7.5 几何法解决夹角与距离训练-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦几何法解决空间角与距离，通过多面体、旋转体及翻折模型，系统训练异面直线所成角、线面角、二面角的求解，强化空间观念与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间角计算|14题（如第1、2、7题）|涵盖异面直线所成角、线面角、二面角，涉及正四面体、圆锥、翻折模型|从定义出发，通过平移、作射影、构平面角等方法，结合几何体结构特征推导计算| |综合应用|5题（如第16、19题）|证明与计算结合，含存在性问题|以线面垂直等判定为基础，整合空间角求解与体积、侧面积计算，体现知识应用的逻辑链条|

7.5 几何法解决夹角与距离（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·四川成都·阶段检测）在正四面体中，异面直线，所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·甘肃白银·期末）如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·河北·阶段检测）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 5．（25-26高三·内蒙古包头·阶段检测）已知长方体中，，，则二面角所成平面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·湖南长沙·期末）在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南昭通·模拟预测）将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）已知正方体，则（    ） A．平面 B． C．直线与直线所成的角的大小为 D．直线与平面所成的角的大小为 10．（25-26高三·陕西汉中·期末）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．直线与是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．平面与平面所成的锐二面角为 11．（25-26高三·吉林延边·期末）如图，直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则（     ） A．平面平面 B．若时， C．当时，直线与平面所成角为 D．二面角的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·湖北襄阳·期末）如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 13．（25-26高三·广东珠海·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是________. 14．（26-27高三上·北京房山·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为______，侧面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·贵州·阶段检测）如图，已知三棱柱的侧面是长方形．底面是等腰直角三角形且是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 16．（2026高三·全国·专题练习）四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与面所成的角； (3)平面与平面所成锐二面角的正切值． 17．（25-26高三·江西南昌·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点.    (1)求证：； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 18．（25-26高三·四川泸州·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为2，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 19．（25-26高三·福建福州·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5 几何法解决夹角与距离（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·四川成都·阶段检测）在正四面体中，异面直线，所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得. 【详解】如图所示， 取的中点，连接，易知、都是正三角形， 所以，. 因为，且平面， 所以平面. 又平面，所以， 故异面直线与所成角的大小为. 2．（25-26高三·甘肃白银·期末）如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点H，则即为与平面所成的角，即可求解． 【详解】取的中点H，连接，则． 因为平面，平面，所以． 又平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，，， 则． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面积公式可得结果. 【详解】设上底面和下底面的半径分别为，则,, 点在底面的射影点为，有面 ， 则，且，   则，即圆台的高为，则圆台的母线长， 则侧面积 . 4．（25-26高三·河北·阶段检测）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分别取，中点，，可证为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形的各顶角，结合余弦定理可得. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 5．（25-26高三·内蒙古包头·阶段检测）已知长方体中，，，则二面角所成平面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二面角平面角的定义得到为二面角的平面角，然后计算即可. 【详解】如图，取中点，连接， 根据长方体的性质和可得，，， 所以，， 又平面，平面， 所以为二面角的平面角， 则，，， 所以. 6．（25-26高三·湖南长沙·期末）在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，可证得二面角的平面角为进行求解即可． 【详解】如图所示： 取的中点，连接，因为平面，平面， 所以， 因为，为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为 所以， 因为，所以， 因为二面角为锐二面角，所以， 故二面角的大小为． 7．（2026·云南昭通·模拟预测）将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出二面角的平面角及异面直线与的夹角，再根据余弦定理即可求解． 【详解】取的中点，连接，， 因为四边形是正方形，所以，， 又，平面，平面，平面平面, 所以为二面角的平面角，且， 取，的中点、，连接，，，则，， 所以或其补角是异面直线与的夹角， 设，则，，， 在中， 由余弦定理得，，解得， 又因为，为中点，所以，， 在中，， 在中，由余弦定理可得，． 即异面直线AB与CD的夹角余弦值为． 8．（25-26高三·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，利用正弦定理求得，则，.在翻折后的立体图形中，根据定义作出二面角的平面角，以及直线与平面所成的角，利用边长关系可求得. 【详解】在平行四边形中，，，， 在中，根据正弦定理，，即， 解得，所以，即，则，且. 翻折后，如图，分别取的中点，连接， 则，所以，故是二面角的平面角，即， 过点作于点，连接， 由，，平面，平面，可得平面， 因为平面，所以， 又，平面，平面，可得平面. 所以是直线与平面所成的角. 在中，，，则， 在中，，，则， 因为是锐角，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）已知正方体，则（    ） A．平面 B． C．直线与直线所成的角的大小为 D．直线与平面所成的角的大小为 【答案】ABD 【分析】A.通过证明线线平行，得到线面平行；B.通过线面垂直证明线线垂直；C.利用线线平行，转化为直线与直线所成的角求解；D.利用线面角的定义找到线面角求解. 【详解】选项 A，在正方体中：，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， A 正确； 选项 B，连接，正方形中，， 又平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，故，B 正确； 选项 C，正方体中，异面直线夹角等价于与夹角， 连接，三边都是正方体面对角线，所以为等边三角形， 所以，直线与直线所成的角的大小为，C 错误； 选项 D，因为底面，所以是直线与平面所成角， 正方形中，为等腰直角三角形，， 所以直线与平面所成角为，D 正确. 10．（25-26高三·陕西汉中·期末）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．直线与是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．平面与平面所成的锐二面角为 【答案】BD 【分析】对于A，根据异面直线的定义判断即可；对于B，根据等体积法判断即可；对于C，根据线面角的几何求法求解即可；对于D，根据二面角的定义判断即可. 【详解】对于A，正方体中，. 又是线段上的动点，当为与的交点时，，此时不是异面直线，A错误. 对于B，正方体中，平面平面， 又平面，所以平面， 因为是线段上的动点，所以到平面的距离为定值（等于正方体棱长2）， 又为定值，所以为定值，B正确. 对于C，正方体中，平面， 连接，则即为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 在中，，所以当最小时，最大. 又，即取最小值. 正方形中，，所以当为与的交点时，最小，此时. 所以，C错误. 对于D，正方体中，是线段上的动点，则平面与平面为同一平面. 则平面与平面所成的锐二面角即为平面与平面所成的锐二面角， 易知平面与平面所成的锐二面角为， 所以平面与平面所成的锐二面角为，D正确. 11．（25-26高三·吉林延边·期末）如图，直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则（     ） A．平面平面 B．若时， C．当时，直线与平面所成角为 D．二面角的最小值为 【答案】BCD 【分析】由于平面，若平面平面，则平面与平面平行，但两者有公共点，从而判断A错误，当时，由线面垂直得平面，在直角三角形中用勾股定理计算可判断B，因为平面，线面角为，在中用余弦定理求，再在中求正切值得角度，可判断C，作，则二面角的平面角为，其正切等于，当最大为4时取得最小值，对应最小角为可判断D． 【详解】由已知，，，，为中点， 所以,所以四边形是矩形， 所以，由折叠可知，，因为， 所以平面，因为四边形是矩形,所以， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 因为，若平面平面，则平面平面，这与平面平面矛盾，所以A错误； 如图，连接，因为，，，所以平面， 因为，所以， 因为，所以，所以B正确； 因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为，所以在中，根据余弦定理，， 所以， 所以，因为，所以，所以，所以C正确； 如图，由平面，所以，作，交于点，所以平面， 则，所以二面角的平面角是， ，满足的的最大长度为4，所以的最小值为1， 即二面角的最小值为，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·湖北襄阳·期末）如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 【答案】/ 【详解】连接，两者交于点，连接， 在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则， 故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角. 不妨设，易得，，， 在中，由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 13．（25-26高三·广东珠海·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是________. 【答案】/ 【分析】求出为直线与平面所成角，利用勾股定理求出，，在直角三角形中利用正弦公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值. 【详解】连接， 因为是正方体，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 设正方体边长为2，因为E，F分别为棱，的中点， 所以，，所以，， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值是. 14．（26-27高三上·北京房山·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为______，侧面积为______． 【答案】 / / 【分析】（1）通过取的中点，的中点，利用等腰三角形性质及二面角定义确定棱锥的高及顶点在底面的投影位置，进而求得体积；利用四棱锥的对称性得到，，然后利用余弦定理依次计算各侧面三角形的边长，进而求解四棱锥侧面面积即可. 【详解】取的中点，的中点，连接．作，垂足为. 因为，且为中线，所以， 又因为，，平面. 所以平面.所以为平面与平面的夹角的平面角， 即.又因为平面，所以. 又因为，，平面，所以平面. 所以即为四棱锥的高， 在中，， 在中，， 所以四棱锥体积为. 在中，由余弦定理， 由对称性可知，，， 在中，. 所以，三边长为， 所以，所以， 所以， 又因为， 所以侧面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·贵州·阶段检测）如图，已知三棱柱的侧面是长方形．底面是等腰直角三角形且是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)如图，设为的中点，连接， 因为四边形是矩形且为的中点， 所以，， 所以，则． 又因为，所以． 又因为平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）通过证明，证得平面． （2）利用等体积法求得点到平面的距离，进而求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）连接，由（1）知平面，平面， ，因为为的中点，所以． 又，所以，所以，所以， 所以，所以． 由题意可知， 设点到平面的距离为， 根据，解得． 记直线与平面所成角为，所以． 16．（2026高三·全国·专题练习）四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与面所成的角； (3)平面与平面所成锐二面角的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过B作，为与所成角或其补角，进而计算求解即可； （2）利用已知可得平面，进而得为与平面所成角，求解即可； （3）延长、交于一点M，连，过D作于点N，连接，可证为面与面所成二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）过B作，使，连接、，则为与所成角或其补角， 在中，得， 在中，得， 在中，在中， ． 所以与所成的角为． （2）由（1），，，平面， 平面，， 所以为与平面所成角， 在中，． （3）延长、交于一点M，连，则为面与面的交线， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 过D作于点N，连接，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为面与面所成二面角的平面角， 因为，，，所以， 又，又， 所以 在中，． 17．（25-26高三·江西南昌·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点.    (1)求证：； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)取的中点为，连接，由分别是棱的中点，    可得：，， 由正方体的性质可得：平面，， 所以可得：平面，， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以. (2) (3) 【分析】第一问，构造线面垂直；第二问通过平行关系，将异面直线所成角变成平面角，求解边长并求出余弦值；第三问，通过平行转化成求相同高度的锥体体积，再在同一个锥体中转换底面即可. 【详解】（1）略 （2）在线段上取一点，使得，    易证，所以为异面直线所成角，因为，，所以. （3），平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 则 ． 18．（25-26高三·四川泸州·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为2，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：如图所示，连接．               因为、分别为、中点，所以，      又因为平面，平面，所以平面． (2)证明：因为底面，底面，所以． 在正方形中，，              因为平面，所以平面，         又因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）利用以及线面平行的判定定理证明； （2）利用线面垂直的定义以及面面垂直的判定定理证明； （3）先求证即为二面角的平面角，再利用等体积思想计算点C到平面的距离即可计算. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为平面，平面，所以，，                            所以即为二面角的平面角，即；            因为正方形的边长为2，所以，，           因为底面，平面，所以， 又因为是的中点，所以在中， 则为等腰三角形，故；                   在中，； 设点C到平面的距离为h， 由，，得，        即为等腰三角形，底边上的高为， 所以；                          因为，所以， 由，得，得.                              设与平面所成角为，则，             即与平面所成角的正弦值为． 19．（25-26高三·福建福州·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)取中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面. (2) (3)存在点满足条件，且 【分析】（1）取中点，利用面面垂直的性质定理得到平面推出，结合已知，通过线面垂直判定定理证得平面； （2）依据线面角定义，由平面确定的射影得到线面角，再在直角三角形中利用对边比斜边求出该角的正弦值； （3）先计算相关线段长推证平面，取中点，找到二面角的平面角，设，在中运用余弦定理建立方程求解，舍去超出范围的解得到的长. 【详解】（1）略 （2）连接，因为平面，所以是在平面内的射影， 所以是直线与平面所成角， 因为，所以，又， 所以. （3）因为，，所以，所以， 由（1）平面，平面，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 取中点，连接，因为，所以，且， 因为，平面，所以平面， 假设线段上存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，且， 连接，由平面，可得， 所以就是二面角的平面角， 因为，为中点，，所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍）. 所以存在点满足条件，. 【点睛】 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $