7.7 空间中展开图、截面与动点问题专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦空间几何体截面、展开图与动点问题，通过精选各地高三真题构建立体几何综合训练体系，强化空间观念与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截面问题|8选+3多+2解|判断截面形状、计算面积体积|空间几何体结构特征→截面作图规则→面积体积公式应用| |动点轨迹|4选+2多+2填+3解|轨迹判断、长度计算、距离最值|空间点线面位置关系→轨迹方程构建→几何量计算| |展开图与最短路径|1填+1解|侧面展开、最短路径求解|空间几何体表面展开→平面几何转化→距离公式应用|

7.7 空间中展开图、截面与动点问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·山西长治·期末）在正方体中，点、分别为、的中点，平面将正方体截成两部分，这两部分分别为（   ） A．一个棱柱和一个棱台 B．一个棱锥和一个棱台 C．两个棱柱 D．两个棱台 2．（25-26高三·安徽合肥·期末）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱的中点，沿平面将正方体截成两块，则较小的一块体积为（   ） A． B． C．3 D．2 3．（2026·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·四川凉山·期末）在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·河北邯郸·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·重庆·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点，分别在线段和上，下面结论中正确的是（     ） A．为中点时，过、、三点的正方体截面是正方形 B．时，过、、三点的正方体截面周长是 C．过点，，三点的正方体截面一定是平行四边形 D．过点、、的正方体截面不可能是平行四边形 7．（25-26高三·辽宁本溪·期末）如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 8．（25-26高三·天津·期末）正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则以下列结论正确的个数是（    ） ①直线与直线AF垂直 ②直线与平面AEF平行 ③点G与点C到平面AEF的距离相等 ④平面AEF截正方体所得的截面周长为 ⑤三棱锥的体积为定值 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·江西景德镇·期末）如图，正方体的棱长为4，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为4 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是18 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 10．（25-26高三·山东日照·阶段检测）如图，正方体的棱长为2，M，N分别为棱， 的中点，P为棱上的动点，则下列说法正确的是（     ）    A．三棱锥 的体积为 B．平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可能为三角形 C．若P是棱的中点，则平面 截正方体所得截面面积为 D．平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形且此时截面面积最大 11．（2026·湖北·模拟预测）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，为的中点，、分别是线段、上的动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．存在、使平面 B．存在、使平面 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·江西南昌·期末）已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 13．（25-26高三·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 14．（25-26高三·北京朝阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·全国·课后作业）如图所示，已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形，求此六边形的周长的最小值． 16．（25-26高三·贵州黔东南·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点． (1)若点为的中点，求证：平面； (2)若点为线段上的动点（包含端点），求的最小值； (3)若点在侧面正方形内（包含边界），且，求点的轨迹长度． 17．（25-26高三·湖北襄阳·期末）如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H． (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由． 18．（25-26高三·上海·期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 19．（25-26高三·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. (1)若中点为，求证：平面； (2)若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.7 空间中展开图、截面与动点问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·山西长治·期末）在正方体中，点、分别为、的中点，平面将正方体截成两部分，这两部分分别为（   ） A．一个棱柱和一个棱台 B．一个棱锥和一个棱台 C．两个棱柱 D．两个棱台 【答案】C 【详解】设正方体棱长为.点、分别为、中点，则且.又（均等于棱长），故四边形为平行四边形.平面与正方体交于该平行四边形.该平面将正方体截成两部分，每一部分侧棱互相平行，均可看作棱柱，而非棱台或棱锥. 因此这两部分分别为两个棱柱. 2．（25-26高三·安徽合肥·期末）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱的中点，沿平面将正方体截成两块，则较小的一块体积为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】先找到正方体的截面，确定沿平面将正方体截成的较小的一块为棱台，应用棱台的体积公式求棱台的体积即可. 【详解】连接，如图所示，则. 因为分别是棱的中点，所以,, 所以,，所以点平面， 则沿平面将正方体截成的较小的一块为棱台， 可知，， 则. 3．（2026·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 4．（25-26高三·四川凉山·期末）在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于底面的对称点，则，所求最小值为点到直线的垂直距离，分析出点到直线的竖直距离和水平距离，即可利用勾股定理求得结果. 【详解】由题知，作关于底面的对称点，    则，所以， 所以的最小值为点到直线的垂直距离， 因为到的距离为， 所以到平面的距离为， 又， 所以的最小值为. 即的最小值为. 5．（25-26高三·河北邯郸·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为,再由余弦定理求解. 【详解】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为. 如图，，,所以 是 中点，，，中，由余弦定理得 ,所以 所以 的最小值为 . 6．（25-26高三·重庆·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点，分别在线段和上，下面结论中正确的是（     ） A．为中点时，过、、三点的正方体截面是正方形 B．时，过、、三点的正方体截面周长是 C．过点，，三点的正方体截面一定是平行四边形 D．过点、、的正方体截面不可能是平行四边形 【答案】C 【分析】对于A，延长辅助线找出平面与正方体棱的全部交点得到截面四边形，计算边长证得为菱形，再由邻边平方和不等于对角线平方判定内角非直角，故截面不是正方形；对于B，先根据线段比例确定点位置，延长线段找到平面与正方体棱的交点得到截面四边形，再分别算出四条边长求和得到实际周长；对于C，利用正方体两组对面互相平行的性质，根据面面平行推出截面两组对边分别平行，从而判定截面为平行四边形；对于D，先说明为中点时同时是中点，则过的正方体截面即平行四边形. 【详解】对于A：延长交延长线于点，由为中点，可得， 连接并延长交的延长线于点，则，连接交于， 则为中点，截面为四边形， 因为， ，所以截面是菱形但不是正方形，故A错误； 对于B：由，棱长为3，得， 连接并延长交的延长线于点，则， 连接交于点，则为线段靠近点的三等分点，截面为四边形， ，， ，， 周长为：，故B错误； 对于C：因为平面平面， 所以过点三点的平面与平面和平面的交线平行， 即在平面内存在过点的直线，设， 连接，由平面平面，可得， 所以截面是平行四边形，故C正确； 对于D：当点为中点时，点也是中点， 此时经过的截面为平行四边形，故D错误. 7．（25-26高三·辽宁本溪·期末）如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 【答案】D 【分析】若平面，可得，进而可判断A；由题意可得平面平面，进而可判断B；点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，计算可判断C；根据平面，可判断D. 【详解】对于A，若平面，又平面，所以， 又因为、分别为棱，的中点，所以，所以， 因为是等边三角形，所以，与矛盾， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，连接， 因为、分别为棱，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体的性质可得，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，平面， 故直线与直线是异面直线或，故B错误； 对于C，由知点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示， 由正方体棱长为得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，故C错误. 对于D，因为平面，又， 所以点到平面的距离为定值，又为定值， 所以为定值，故D正确. 8．（25-26高三·天津·期末）正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则以下列结论正确的个数是（    ） ①直线与直线AF垂直 ②直线与平面AEF平行 ③点G与点C到平面AEF的距离相等 ④平面AEF截正方体所得的截面周长为 ⑤三棱锥的体积为定值 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由即为直线与直线所成的角，即可判断①；对于②，连接，由线面平行的判定即可判断②；由平面不过的中点即可判断③；对于⑤，连接、，证明即可得到平面截正方体所得的截面图形为四边形，证明平面结合棱锥的体积公式即可判断；对于④，由选项⑤即可得到截面的图形，进而根据数据直接求解即可； 【详解】对于①，由正方体得，则即为直线与直线所成的角， 连接AC，而平面ABCD，所以，所以在中，则不可能是直角，直线与直线不垂直，故①不正确； 对于②，连接，则，所以平面， 因为平面，平面，所以∥平面，故②正确； 对于③，若点C与点G到平面的距离相等，则平面必过的中点，连接交于，且不是的中点， 则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，③不正确； 对于⑤，连接、，由正方体几何性质可知且， 所以四边形是平行四边形，故， 又，所以，故与共面且过与的面有且只有一个， 故四边形是平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由均为所在边的中点以及正方体性质得，且， 故，又平面，平面， 所以平面，故点到平面的距离即为到平面的距离， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，故⑤正确； 对于④，由⑤可知平面截正方体所得的截面图形为四边形， 又由上以及题意得，，， 所以平面截正方体所得的截面周长为，故④正确； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·江西景德镇·期末）如图，正方体的棱长为4，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为4 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是18 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】ABC 【分析】对于A：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于B：先找过，，三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积.对于C：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于D：先求外接球半径，再代入球的体积公式计算； 【详解】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动， 所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线，， 即点的轨迹长为4，A正确； 对于B：，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确. 对于C：为定值，C正确； 对于D：三棱锥的外接球即为长宽高为的长方体的外接球， 半径， 则三棱锥的外接球体积为，D错误； 10．（25-26高三·山东日照·阶段检测）如图，正方体的棱长为2，M，N分别为棱， 的中点，P为棱上的动点，则下列说法正确的是（     ）    A．三棱锥 的体积为 B．平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可能为三角形 C．若P是棱的中点，则平面 截正方体所得截面面积为 D．平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形且此时截面面积最大 【答案】AC 【分析】应用三棱锥体积公式计算判断A，应用特殊点证明平行四边形及菱形计算面积判断D；利用截面计算判断B，C. 【详解】，A选项正确； 正方体有三组对面互相平行，若截面为三角形， 则每组对面上有且仅有一条截面与正方体的交线， 由题意，平面平面， 因为平面平面， 设平面平面，则. 由平面且平面，则. 取中点，过点作，垂足为， 则，且，所以四边形为平行四边形， 所以，则， 不论点在棱如何运动，过点均可作，交棱于，又， 则直线即为交线.(经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行) 故截面图形至少为四边形，不可能为三角形，故B错误；    当与重合时，平面即为平面， 此时截面图形为矩形，且面积为. 如图，当与重合，依次连接， 取中点，连接， 由且，则四边形为平行四边形， 则，且， 又由且，则四边形为平行四边形， 则，则，又， 所以四边形为平行四边形，又， 故此时四边形为菱形，其面积为 ， 因此，此时截面虽为菱形，但不是最大截面面积，故D错误；       当点为中点时，分别取的中点， 顺次连接， 因为，所以，则四点共面， 同理，由，则四点共面， 又三点不共线，故五点共面， 由，平面，即六点共面， 即平面即为平面， 是正六边形，， 所以截面面积为，C正确； 11．（2026·湖北·模拟预测）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，为的中点，、分别是线段、上的动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．存在、使平面 B．存在、使平面 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】当点与点重合时，利用面面平行的性质可判断A选项；证明出平面，当点与点重合且为的中点时，可判断B选项；过点作关于的对称点，过点作于点，设，则当、、三点共线时，最小，求解即可，可判断C选项；连接，取的中点，推导出，可知点为、的交点时，最小，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于选项A，当点与点重合时，平面， 又平面平面，显然有面，故A正确； 对于选项B，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 当点与点重合且为的中点时，、平面， 又因为，此时平面，故B正确． 对于选项C，当为的中点时，最小， 如图所示，过点作关于的对称点，过点作于点， 不妨设，则当、、三点共线时，最小， 因为，，， 此时， 因为，则， 所以， 故， 则，故， 所以， 故，故C错误； 对于选项D，连接，取的中点，如图所示： 因为，，，故， 所以， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故， 连接交于点，因为、分别为、的中点，则， 因为四边形为正方形，所以，故， 因为，故为的中点， 因为四边形为正方形，故， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故，同理可证， 在矩形中，过点在平面内作，垂足为点， 易知四边形为矩形，且，， 故，所以， 因为、平面，当点为、的交点时，取最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·江西南昌·期末）已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】根据正四棱柱的性质及棱柱的体积求出侧棱长，结合勾股定理求出，得到点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，求出圆心角，代入弧长公式求解即可. 【详解】设正四棱柱的高为， 则，解得，即侧棱. 易知为直角三角形，所以， 所以点在底面上的轨迹是以为圆心、半径的圆的一部分. 底面是边长为2的正方形，因为， 所以点的轨迹圆与底面的交点在，上，设为，， 则. 在中，，则， 同理可得， 所以点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，圆心角为， 所以弧长为. 故点P的轨迹长度为. 13．（25-26高三·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 【答案】 / 【分析】①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离. 【详解】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为， 所以圆台的体积为. ②在梯形中，，即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得， 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，，，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意. 故答案为：，. 14．（25-26高三·北京朝阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，证明，结合线面平行的判定定理即可判断；对于②，利用等体积法求出到平面的距离，即可得到点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可判断；对于③，的面积不为定值，即可判断③，对于④，作出平面截正方体所得的截面，截面为正六边形，求面积即可判断. 【详解】因为分别为的中点，所以， 又，所以， 又因为平面，平面， 所以平面，故①正确； 设点在平面的投影为， ，，，则， 所以， ， 所以， 而，解得， 又，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 故点轨迹的长度为，故②正确； 因为点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 圆在平面内， 故到直线的距离不为定值，即的面积不为定值， 而到平面的距离为定值， 故的体积不恒为定值，故③错误； 取中点分别为，连接， 六边形即为平面截正方体所得的截面， 六边形的各边均为，故为正六边形， 所以正六边形的面积为，故④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·全国·课后作业）如图所示，已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形，求此六边形的周长的最小值． 【答案】 【分析】将正方体各面展开成平面，利用勾股定理求解最短距离即可. 【详解】如图，依次将正方体各面展开，从正方形出发， 依次为，，，，， 则截面六边形的周长， 所以六边形的周长的最小值为． 16．（25-26高三·贵州黔东南·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点． (1)若点为的中点，求证：平面； (2)若点为线段上的动点（包含端点），求的最小值； (3)若点在侧面正方形内（包含边界），且，求点的轨迹长度． 【答案】(1)四边形是正方体的对角面， 则四边形是矩形，， 由点O、M分别为、的中点，得， 又平面，平面， 所以平面； (2) (3)． 【分析】(1)根据线面平行判定定理可得； (2) 把正方形与正方形置于同一平面内即可得； (3)延长与的延长线交于，得为平行四边形，取中点，连接交于，连接，得四边形是平行四边形，进一步得到点的轨迹是平面与正方形相交所得线段，即可求得点的轨迹长度. 【详解】（1）略 （2）如图所示，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线BC两侧，连接DM， 则的最小值为. （3）如图所示，取中点，延长与的延长线交于， 由，，得为平行四边形，， 取中点，连接交于，连接， 由，，得四边形是平行四边形， 则，为的中点， 由平面，平面，得， 又，，， 则，而，则， 同理， 因此，， 而，MO，平面，所以平面， 又，则平面，又平面， 因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段， 而， 所以点的轨迹长度为． 17．（25-26高三·湖北襄阳·期末）如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H． (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以. 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面，且与相交于点A， 所以平面. 因为平面，所以， 因点A在直线上的投影是点H，所以. 因为平面，平面，且与相交于点F， 所以平面. 因为平面，所以， 因点A在直线上的投影是点D，所以. 因为平面，平面，且与相交于点A， 所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证明平面，再证平面，从而可证平面. （2）先找出二面角的平面角，利用及线段关系可证明是等边三角形，即可求三棱锥的体积. （3）先找出满足条件的点T，且T为的中点，设线段中点为P，线段中点为Q，则是二面角的平面角，再利用已知条件计算出长度，在中，即可计算. 【详解】（1）略 （2）同（1），可证得平面，因为平面，所以. 由（1）的过程可知，平面，因为平面， 所以，. 所以是二面角的平面角，则. 在四边形中，，所以. 所以，解得. 因为平面，平面，所以，. 因为，所以. 所以，可得， 故，所以是等边三角形，其面积为. 所以三棱锥的体积为. （3）由（1）的过程可知平面，平面，所以， 所以，，是共斜边的三个直角三角形， 当T为的中点时，， 即满足条件的T点存在，T为的中点． 设线段中点为P，线段中点为Q，连接，，， 中，，因此， 过F作，与延长线交于K，因为，所以， 又因为（中位线），所以， 因此，是二面角的平面角， 设，， 则，，，，（中位线）， 由射影定理得，，则， 由（1）可知，，由勾股定理得，， 中，，，， 在中，由余弦定理得，， 代入化简得，， 二面角的余弦值为． 18．（25-26高三·上海·期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【答案】(1) (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长， 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    19．（25-26高三·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. (1)若中点为，求证：平面； (2)若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 【答案】(1)如图，取中点，连接， 为线段的中点，，， ； 四边形为平行四边形，， 平面平面，平面. (2)①；②. 【分析】（1）根据中位线可得线线平行，即可证明四边形为平行四边形，可得，即可由线面平行的判定求证， （2）①作辅助线，根据平移法找到异面直线与所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根据图形的几何性质说明当时，最短，此时，点在棱上，然后通过解三角形求得相关线段长. 【详解】（1）略 （2）①取的中点，连接， 为中点，， 就是异面直线和所成的角或所成角的补角. 平面平面， 平面平面，平面， 平面平面， 菱形的边长为， 与是全等的正三角形， 分别为的中点，， 在中，， 在中，，， 在中，； ②,平面， 平面，又为线段的中点， ，， 要使最小只需最短即可，即为点到面的距离. 在中，，， ，， ，的最小值为. 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $