培优专题13 空间几何体中的动态问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2026 届高三数学一轮复习培优专题 13　空间几何体中的动态问题 （学生版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本卷共 16 题（8 单选、3 多选、3 填空、2 解答），围绕空间几何体中的动态问题命制，均为中档题及以上，建议 90 分钟限时独立完成。动点问题务必先写清动点所在棱（面）与参数范围，再建系或展开，完成后对照《详细解析版》逐题复盘取等条件。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．正方体 的棱长为 ，点 与 是一对相对顶点，一只蚂蚁从点 沿正方体表面爬行到点 ，则最短路程为 A． B． C． D． 2．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点），则 的最小值为 A． B． C． D． 3．矩形 中，，，将 沿对角线 折起，使点 到达点 ，且 在平面 外，则当三棱锥 的体积最大时，二面角 的大小为 A． B． C． D． 4．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点），则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 A． B． C． D． 5．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动，点 在面对角线 上运动，则线段 长度的最小值为 A． B． C． D． 6．已知圆锥 的底面半径为 ，母线长为 ，， 是底面圆周上的一对相对点（ 为直径）， 为母线 的中点，一只蚂蚁从点 沿圆锥侧面爬行到点 ，则最短路程为 A． B． C． D． 7．已知球 的半径为 ，， 是球面上的两个定点，动点 在球面上运动，且满足 ，则点 的轨迹的周长为 A． B． C． D． 8．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点），则 的面积的最小值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．正方体 的棱长为 ，点 在空间中运动，则下列结论正确的是 A．若 ，则 的轨迹是以 为球心、 为半径的球面 B．若 到直线 与直线 的距离相等，则 的轨迹是一条直线 C．若 到平面 与平面 的距离相等，则 的轨迹是一个平面 D．若 ，则 的轨迹是线段 的垂直平分面 10．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点），则下列结论正确的是 A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 面积的最小值为 D． 的最小值为 11．正方体 的棱长为 ，点 在线段 上运动（含端点），则下列结论正确的是 A． 到直线 的距离的最小值为 B．对线段 上任意点 ，都有 C．三棱锥 的体积的最大值为 D． 的最大值为 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．长方体 中，，，，一只蚂蚁从点 沿长方体表面爬行到点 ，则最短路程为________。 13．正方体 的棱长为 ，点 在正方体表面上运动，且 ，则点 的轨迹的周长为________。 14．已知圆锥 的底面半径为 ，高为 ，圆柱内接于圆锥：圆柱的下底面在圆锥的底面内，上底面圆周在圆锥的侧面上。当圆柱的体积最大时，圆柱的体积为________。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点）。(1) 以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，设 ，将 表示为 的函数并求其最小值；(2) 设直线 与平面 所成的角为 ，求 的最大值，并写明取等条件。 16．正方体 的棱长为 ，动点 在正方体内部（含表面）运动，且满足 。(1) 判断动点 的轨迹形状，并求该轨迹的面积；(2) 求线段 长度的最大值与最小值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 届高三数学一轮复习培优专题 13　空间几何体中的动态问题 （详细解析版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本专题聚焦空间几何体中的动态问题，围绕“动点参数化求最值—表面展开最短路径—轨迹形状判定与截面—线面角与体积的最值”四条主线命制，共 16 题，全部为原创题或改编题，突出“建系—参数—函数—最值”的转化链条与展开、截面两大几何手段。建议先限时完成学生版，再逐题对照解析复盘。 方法导航 建系参数化法　建立空间直角坐标系，把动点坐标用一个参数表示（棱上动点、面对角线或体对角线上的动点都只需一个参数），目标量（距离、面积、角）化为参数的一元函数，再用单调性、对称性或求导求最值，并写清定义域与取等条件。 展开图法　求几何体表面动点与定点间的最短路径时，把经过的相邻表面展开到同一平面内，利用两点之间线段最短；圆锥、圆柱侧面分别展开为扇形、矩形，注意先由底面周长与母线长之比算出扇形圆心角。 轨迹判定法　抓住两条基本事实：到定点距离等于定值的点的轨迹是球面（限制在平面内为圆）；到两定点距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分面。把条件坐标化并平方作差，可得轨迹的平面或曲面方程。 截面分析法　轨迹面与几何体表面的交线即表面轨迹：逐棱检验端点是否满足轨迹方程，顺次连接截面顶点得多边形，再求周长或面积；截面形状由平面位置完全确定。 凸函数与端点法　距离与面积的平方常为参数的二次式或凸函数：凸函数在多边形区域上的最大值在顶点取得；单调函数的最值在端点取得；对称函数的最值在对称轴处取得，配合求导判定单调性。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．正方体 的棱长为 ，点 与 是一对相对顶点，一只蚂蚁从点 沿正方体表面爬行到点 ，则最短路程为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】蚂蚁沿表面爬行必经过相邻的两个面。将面 与面 展开到同一平面内：在展开图中， 到 为 ， 到 为 ， 到 的展开点 为 ，且 与 垂直，故 与 在两个方向上的距离分别为 与 。 由两点之间线段最短，最短路程为 。展开图中连线与棱 的交点落在棱 内部，说明该路径可以实际实现。 若改经其他相邻两面（如面 与面 ），由正方体的对称性路程同样为 ；而沿棱折线爬行的路程不小于 。故最短路程为 。故选 B。 【方法点睛】立体表面最短路径问题用展开图法：把动点经过的相邻表面展开到同一平面，转化为平面内两点之间线段最短。若路径可能跨三个面，需尝试不同展开方式并比较，取其中的最小值。 2．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点），则 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A　（难度：中档） 【解析】折线 跨越面 与面 。把面 绕棱 展开到面 所在平面内， 落到展开点 ，则 。 在展开图中， 与 的水平距离为 ，纵向距离为 ，由两点之间线段最短，。连线与棱 的交点在 内部，最小值可以取到。 故 的最小值为 。故选 A。 【方法点睛】求棱（或面）上动点与两定点距离之和的最小值：先判断折线跨过哪两个面，沿公共棱展开后用“两点之间线段最短”；若连线与动点所在的棱相交，则最小值可取，否则最小值在端点取得。 3．矩形 中，，，将 沿对角线 折起，使点 到达点 ，且 在平面 外，则当三棱锥 的体积最大时，二面角 的大小为 A． B． C． D． 【答案】D　（难度：中档） 【解析】折叠过程中， 与 的长度不变，点 到直线 的距离 保持不变， 即折叠前点 到直线 的距离。以 为原点、 为 轴、 为 轴，则 ，，，直线 的方程为 ，故 。 设二面角 的平面角为 ，则三棱锥 的高为 ，体积 。 为定值，故 ，即平面 与平面 垂直时体积最大。 故二面角 的大小为 。故选 D。 【方法点睛】折叠问题抓住“不变量”：折叠前后落在同一半平面内的边长、点到折痕的距离都不变。三棱锥体积最值常化为“高最大”，高由动点到折痕的距离与二面角的正弦共同决定，二面角为直二面角时高最大。 4．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点），则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，设 ，，则 ，。向量 ，其竖直分量为 ，模为 。 平面 的一个法向量为 。设直线 与平面 所成角为 ，则 。令 ，则 ，考察 ，其导数为 ，故 在 上单调递增。 故 （即 ，点 与 重合）时 取得最大值 。故选 B。 【方法点睛】线面角的参数化：建系后把斜线段的“竖直分量”与“总长度”都写成参数的函数， 即二者之比；对平方后的式子求导判定单调性，注意最大值可能取在区间端点。 5．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动，点 在面对角线 上运动，则线段 长度的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，。设 （），（）。 。三项分别处理： 在 时取最小值 ； 在 时取最小值 。 故 的最小值为 ，此时 与 重合， 为 的中点， 的最小值为 ，这正是异面直线 与 的公垂线段长。故选 C。 【方法点睛】两条异面直线上动点距离的最小值即公垂线段长：建系把两点坐标都用参数表示，距离平方是二元二次式，分别配方（或求偏导）即得最小值与取等位置。 6．已知圆锥 的底面半径为 ，母线长为 ，， 是底面圆周上的一对相对点（ 为直径）， 为母线 的中点，一只蚂蚁从点 沿圆锥侧面爬行到点 ，则最短路程为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】将圆锥侧面沿母线 剪开并展开成扇形，扇形半径为母线长 ，圆心角为 。， 是底面圆的一对相对点，弧 的长为半圆周 ，对应展开扇形中的圆心角 ，故 在扇形中位于与 成 角的半径上，且 。 蚂蚁在侧面上的路径展开后对应扇形内连接 与 的曲线，其长度不小于线段 ；而线段 完全落在扇形内部（圆心角 小于 ），可以还原为侧面上的一条路径。由余弦定理： 故 ，最短路程为 。故选 B。 【方法点睛】圆锥侧面上的最短路径：先展开求扇形圆心角（底面周长除以母线长再乘 ），再确定两点在展开图中的位置，用余弦定理求线段长；若连线越出扇形边界，则需分多段展开比较。 7．已知球 的半径为 ，， 是球面上的两个定点，动点 在球面上运动，且满足 ，则点 的轨迹的周长为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】 在球面上且 ，故 在线段 的垂直平分面 内。由 ，球心 到 ， 的距离相等，故 也在垂直平分面 内，即 过球心。 过球心的平面截球面所得的截线为大圆，半径等于球的半径 ，故轨迹是半径为 的大圆，周长为 。条件中 ， 的具体位置只影响大圆的方位，不影响其大小。故选 C。 【方法点睛】球面上到两定点（均在球面上）距离相等的点的轨迹是过球心的大圆：垂直平分面必过球心。轨迹判定抓两条基本事实：到定点距离为定值是球面（或圆），到两定点等距是垂直平分面。 8．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点），则 的面积的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，（），故 ，。 的面积 。计算叉积得 ，故 。 当 （ 与 重合）时 取最小值 ， 的最小值为 ；当 （ 与 重合）时 为最大。故面积的最小值为 。故选 C。 【方法点睛】动点三角形的面积最值：建系后用向量叉积把面积表示为参数的函数，叉积模的平方是参数的二次式，配方即得最值与取等位置，无需真的画出三角形。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．正方体 的棱长为 ，点 在空间中运动，则下列结论正确的是 A．若 ，则 的轨迹是以 为球心、 为半径的球面 B．若 到直线 与直线 的距离相等，则 的轨迹是一条直线 C．若 到平面 与平面 的距离相等，则 的轨迹是一个平面 D．若 ，则 的轨迹是线段 的垂直平分面 【答案】ACD　（难度：中档） 【解析】A：到定点 的距离等于定长 的点的轨迹是以 为球心、 为半径的球面，A 正确。 B：以 为原点、，， 为 ，， 轴建系， 到直线 （ 轴）的距离为 ，到直线 （ 轴）的距离为 。距离相等等价于 ，即 或 ，轨迹是两个平面，不是一条直线，B 错误。 C：到两个平行平面距离相等的点构成与它们平行且等距的中间平面，C 正确。D： 表示 到两定点 ， 距离相等，轨迹为线段 的垂直平分面，D 正确。故选 ACD。 选项 A．空间中到定点距离为定长的轨迹是球面，正确。 选项 B．距离相等化简得 ，解得 或 ，是两个平面，错误。 选项 C．平行平面 与 的等距点集为平面 ，正确。 选项 D．到两定点等距的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分面，正确。 【易错警示】“到两条相交直线距离相等”在平面内是两条角平分线，推广到空间是两个平分平面，容易漏掉 那一支；判定轨迹时应先把条件代数化，再逐一检验是否需要拆分或排除。 10．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点），则下列结论正确的是 A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 面积的最小值为 D． 的最小值为 【答案】ABC　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点、，， 为 ，， 轴建系，则 （），，故 ，。 对 A，D：，， 在 上单调递增，最小值在端点 （ 与 重合）处取得，为 。A 正确，D 错误。 对 B：，最小值 在 处取得，B 正确。对 C：，，，，在 处取最小值 ，C 正确。故选 ABC。 选项 A．， 递增，最小值 ，正确。 选项 B．，最小值 ，正确。 选项 C．，，最小值 ，正确。 选项 D．最小值为 ，而 ，错误。 【方法点睛】“距离和”型函数若每一项都同向单调，则最值在端点取得，不必强求对称展开；先判断单调性、再直接比较端点值，是处理 上参数函数最值的通用流程。 11．正方体 的棱长为 ，点 在线段 上运动（含端点），则下列结论正确的是 A． 到直线 的距离的最小值为 B．对线段 上任意点 ，都有 C．三棱锥 的体积的最大值为 D． 的最大值为 【答案】ABD　（难度：较难） 【解析】以 为原点、，， 为 ，， 轴建系，则 ，。设 ，。 A： 到直线 （ 轴）的距离为 ，其平方 在 处取最小值 ，故距离最小值为 ，A 正确。 B：，，数量积 恒成立，故 ，B 正确。C：三棱锥 的底面积 ，高为 的竖坐标 ，体积 ，最大值为 （， 与 重合），C 错误。 D：，，故 ，当且仅当 时取等，D 正确。故选 ABD。 选项 A． 的平方配方为 ，最小距离 ，正确。 选项 B．数量积 恒成立，垂直与参数 无关，正确。 选项 C．体积最大值为 ，不是 ，错误。 选项 D．，当且仅当 取等，正确。 【方法点睛】体对角线上的动点统一参数化：，，所有目标量化为 的函数。 型乘积最值用二次函数配方法，并检查取等点落在参数范围内。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．长方体 中，，，，一只蚂蚁从点 沿长方体表面爬行到点 ，则最短路程为________。 【答案】　（难度：中档） 【解析】最短路径必跨过相邻的两个面，本质不同的展开方式有三种：展开后 与 在一个方向上的总跨度为两条棱长之和，另一方向距离为第三条棱长。 三种展开方式对应：；；。 比较得最小值为 ，对应把面 与面 沿棱 展开，此时展开图中的连线与棱 相交，路径可以实现。故填 。 【方法点睛】长方体表面最短路径要比较三种展开：取两条棱长之和作为总跨度、第三条棱长作为另一方向距离，计算 的三个值取最小；一般让最长的棱单独作“另一方向距离”时结果最优。 13．正方体 的棱长为 ，点 在正方体表面上运动，且 ，则点 的轨迹的周长为________。 【答案】　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点、，， 为 ，， 轴建系，则 ，。设 ， 等价于 ，即 ，化简得 ，轨迹是全空间中的平面 与正方体表面的交线。 平面 截正方体的顶点为 ，，，，其中 落在面 内， 落在面 内， 落在面 内， 落在面 内，故表面轨迹就是矩形 。 矩形边长为 ，，周长为 。故填 。 【方法点睛】表面轨迹问题先在全空间求轨迹（平面或球面），再用截面法找它与几何体表面的交线：逐棱检验端点是否满足轨迹方程，顺次连接截面顶点即得多边形，最后算周长或面积。 14．已知圆锥 的底面半径为 ，高为 ，圆柱内接于圆锥：圆柱的下底面在圆锥的底面内，上底面圆周在圆锥的侧面上。当圆柱的体积最大时，圆柱的体积为________。 【答案】　（难度：较难） 【解析】设圆柱底面半径为 （），高为 。作轴截面，由相似三角形：高为 的小圆锥底面半径为 ，故 ，解得 。 圆柱体积 ，。求导：，令 得 。 当 时 ，当 时 ，故 时体积最大，此时 ，。故填 。 【方法点睛】内接几何体的最值：选一个参数（如内接圆柱底面半径 ）表示所有量，借助轴截面相似把高写成 的函数，对体积多项式求导，由导数变号确定最大值点，回代求体积并检查定义域。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．正方体 的棱长为 ，点 在棱 上运动（含端点）。(1) 以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，设 ，将 表示为 的函数并求其最小值；(2) 设直线 与平面 所成的角为 ，求 的最大值，并写明取等条件。 【答案】(1) （），最小值为 ；(2) 的最大值为 ，当 与 重合时取得　（难度：中档偏难） 【解析】(1) 以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，。点 在棱 上，设 ，。 ，，故 ，定义域为 。 由 ， 的图象关于直线 对称。当 时， 且 ，故 ， 在 上单调递减；由对称性， 在 上单调递增。故最小值为 ，当 （ 为 的中点）时取得。 (2) ，。取平面 的法向量 ，则 ，从而 ，。 当且仅当 ，即 与 重合时， 取得最大值 ，此时 。故 的最大值为 ，取等条件为 与 重合。 【方法点睛】空间动态问题的解答题规范流程：建系—设参数并写明范围—把目标量化为参数函数—利用对称性与单调性（或求导）求最值—写清定义域与取等条件。线面角用向量法时先求 ，再转正切，可避免分类讨论。 16．正方体 的棱长为 ，动点 在正方体内部（含表面）运动，且满足 。(1) 判断动点 的轨迹形状，并求该轨迹的面积；(2) 求线段 长度的最大值与最小值。 【答案】(1) 轨迹是正六边形（正方体六条棱的中点连线），边长为 ，面积为 ；(2) 的最大值为 ，最小值为 　（难度：较难） 【解析】(1) 以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，。设 ，由 得 ，化简得 ，即轨迹是线段 的垂直平分面与正方体的公共部分。 正方体八个顶点坐标之和： 为 ，，， 均为 ，，， 均为 ， 为 。平面 恰好夹在“和为 ”与“和为 ”两层顶点之间，与连接这两层顶点的六条棱各交于中点，故截面是正六边形，其顶点为棱 ，，，，， 的中点。 该六边形的边长为 ，故其面积为 。 (2) 记六个顶点为 ，，，，，。 是凸函数，在凸六边形上的最大值必在顶点处取得：各顶点到 的距离依次为 ，，，，，，故 的最大值为 。 最小值的求法： 到轨迹平面的距离为 ，但垂足为 ，其 坐标超过 ，落在六边形外，故最小值在边界上取得。逐边检验：边 上（，，）有 ，在 处取最小值 ；其余五条边上的最小值分别为 ，，，，，均大于 。故 的最小值为 ，在 处取得。 综上：轨迹面积为 ； 的最大值为 ，最小值为 。 【方法点睛】等距条件化简出轨迹平面后，逐棱代入求截面顶点；截面上动点到定点距离的最值：平方后是凸二次函数，最大值在多边形顶点处取得，最小值先看垂足是否落在截面内，不在则到边界上逐边求取。 专题结语 空间动态问题的核心是把“动”化为“参”：棱与对角线上的动点一个参数即可，轨迹问题先化简条件方程再看它与几何体的交线，表面最短路径则回到展开图。复盘时优先重温第 1、5、12、13、15 题，体会展开图法、公垂线段法与参数化求最值的完整流程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $