线上（点代曲线降次）：，，于是 ，高次结构一步化为已知量的平方。 故 。故选 B。 【方法点睛】抛物线上 （由 点代曲线而来）是处理“过定点 的弦”的利器：设 后 立即读出， 随之确定，彻底绕开含 的讨论。 7．同第 4 题的直线与椭圆：直线 与椭圆 交于 ， 两点，则 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：易） 【解析】点代线降次：交点在直线 上，故 ，。代入交叉项： 故原式 ，非对称的交叉结构化为对称的和。 由第 4 题的联立结果 ，韦达定理给出 ，故所求值为 。故选 C。 【方法点睛】交叉项 形似非对称，实为对称：点代线展开后得 型结构（一般直线 ），韦达定理直接收口。见到交叉项先想到“点代线”，不要急着硬算坐标。 8．已知椭圆 与直线 交于 ， 两点，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】联立：，展开整理得 。由韦达定理 ，故 ，进而 。 点代线：把 代入，。 故 。此时判别式 ，两个交点确实存在。故选 C。 【易错警示】椭圆问题的目标式 仍是“和与积”的对称结构，关键是先用 定出参数； 不必解出 ， 的具体值，直接写成 展开即可。本题最易漏掉直线斜率中的系数 ，把它误写成 ，就会错得 从而误选 。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知 ， 是椭圆 上的两点，且 ，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】ABD　（难度：中档） 【解析】A：配凑对称，，正确。 B：点代椭圆降次，，，相加得 ，正确。 C：，故 ；但 与 各自的符号无法由条件确定， 可正可负，C 错误。 D：，故 ，正确。故选 ABD。 选项 A．，正确。 选项 B．由点在椭圆上，（），求和只用到 ，得 ，正确。 选项 C． 成立，但乘积的符号不确定（， 可同号也可异号），不能断言 ，错误。 选项 D．，绝对值 确定，正确。 【易错警示】由 与 只能确定偶次幂组合（平方、绝对值），不能确定 这类含开方符号的量；本题 C 的数值 恰是 ，符号陷阱就在于此。存在性检验：两横坐标为 ，较大者平方小于 ，均在椭圆上。 10．过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点，则下列结论正确的是 A． B． C．以 为直径的圆与准线 相切 D． 【答案】ABC　（难度：中档偏难） 【解析】设直线 （），代入 得 ，故 ，A 正确。 点代线：，而 ，故 ，B 正确。 由焦半径只含单个坐标：，，。以 为直径的圆的圆心横坐标为 ，到准线 的距离为 ，恰为半径，相切，C 正确。 D：，错误。故选 ABC。 选项 A．韦达定理直接给出 ，正确。 选项 B．，与 无关，正确。 选项 C．圆心到准线的距离 等于半径 ，相切，正确。 选项 D．焦点弦的倒数和为 ，不是 ，错误。 【方法点睛】焦点弦三条“定值链”：，，（）；以焦点弦为直径的圆与准线相切。这些结论的推导全靠焦半径 只含单个坐标的非对称特征。 11．已知直线 （）与抛物线 交于 ， 两点，且直线 与 的斜率之积为 ，则下列结论正确的是 A．直线 恒过定点 B． C． D．存在斜率 的值，使得直线 与 只有一个公共点 【答案】ACD　（难度：较难） 【解析】与第 5 题同一框架：，得 ，直线 恒过定点 ，A 正确。 由第 5 题的配凑结果 ，B 给出 ，错误；又 ，C 正确（此时 ，两交点横坐标同号， 与之一致）。 D：判别式 ，令 得 ，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点，D 正确。故选 ACD。 选项 A．由斜率之积为 得 ， 恒过 ，正确。 选项 B．，B 写成 ，错误。 选项 C．，正确。 选项 D． 时 ，直线与抛物线相切，只有一个公共点，正确。 【方法点睛】“斜率之积为 ”给出 ，直线族 恒过 ；第 5 题取 ，本题取 ，定点横坐标随之改变。判别式 同时决定相交范围与相切位置，两条结论共用一个判别式。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知双曲线 的弦 被点 平分，则直线 的斜率为________。 【答案】　（难度：中档） 【解析】点差法（算两次）：， 各代入双曲线方程一次，，，相减得 。 由中点 得 ，，故 。 检验弦的存在性：直线 代入双曲线方程，整理得 ，判别式 ，且两根之和为 、两根之积为 ，均为正根，弦存在且中点恰为 。故填 。 【方法点睛】中点弦问题用点差法：（双曲线 中 ）。双曲线的中点弦有存在范围，必须回验判别式与根的符号，防止“虚拟中点”。 13．过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点，且 ，则 ________。 【答案】　（难度：中档偏难） 【解析】焦半径只含单个坐标：，，且焦点弦满足 。条件化为 ，即 。 代入 ：，即 ，解得 或 。 时 ，、 重合于焦点，舍去；故 ，。 由 ，， 共线，。故填 。 【易错警示】本题为第 2 题（）的同构变式：比例换成 ，方法完全一致。两个易错点：一是 的退化根要舍去；二是无论 、 谁距焦点更远， 不变，答案唯一。 14．直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，则 ________。 【答案】　（难度：较难） 【解析】代入 ：，故 ，。于是 ，得 。 弦长公式（以 为元的形态，与 对偶）：。 检验：取 ， 的两根为 与 ，对应点 与 ，。故填 。 【方法点睛】设 后弦长用 ，与 版本对偶； 由 韦达而得，这正是“配凑对称”处理 型非对称量的标准动作。 时两支（）弦长相同。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 不经过原点 、不平行于 轴，并满足 （ 为原点）。(1) 证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标；(2) 求 面积的最小值。 【答案】(1) 直线 恒过定点 ；(2) 面积的最小值为 （此时 垂直于 轴，即 ）　（难度：较难） 【解析】(1) 分两类讨论。当 不与 轴垂直时，设 （，由不过原点知 ）。本题用“算两次”框架：对同一组交点量各用一种途径计算。第一次（韦达定理配点代线）：联立 与 得 ，则 ；且 。 第二次（点代曲线降次）：， 在抛物线上，，，故 ，与第一次的结果 一致（可作为检验）。 先处理 不与 轴垂直的情形。 等价于 ，代入两条途径的结果得 ，即 。 对应 即 ，此时直线过原点、交点之一为 ，不合题意，舍去；故 ，即 ，，此时 ，过定点 。 再处理 垂直于 轴的情形：设 （），则 ，。由 得 ，故 （ 舍去），即 ，同样过 。综上，直线 恒过定点 。 (2) 由 (1) 知 过定点 且不经过原点，故可设 （ 为任意实数，其中 即垂直于 轴的情形）。代入 得 ，则 ，，。 于是 ，点 到 的距离 ，故 。因为 ，所以 ，当且仅当 （即 ，垂直于 轴）时取等号。故 面积的最小值为 。 【方法点睛】“算两次”的标准框架：垂直条件 中， 用韦达配点代线算一次（）， 用点代曲线算一次（），两条途径汇合后得到 这一关键中间量。第 (1) 问需先排除 （即直线过原点）的退化情形，并单独讨论 垂直于 轴的情形；第 (2) 问改设 可把垂直于 轴的情形一并纳入，面积 的最小值 在 （即 ）处取得。 16．已知抛物线 ，直线 （）与 交于 ， 两点，且直线 与 的斜率之和为 。(1) 证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标；(2) 若直线 的斜率 满足 ，且 的面积为 ，求直线 的方程。 【答案】(1) 直线 恒过定点 ；(2) 　（难度：较难） 【解析】(1) 。分子是交叉的非对称结构，点代线配凑：。 联立 与 得 ，，。代入并除以 ：，含 的项恰好消去。 由条件 得 ，直线 恒过定点 。（交点存在要求 ，即 且 。） (2) 时，，故 ，，。 令 ，即 ，，因式分解得 。当 时 恒成立，故 ，直线 。 【方法点睛】“斜率之和”型非对称条件的通法：分子 点代线配凑成 ，除以 后 的项相互抵消，只剩 ——这正是“配凑对称”的价值：把含两个参数的非对称式压成单参数。对比第 15 题（斜率之积）与本题（斜率之和），定点分别落在对称轴上的 与 。 专题结语 非对称问题的核心是“让韦达定理够得着”：算两次打通两条计算途径，点代曲线与点代线负责降次，配凑对称把目标式收拢到和与积。复盘时优先重温第 5、11、14、15、16 题，体会从非对称条件到定点、定值的完整转化链。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 届高三数学一轮复习培优专题 18　解析几何中的非对称问题 （学生版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本卷共 16 题（8 单选、3 多选、3 填空、2 解答），围绕解析几何中的非对称问题命制，均为中档题及以上，建议 90 分钟限时独立完成。完成后对照《详细解析版》逐题复盘，重点体会“算两次—点代降次—配凑对称”三条处理路径：凡韦达定理直接代入失效的目标式，先降次、再配凑，两条途径各算一次。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则直线 的斜率为 A． B． C． D． 2．过抛物线 的焦点 的直线与 交于 ， 两点，且 ，则 A． B． C． D． 3．过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，则直线 的斜率为 A． B． C． D． 4．直线 与椭圆 交于 ， 两点，则 A． B． C． D． 5．已知直线 （）与抛物线 交于 ， 两点，若直线 与 的斜率之积为 ，则直线 恒过的定点为 A． B． C． D． 6．过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点（， 异于原点），则 A． B． C． D． 7．同第 4 题的直线与椭圆：直线 与椭圆 交于 ， 两点，则 A． B． C． D． 8．已知椭圆 与直线 交于 ， 两点，且 ，则 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知 ， 是椭圆 上的两点，且 ，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 10．过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点，则下列结论正确的是 A． B． C．以 为直径的圆与准线 相切 D． 11．已知直线 （）与抛物线 交于 ， 两点，且直线 与 的斜率之积为 ，则下列结论正确的是 A．直线 恒过定点 B． C． D．存在斜率 的值，使得直线 与 只有一个公共点 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知双曲线 的弦 被点 平分，则直线 的斜率为________。 13．过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点，且 ，则 ________。 14．直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，则 ________。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 不经过原点 、不平行于 轴，并满足 （ 为原点）。(1) 证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标；(2) 求 面积的最小值。 16．已知抛物线 ，直线 （）与 交于 ， 两点，且直线 与 的斜率之和为 。(1) 证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标；(2) 若直线 的斜率 满足 ，且 的面积为 ，求直线 的方程。 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