第51讲解析几何范围与最值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

第51讲 解析几何范围与最值问题 几何不等式·函数值域·韦达与参数·新定义压轴 一、几何不等式路径 1. 焦半径的线性式. 椭圆 上点 到左焦点 ——一次函数！最大 、最小 直接读出. 2. 三角形面积的界. 一句话给 ；等周、等长条件同理在“顶点处”取最值. 3. 定义折返. 型最小值：把 折到准线距离，与定点距离相加即“点到直线的垂线段”. 【通法】焦半径=c/a·x+a,最大最小在顶点. 【通法】面积上界=bc,顶点取等. 【通法】定义折返,垂线段一把抓. 例1（解答·★★★★★） 已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍．（1）求椭圆的离心率；（2）若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求．（附：椭圆以点为切点的切线方程为） 【切入点】(1) （）：最大 、最小 ，比值 给 。 (2) 切线 ：，而 ，比值为 。 【关键】焦半径 是(1)(2)两问的共同引擎——比值式里 恰是它的 倍. 【答案】（1）；（2） 变式1（解答·★★★★★） 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，．（1）求C的方程；（2）过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）．（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）求面积的最大值． 【切入点】(1) 且 ：，，。 (2)(ⅰ) ：，；，直线 交 轴于 ，过定点 。 (ⅱ) （ 取等）。 【关键】面积最大值两段走：定点把三角形拆成“同底两条焦半径的竖直落差”， 的最大值由均值不等式（分母 ）一次收口. 【答案】（1）；（2）(ⅰ) 过定点 ；(ⅱ) 最大值 变式2（解答·★★★★☆） 已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1．（1）求E的方程：（2）过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 【切入点】(1) 通径一半 、：，，。 (2) 设 ，切线 ，相切判别式为零整理得 ； 同理。故 是 的两根：，， 取值范围 。 【关键】“切点横坐标视为二次方程的两根”是切线对的集体户口——两切线条件各写一遍， 就进了同一个韦达；面积只剩 的单调函数. 【答案】（1）；（2） 变式3（解答·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为点，点在抛物线上，，且的最小值为．（1）求抛物线的方程；（2）设点P不在坐标轴上，过P可作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，①证明：；②若直线，，直线AB与x轴相交于点H，求的最大值． 【切入点】(1) 在抛物线内侧： 折成“到准线距离 ”，最小值为 ，，。 (2)① 切点弦 ，与 联立（代入 ）：，。焦半径 ： ② 分 ：，，比值为 （ 取等）。 【关键】①切点弦韦达给 ，焦半径一乘恰好配出 ——定值 藏在乘法里；②“对勾函数” 型均值是比值上界的标准出口. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②最大值 二、函数值域路径 1. 距离的二次函数. 曲线上点 到定点距离平方，代入曲线方程消元后是单变量的二次式——对称轴与定义域比较，最大最小各归其位. 2. 含参曲线先定形. 距离最值反求参数：抛物线开口向下、对称轴在区间内——最值落在顶点还是端点要分拣. 3. 换元降元. 、 一类换元把无理式化成区间上的二次或三次函数，导数定界. 【通法】距离平方,消元成二次函数. 【通法】对称轴与定义域分拣最值. 【通法】换元去根号,导数定最值. 例2（解答·★★★★★） 已知椭圆，点到椭圆上点的距离的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若过定点的直线交椭圆于点，，设点，直线与直线交于直线上一点，求直线的方程. 【切入点】(1) （），对称轴 ，最大值 ，，。 (2) 设 ：，； 与 交于 给 ，展开为 ，求根公式代入：，， 【关键】(1) 是“距离平方→二次函数→对称轴”三步的标准样本；(2) 的条件落在斜率比 ，交点式消去 后只剩 ——求根公式硬桥不怕长，对称性保两解. 【答案】（1）；（2） 变式4（解答·★★★★★） 已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为．（1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 【切入点】(1) 、 关于 轴对称且等腰直角：，，。 (2) 切线 、 交于 （韦达 ，）； 在圆上给 。 令 ，：， 取最小 ， 取最大 。 【关键】两切线交点坐标是「韦达和的一半、积的负一半」的变体——，；角的正切用和角公式拼装，换元后就是区间上抛物线开方. 【答案】（1）；（2） 变式5（解答·★★★★★） 已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为．（1）求的方程；（2）若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 【切入点】(1) 最小距离即顶点到准线：，。 (2) 中点在 上：；，。令 ： 。 【关键】中点条件先折成 与 的关系，弦长与距离里的公共因子 一换元 就消失——三次函数求导，最大值自报家门. 【答案】（1）；（2）最大值 三、韦达与参数路径 1. 参数的界. 定比 、斜率 、截距 都是变量：条件翻译成 （或 ）的方程/不等式，用均值、对勾或二次函数求界. 2. 定值的顺流. 垂直、定值类条件先韦达化简成 的关系（如 ），再把它代入面积/弦长式——参数降成一元，范围自来. 3. 开闭的判定. 端点能否取到：看 是否允许、看对称轴位置、看极限方向——范围题的最后一分永远在端点. 【通法】条件韦达化,参数降一元. 【通法】定值关系先行代入. 【通法】端点逐个检验开闭. 例3（解答·★★★★★） 已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为．（1）求的方程；（2）证明：；（3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 【切入点】(1) ，：，。 (2) 联立 ：韦达代入 ： (3) ； 代入曲线给 ，。 【关键】(2) 垂直条件韦达化后分子恰好整除—— 是全题的枢纽；(3) 中点向量式 让 直接落进曲线，面积化成 的函数， 时不取到，右端开. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 变式6（解答·★★★★★） 已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，若，当时，求弦长的取值范围． 【切入点】(1) ，过 ：，。 (2) 联立：，。定比给 ： ，令 ： 递增，取值范围 。 【关键】定比不动点 的翻译： 后「和方与积之比」把 与 缝合；对勾函数 给 的界，弦长再换成 单调读数. 【答案】（1）；（2） 变式7（解答·★★★★★） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，直线过分别交于，两点（与轴不垂直），为线段（不含端点）上任一点，射线与交于点．若，求的最小值． 【切入点】：； 给 在 上：。 取等。 【关键】两条弦长“同源不同母”——分母 与 互为镜像；乘一个除一个凑均值不等式（常数 是配出来的戏台）， 对称取等. 【答案】最小值 四、新定义压轴收编 1. 新定义降维. 特征三角形、相似比、 运算等新名词，先翻译成 或坐标的旧关系，再按圆锥曲线的常规方法处理. 2. 迭代构造. 点列构造型：算出 与 坐标的线性变换， 的等比性由变换矩阵的特征方向读出. 3. 最值收口. 新定义最终都落到熟悉的最值模型：均值、对勾、导数——定义只负责换皮. 【通法】新定义翻译成旧关系. 【通法】迭代找线性变换. 【通法】最值模型认领:均值/对勾/导数. 例4（解答·★★★★★） 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为.（1）求的方程；（2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方.（i）求证：；（ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 【切入点】(1) 相似比 ：，，，。 (2)(ⅰ) ，直线 与 的交点纵坐标和相同： 给 ， 给 ——两弦中点重合，、 同侧，。 (ii) 取 中点 ：；，： 【关键】(ⅰ) 两相似椭圆同心，同一弦的纵坐标和相等——中点重合即“对称截段”；(ii) 中位线搬面积（）是定义图形里的免费礼物，最后仍是均值. 【答案】（1）；（2）(ⅰ) 证明见解析；(ⅱ) 最小值 变式8（解答·★★★★★） 对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记为依次作运算次的结果.（1）若，，求，以及；（2）请探究：对上任意四点，，，，的充要条件是什么？ 【切入点】过 平行于 的直线 与 交于 ：；平行于切线的直线 交出 ；继续平行 、 得 、、、——周期为 （），故 。 【关键】 运算的本质是「过 作平行弦」——椭圆的平行弦中点共直径， 恰是自身轨道的不动点，六步一圈；，余数定乾坤. 【答案】，， 变式9（解答·★★★★★） 已知双曲线（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上．（1）求的方程；（2）点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为．设，，求的最大值． 【切入点】(1) ，：。(2) 设 ，， 给 的轨迹 ——、 恰是其焦点：， 【关键】“渐近线上动点弦的中点”轨迹是椭圆（渐近线斜率 让 条件自然配方）——新定义面纱之下是第一定义加均值. 【答案】（1）；（2）最大值 变式10（解答·★★★★★） 已知曲线上的动点满足，其中，，抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点，，.（1）求曲线的方程和抛物线的方程；（2）点是抛物线上的动点，过点作曲线的两条切线分别与交于两点，求的面积的最小值及此时点的坐标. 【切入点】(1) ； 与 轴夹角 给 ，。 (2) 过 作圆的切线斜率 是 的两根：；准线 上 ： ：，求导零点 （），，。 【关键】两切线斜率是二次方程两根——斜率差、交点长、面积一路韦达；“面积平方”再去根号求导， 恰是驻点，答案与 自洽. 【答案】（1），；（2）最小值 ， 变式11（解答·★★★★★） 双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为．（1）求的方程；（2）按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为．证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式． 【切入点】(1) ，。 (2) 斜率 的直线过 ：，另一交点 ，（验证 ）；对称得 首项 ，：，， 【关键】迭代构造的钥匙是“另一交点坐标”——联立后韦达给和，一减一加恰是 的线性变换；等比性不用猜，变换矩阵摆在那里. 【答案】（1）；（2），，， 变式12（解答·★★★★★） 已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为．（1）求的方程；（2）若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于，两点．（ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值；（ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于，两点，的面积为，求点的坐标． 【切入点】(1) ，：，，（）。 (2)(ⅰ) ：，。 通分后分子分母的 一次项相消（分母为 ，约尽得定值 。 (ⅱ) （ 在 上、横坐标同 ），， 给 ； 的允许范围 掐掉 ，，。 【关键】(ⅰ) 通分约尽是定值的代数面孔；(ⅱ) 面积方程两根 ——但 、 都在右支给 的禁区，负根出界即舍：范围题的根，必须在允许范围里过安检. 【答案】（1）；（2）(ⅰ) 定值 ；(ⅱ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第51讲 解析几何范围与最值问题 几何不等式·函数值域·韦达与参数·新定义压轴 一、几何不等式路径 1. 焦半径的线性式. 椭圆 上点 到左焦点 ——一次函数！最大 、最小 直接读出. 2. 三角形面积的界. 一句话给 ；等周、等长条件同理在“顶点处”取最值. 3. 定义折返. 型最小值：把 折到准线距离，与定点距离相加即“点到直线的垂线段”. 例1（解答·★★★★★） 已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍．（1）求椭圆的离心率；（2）若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求．（附：椭圆以点为切点的切线方程为） 变式1（解答·★★★★★） 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，．（1）求C的方程；（2）过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）．（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）求面积的最大值． 变式2（解答·★★★★☆） 已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1．（1）求E的方程：（2）过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 变式3（解答·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为点，点在抛物线上，，且的最小值为．（1）求抛物线的方程；（2）设点P不在坐标轴上，过P可作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，①证明：；②若直线，，直线AB与x轴相交于点H，求的最大值． 二、函数值域路径 1. 距离的二次函数. 曲线上点 到定点距离平方，代入曲线方程消元后是单变量的二次式——对称轴与定义域比较，最大最小各归其位. 2. 含参曲线先定形. 距离最值反求参数：抛物线开口向下、对称轴在区间内——最值落在顶点还是端点要分拣. 3. 换元降元. 、 一类换元把无理式化成区间上的二次或三次函数，导数定界. 例2（解答·★★★★★） 已知椭圆，点到椭圆上点的距离的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若过定点的直线交椭圆于点，，设点，直线与直线交于直线上一点，求直线的方程. 变式4（解答·★★★★★） 已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为．（1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 变式5（解答·★★★★★） 已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为．（1）求的方程；（2）若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 三、韦达与参数路径 1. 参数的界. 定比 、斜率 、截距 都是变量：条件翻译成 （或 ）的方程/不等式，用均值、对勾或二次函数求界. 2. 定值的顺流. 垂直、定值类条件先韦达化简成 的关系（如 ），再把它代入面积/弦长式——参数降成一元，范围自来. 3. 开闭的判定. 端点能否取到：看 是否允许、看对称轴位置、看极限方向——范围题的最后一分永远在端点. 例3（解答·★★★★★） 已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为．（1）求的方程；（2）证明：；（3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 变式6（解答·★★★★★） 已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，若，当时，求弦长的取值范围． 变式7（解答·★★★★★） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，直线过分别交于，两点（与轴不垂直），为线段（不含端点）上任一点，射线与交于点．若，求的最小值． 四、新定义压轴收编 1. 新定义降维. 特征三角形、相似比、 运算等新名词，先翻译成 或坐标的旧关系，再按圆锥曲线的常规方法处理. 2. 迭代构造. 点列构造型：算出 与 坐标的线性变换， 的等比性由变换矩阵的特征方向读出. 3. 最值收口. 新定义最终都落到熟悉的最值模型：均值、对勾、导数——定义只负责换皮. 例4（解答·★★★★★） 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为.（1）求的方程；（2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方.（i）求证：；（ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 变式8（解答·★★★★★） 对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记为依次作运算次的结果.（1）若，，求，以及；（2）请探究：对上任意四点，，，，的充要条件是什么？ 变式9（解答·★★★★★） 已知双曲线（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上．（1）求的方程；（2）点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为．设，，求的最大值． 变式10（解答·★★★★★） 已知曲线上的动点满足，其中，，抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点，，.（1）求曲线的方程和抛物线的方程；（2）点是抛物线上的动点，过点作曲线的两条切线分别与交于两点，求的面积的最小值及此时点的坐标. 变式11（解答·★★★★★） 双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为．（1）求的方程；（2）按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为．证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式． 变式12（解答·★★★★★） 已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为．（1）求的方程；（2）若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于，两点．（ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值；（ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于，两点，的面积为，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $