培优专题15 圆锥曲线中的面积问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2026 届高三数学一轮复习培优专题 15　圆锥曲线中的面积问题 （详细解析版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本专题聚焦圆锥曲线中三角形与四边形的面积计算、面积最值，围绕“弦长乘点线距离—韦达定理—基本不等式（或参数方程）”这条通法主线命制，共 16 题，全部为原创题或改编题，数据简洁、运算量适中，突出设而不求与转化化归思想。建议先限时完成学生版，再逐题对照解析复盘。 方法导航 面积三要素法　三角形面积由“底乘高的一半”决定：圆锥曲线中常取弦为底、取定点到弦的距离为高，于是面积等于弦长乘点线距离再除以二。 弦长公式　直线与圆锥曲线交于两点时，弦长等于根号下（一加斜率平方）乘以两交点横坐标之差的绝对值；两根之和与两根之积由韦达定理配合判别式给出。 焦点弦面积法　过焦点的弦与原点构成的三角形，面积等于半焦距乘两交点纵坐标之差的绝对值的一半，从而把面积化为纵坐标的和与积，避免求弦长。 参数方程法　求面积最值时，把椭圆上的两个动点设成角参数形式，面积化为关于两角之差的正弦，用正弦函数的有界性直接读出最大值。 取等条件回验　用基本不等式或函数单调性求最值，必须交代取等条件，并回验取等时直线与曲线确有两个不同交点，否则最值不可达。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知椭圆 的两个焦点为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】记 ，。由椭圆定义得 ，而 。 在 中由余弦定理：，即 ，解得 。 于是 。故选 C。 【方法点睛】椭圆中焦点三角形的面积只与顶角和短半轴有关：。本题 ，，故 ，可一步得出结果。双曲线中对应结论为 。 2．抛物线 与直线 交于 、 两点， 为坐标原点，则 的面积为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：易） 【解析】把 代入 得 ，不妨取 、，则 。 直线 与 轴平行，原点 到它的距离为 。 于是 。故选 B。 【易错警示】不少同学把弦长算成两交点横坐标之差的绝对值，本题中 、 的横坐标相同，这样算会得到 。弦所在直线平行于 轴时，弦长由纵坐标之差给出；平行于 轴时，才由横坐标之差给出。 3．已知椭圆 的两个焦点为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】由方程得 ，，。记 ，，则 ，。 因 ，由勾股定理得 。又 ，故 ，解得 。 于是 。故选 C。 【方法点睛】已知顶角的焦点三角形，把两段焦半径记为 、，则由“和为定值 ”与“平方和由余弦定理确定”联立即可定出 ，面积就是 。本题用 与逐项推导结果一致。 4．抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，若 ，则 的面积为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】抛物线 中 ，焦点 。设过 的直线倾斜角为 ，则焦点弦长 。 由 得 ，故 （取 ，即直线斜率为 ）。 原点 到直线 的距离等于 。 于是 。故选 B。 【方法点睛】焦点弦长公式 与“原点到焦点弦的距离等于 ”配合，可把面积的求法压缩成两步。也可统一用焦点弦面积公式 ，此时需先由弦长求出 。 5．已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线与椭圆交于 、 两点，则 面积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档偏难） 【解析】直线 过 ，设其方程为 （；当直线为 时对应 ）。代入 ：，整理得 。 设 、，则 ，，且判别式 。 以 为底，。 令 ，则 。求导得 （因 ），故 在 上单调递减，最大值为 时的值 。 回验取等条件： 时直线为 ，代入得 ，即 ，与椭圆确有两个交点。故选 B。 【方法点睛】把过焦点的直线设为 可免去讨论斜率是否存在，且面积化为 后只依赖纵坐标的对称量。本题最值在 （即竖直弦）处取得，这正是“面积最值常在特殊位置取到”的典型；但一定要回验该位置是否真的有两个交点。 6．已知抛物线 上两点 、 满足 （ 为坐标原点），则 面积的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】设 、。由 得 。设直线 的方程为 ，它与 轴交于 。 把 代入 得 ，故 ，；又 。 代入垂直条件得 。因 、 与原点不共线，，故 ，即直线 恒过点 。 于是 ，当且仅当 时取等。故选 C。 【方法点睛】抛物线上两点与原点构成直角的充要条件是 ，结合 立刻定出 ，即直角弦恒过定点 ——一般地，在 中该定点为 。面积最小时弦垂直于 轴，即直线 ，此时弦长为 。 7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线上一点， 于 。若 的面积为 ，则 等于 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】抛物线 中 ，焦点 ，准线 。设 ，则 ，且由抛物线定义 。 是水平线段，； 到直线 （即直线 ）的距离为 。 由面积条件 。把 （即 ）代入得 。 令 ，则 ，即 ，得 ，故 ，于是 。故选 B。 【易错警示】求 的面积时， 是垂直于准线的水平线段， 到它的距离是纵坐标的绝对值，不要误用 当高。另外要牢记抛物线定义 ，它把焦半径问题整体转化为横坐标问题。 8．已知椭圆 的上、下顶点分别为 、， 是椭圆上任意一点，则 面积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】由方程得 ，，故上顶点 ，下顶点 ，。 直线 即 轴（），点 到它的距离为 。 于是 。因 在椭圆上，，当 为长轴端点 时取到等号。 故 。故选 B。 【方法点睛】以竖直弦为底求面积时，高取横坐标的绝对值，与第 2 题的处理完全一致。求最值后要回验取等点是否真在曲线上：本题 是椭圆的长轴端点，确在椭圆上，故最大值可以取到。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 、 两点，则下列结论正确的是 A． B． C． 的最小值为 D． 面积的最小值为 【答案】ABC　（难度：中档偏难） 【解析】焦点 ，设直线 ，代入 得 ，故 ，，A 正确。 由 、 得 ，B 正确。 弦长 ，当 （弦垂直于 轴）时取最小值 ，C 正确。 面积 ，最小值是 而不是 ，D 错误。故选 ABC。 选项 A．由韦达定理直接得到 ，为定值，正确。 选项 B．，为定值，正确。 选项 C． 关于 递增， 时取最小值 （即通径长 ），正确。 选项 D． 的最小值是 （），不是 ，错误。 【方法点睛】焦点弦的两大定值必须记牢：纵坐标之积恒为 ，横坐标之积恒为 （本题 ，即 与 ）。弦长在弦垂直于对称轴时最短，等于通径长 ；此时原点到弦的距离也最大，故面积最小。 10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、， 为椭圆上任意一点，则下列结论正确的是 A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 面积的最大值为 D． 的取值范围是 【答案】ABD　（难度：中档） 【解析】由 得 。由基本不等式 ，当 （即 为短轴端点）时取等，A 正确。 ，B 正确。 设 ，则 。由 得 ，故面积的最大值为 ，C 错误。 由焦半径公式 ，其中 ，故 ，D 正确。故选 ABD。 选项 A．两段焦半径之和固定为 ，由基本不等式（和定积最大）得乘积不超过 ， 为短轴端点时取到，正确。 选项 B．平方和等于和的平方减去两倍积，积最大时平方和最小，最小值为 ，正确。 选项 C．面积等于 ，而 ，故最大值是 ，不是 ，错误。 选项 D．焦半径 随 递增，取值范围为 ，正确。 【方法点睛】焦点三角形问题优先用定义把两段焦半径之和固定为 ，再用“和定积最大”处理乘积、用平方和与和的平方的关系处理平方和。焦半径公式 能直接给出取值范围，比逐点计算快得多。 11．下列关于圆锥曲线中面积与弦长的结论，正确的是 A．椭圆 中，以短轴为底、椭圆上一点为顶点的三角形面积的最大值为 B．抛物线 中，过焦点且垂直于 轴的弦与原点构成的三角形面积为 C．椭圆 中，过右焦点且垂直于 轴的弦长为 D．双曲线 中，过右焦点且垂直于 轴的弦长为 【答案】ACD　（难度：中档） 【解析】对 A：上、下顶点为 ，短轴长 ，顶点到短轴所在直线的距离为 ，故面积最大值 ，A 正确。 对 B： 的焦点为 ，过 且垂直于 轴的弦为 ，由 得弦长 ，该弦与原点构成的三角形面积为 ，不是 ，B 错误。 对 C：椭圆 中 ，，通径长为 ，C 正确。 对 D：双曲线 中 ，，通径长为 ，D 正确。故选 ACD。 选项 A．底为短轴 ，高为点到 轴的距离 ， 的最大值为 ，故面积最大值为 ，正确。 选项 B．弦长 无误，但以 为底、纵坐标之差为高算得面积为 ，故 B 不正确。 选项 C．通径长公式 代入 、 得 ，正确。 选项 D．通径长公式 代入 、 得 ，正确。 【方法点睛】“通径长 ”是椭圆与双曲线共同的结论，抛物线中通径长为 。凡涉及“过焦点且垂直于对称轴的弦”的面积或弦长，直接套公式，可省去联立与韦达定理的全过程。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知双曲线 的右焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 、 两点， 为坐标原点，则 的面积为________。 【答案】　（难度：中档） 【解析】双曲线中 ，，，故右焦点 。 把 代入 ：，解得 ，故 ，从而 。 直线 为 ，原点到它的距离为 ，于是 。故填 。 【方法点睛】过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为 。本题通径长 ，省去了求解 的步骤；椭圆 的通径长为 ，抛物线 的通径长为 。 13．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、， 为椭圆上一点，若 ，则 的面积为________。 【答案】　（难度：中档） 【解析】椭圆中 ，，，故 。由定义 。 的三边为 、、，半周长 。 由海伦公式 。故填 。 【方法点睛】已知焦点三角形的三边求面积，海伦公式最稳；若已知顶角，则用 更快；也可先用余弦定理求顶角再算 。三条路线都要熟练，考场上按已知条件选最短的那条。 14．已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 ， 为坐标原点，则 的面积为________。 【答案】　（难度：中档） 【解析】抛物线 中 ，焦点 ，准线为 。 由抛物线定义， 等于 到准线的距离，即 ，得 。代入 得 ，故 。 以 为底，。故填 。 【方法点睛】抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离，这条定义是处理焦半径相关问题的第一切入点，可立刻把焦半径条件翻译成横坐标条件。以 为底、纵坐标为高是本题最简做法。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点（、 不重合）， 为坐标原点。(1) 若直线 的方程为 ，求 的面积；(2) 求 面积的最大值。 【答案】(1) ；(2) 　（难度：中档偏难） 【解析】(1) 把 代入 ：，整理得 。 设 、，则 ，，判别式 ，故直线确与椭圆交于两点。 弦长 。 原点到直线 的距离 ，故 。 (2) 用椭圆的参数方程：设 ，，其中 （模 ）。 当 时取等。取 、，得 、，两点均在椭圆上且不重合，相应的直线为 ，符合题意。 所以 面积的最大值为 。 【方法点睛】求面积有两条路线：一是“弦长乘点线距离”（适合已知直线方程），二是把两个动点参数化后用行列式 （适合求最值）。本题 (1) 用第一条稳健，(2) 用参数方程一步读出最大值 ，远优于联立后求最值。【易错警示】用参数方程求最值时，必须回验取等点确是两个不同的椭圆上的点，并说明这样的直线存在。 16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、， 为 上任意一点（ 不在 轴上）。(1) 求 面积的最大值；(2) 设 ，求 的最大值。 【答案】(1) ；(2) 　（难度：中档偏难） 【解析】(1) 设 。因 ，故 。 由 知 ，即 。当 为短轴端点 时取到等号，此时 。所以 面积的最大值为 。 (2) 记 ，，则 。在 中由余弦定理 由基本不等式 ，故 ，于是 ，即 ，从而 。 因为 在 上单调递增，所以 的最大值为 ，此时 ，即 为短轴端点。 【方法点睛】焦点三角形的“和与积”联动是核心： 固定，顶角由乘积 控制—— 越大、顶角越小。把 写成关于 的表达式后，用 一步得到角的范围，比逐点讨论简洁得多。【易错警示】 取不到 ，故 取不到 ，写范围时须用左闭右开。 专题结语 圆锥曲线的面积问题万变不离其宗：先选底（弦或焦点弦），再算高（点线距离或半焦距），最后用韦达定理把目标化为对称量的表达式。复盘时优先重温第 1、5、6、15、16 题，特别是第 15、16 题中参数方程与基本不等式两种求最值路径的对照。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 届高三数学一轮复习培优专题 15　圆锥曲线中的面积问题 （学生版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本卷共 16 题（8 单选、3 多选、3 填空、2 解答），围绕圆锥曲线中的面积问题命制，均为中档题及以上，建议 90 分钟限时独立完成。完成后对照《详细解析版》逐题复盘，重点体会“弦长乘点线距离”与“焦点弦面积等于半焦距乘纵坐标之差”两条路径的取舍。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知椭圆 的两个焦点为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为 A． B． C． D． 2．抛物线 与直线 交于 、 两点， 为坐标原点，则 的面积为 A． B． C． D． 3．已知椭圆 的两个焦点为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为 A． B． C． D． 4．抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，若 ，则 的面积为 A． B． C． D． 5．已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线与椭圆交于 、 两点，则 面积的最大值为 A． B． C． D． 6．已知抛物线 上两点 、 满足 （ 为坐标原点），则 面积的最小值为 A． B． C． D． 7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线上一点， 于 。若 的面积为 ，则 等于 A． B． C． D． 8．已知椭圆 的上、下顶点分别为 、， 是椭圆上任意一点，则 面积的最大值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 、 两点，则下列结论正确的是 A． B． C． 的最小值为 D． 面积的最小值为 10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、， 为椭圆上任意一点，则下列结论正确的是 A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 面积的最大值为 D． 的取值范围是 11．下列关于圆锥曲线中面积与弦长的结论，正确的是 A．椭圆 中，以短轴为底、椭圆上一点为顶点的三角形面积的最大值为 B．抛物线 中，过焦点且垂直于 轴的弦与原点构成的三角形面积为 C．椭圆 中，过右焦点且垂直于 轴的弦长为 D．双曲线 中，过右焦点且垂直于 轴的弦长为 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知双曲线 的右焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 、 两点， 为坐标原点，则 的面积为________。 13．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、， 为椭圆上一点，若 ，则 的面积为________。 14．已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 ， 为坐标原点，则 的面积为________。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点（、 不重合）， 为坐标原点。(1) 若直线 的方程为 ，求 的面积；(2) 求 面积的最大值。 16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、， 为 上任意一点（ 不在 轴上）。(1) 求 面积的最大值；(2) 设 ，求 的最大值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $