解析几何：斜率相关的定值问题、面积相关的定值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 解析几何：斜率相关的定值问题、面积相关的定值问题专项训练 考点目录 斜率相关的定值问题 面积相关的定值问题 考点一 斜率相关的定值问题 例1．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知椭圆：，则称椭圆：（且）是椭圆的等比缩放椭圆．若椭圆的短轴长为，离心率为，椭圆是椭圆的等比缩放椭圆，点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点． (1)求椭圆的方程； (2)当时，设直线与椭圆交于点，，线段中点为，直线与椭圆交于点，，线段中点为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)由（1）得椭圆的方程为， 令得，即，. 设点，则，所以. 设，， 则，所以. 直线：，联立 消得. 设，，则， 所以，. 所以. 同理，，将代入得. 所以，所以得证． 【分析】（1）利用椭圆的短轴长和离心率可求得椭圆的方程，再利用等比缩放椭圆的定义即可求椭圆的方程. （2）由点在椭圆上可得直线与的斜率关系，再设直线方程，联立椭圆的方程可计算点的坐标，即可得，同理可得，从而可计算的值. 【详解】（1）由题知 解得，所以C的方程为. 所以椭圆的方程为，即． （2）略 例2．（25-26高三上·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； （ii）求直线的斜率的最小值． 【答案】(1) (2)（i）设，则， 所以， 由，知 故， 故为定值． （ii） 【分析】（1）由及点在椭圆上进行求解； （2）（ⅰ）设，则由及平面向量的坐标运算进行求解； （ⅱ）由直线与椭圆方程联立，结合韦达定理得点的坐标，再求出，利用基本不等式求解． 【详解】（1）由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点，故， 所以椭圆，代入，解得， 故椭圆的方程为 （2）（i）略 （ii）由（i）可知直线，直线； 联立，整理得：， . 故由韦达定理. 联立，整理得：， ， 故由韦达定理. 故， ， 故. 当且仅当时取等号； 此时，故在椭圆内成立； 综上所述：直线的斜率的最小值为． 例3．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，坐标为或. 【分析】（1）根据已知结合椭圆定义计算得出进而得出椭圆方程. （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，再利用斜率公式计算即可得定值. 【详解】（1）圆：的圆心，半径， 由线段的中垂线与交于点，得， 则， 因此点Q的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以曲线的方程为. （2）设直线l的方程为，点， 由消去并整理得， 则，， ， 直线的斜率分别为，因此 ， 由，得，当时，为定值， 当时，为定值， 所以在轴上存在定点，使得直线的斜率之积为定值，坐标为或. 变式1．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知椭圆分别为右顶点和上顶点. (1)若，离心率，求该条件下椭圆的标准方程. (2)过点作直线交椭圆于两点（点在点的右侧）连接，记直线的斜率为. （i）证明为定值.（用表示） （ii）若，直线交轴于，记的面积为的面积为，当时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) （i）由题意作如图：设直线方程：，联立方程 得：， 即 故 又有 故为定值. （ii）. 【分析】（1）由离心率公式及求出，从而得到椭圆方程. （2）（i）设过点的直线方程，与椭圆联立后利用韦达定理表示交点横坐标的和与积，再把的斜率倒数和化简，证明其为定值. （2）（ii）在时设直线的参数式形式，与椭圆联立，利用韦达定理表示交点坐标，再根据面积比建立方程，解出参数，进而求出直线的斜率. 【详解】（1）， 所以椭圆方程为 （2）（i）略 （ii）时，椭圆方程为. 直线过点，设其方程为， 令，则，代入椭圆方程， . ， 设对应的纵坐标为 故，设. 在中 在中， 根据坐标面积公式： . ， 代入并化简得 展开整理得：. 观察是该方程的一个实根， ，，. ，直线的斜率为. 变式2．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）是定值 【分析】利用已知条件求出标准方程，借助参数表示出所求内容并进行求解. 【详解】（1）将代入椭圆方程得，解得， 由离心率，所以， 所以，解得， 所以的标准方程； （2）（i）设， 联立，消去得：， 由韦达定理得，， 因为为的中点，所以， ，所以的坐标为； （ii）是定值，推导如下，， 设， 的外接圆方程设为，其中， 因为D在圆上，所以， 所以的外接圆方程为， 联立得 得， 所以 解得， 故， 所以，故是定值. 变式3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为2，，分别是的左、右顶点，为坐标原点，的中点为，过点的直线与交于，两点. (1)当轴时，求. (2)若，且直线的斜率大于0， （i）求的方程； （ii）证明：直线与的斜率之比为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明：由（i）知，，， 且，则， 则， . 所以直线与的斜率之比为定值3. 【分析】（1）根据题设可得，，结合轴求出，进而求解即可； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，可得，进而求解即可； （ii）由（i）得，则，进而代入求证即可. 【详解】（1）由题意，，，即， 则的中点为， 由于轴，将代入椭圆：， 则，解得，则， 即. （2）（i）由（1）知，，， 椭圆：， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则， 又， 由，则， 则， 则， 则， 则， 整理得，，即， 所以椭圆的方程为. （ii）略 考点二 面积相关的定值问题 例1．（24-25高三下·安徽·阶段检测）已知两条平行直线分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于两点，交的两条渐近线于两点，点都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)试判断四边形的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）利用双曲线的渐近线求出双曲线方程； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，求得，进而求出四边形的面积. 【详解】（1）由条件当且仅当与轴垂直时，，则， 所以，则双曲线的方程为. （2）当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 则消去得， ，所以. 设与轴交于点， 由及双曲线的对称性知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 联立， 则， 所以四边形的面积为定值. 例2．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，，则， 则直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得， 则，，而四边形的对角线互相垂直， 所以， 因为， ， 所以 所以， 所以四边形的面积为定值. 【分析】（1）根据椭圆性质及，，的关系联立即可求解； （2）运用坐标法与椭圆方程代入消元，由以及椭圆方程得，通过两点式求出直线、与坐标轴的交点、，利用对角线，将四边形面积转化为，借助椭圆方程消去二次项，化简即可求解面积. 【详解】（1）由题意可得，，所以. 因为，所以， 所以的方程为. （2）略 例3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，双曲线：（），右焦点坐标为，点是上任意一点． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)过点作：的两条切线，切点为C，D，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)双曲线的渐近线方程为，记，. 设点，由在上得，即. 过点与平行的直线方程为，与交于点， 联立，解得. 同理得，过点与平行的直线与的交点. 平行四边形的面积，其中为点到直线的距离， ， ， ∴ ，为定值，得证. (3) 【分析】（1）根据双曲线焦点坐标，结合的关系求解，即可得到双曲线方程. （2）求出双曲线渐近线方程，设点坐标，写出两条平行线方程，求解交点坐标后计算平行四边形面积，结合点在双曲线上化简得到定值. （3）利用导数写出抛物线切线方程，得到切点弦的方程，结合韦达定理求出弦长与点到直线的距离，写出面积表达式后结合双曲线方程转化为二次函数最值问题求解. 【详解】（1）由题意 ，且，∴ ， ∴ 的方程为. （2）略 （3）设，，抛物线即，导数， ∴ 过点的切线方程为，结合化简得. ∵ 点在切线上， ∴ ，同理， 即，∴直线的方程为， ∴ 是方程的两个实根， ∴ 即，且，. ∴ . 点到直线的距离. ∴ 的面积. ∵ 点在上，∴ ，代入得. 令，该函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为， ∴ ， ∴ . 【点睛】方法归纳： 1.定值问题需先引入变量构建表达式，再结合题目给定的约束关系消去变量得到固定结果； 2. 抛物线切点弦相关的面积问题，可通过切线方程归纳切点弦公式，结合韦达定理简化运算，最终转化为函数最值问题求解. 变式1．（2026·上海嘉定·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)或； (3)的面积为定值，该定值为. 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得或； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）利用点差法计算可得，设直线的方程为，联立椭圆方程并根据韦达定理可得，再根据弦长公式以及点到直线距离可得. 【详解】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. （3）根据题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据弦中点问题利用点差法表示出斜率关系，再根据弦长公式和韦达定理表示出面积公式，化简即可得出结论. 变式2．（25-26高三上·广西南宁·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明：如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ， 又 ， 因为点到直线的距离，且， 所以， 综上，的面积为定值. 【分析】（1）由题意可得，结合三角形面积公式计算可得，即可得； （2）联立直线与椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合面积公式与所给等式计算即可得解. 【详解】（1）根据题意，， 在椭圆上顶点，此时. 所以，则求椭圆的方程； （2）略 变式3．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 【答案】(1) (2) 证明：设，，则直线的斜率为，且，即， 因为，所以四边形是平行四边形，， 设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 所以， 因为， 所以， 整理得，即， 而点到直线的距离为， 所以四边形的面积，为定值． 【分析】（1）根据椭圆和圆的对称性可得，，再代入椭圆和圆的方程中，解方程组求出和的值即可； （2）设，，易知四边形是平行四边形，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式以及椭圆的方程，推出，再利用点到直线的距离公式，表示出四边形的面积，然后化简即可得定值． 【详解】（1）由对称性知，， 因为，，所以△是边长为1的等边三角形， 因为位于第一象限，所以,， 代入椭圆的方程有， 代入圆的方程有， 联立解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 解析几何：斜率相关的定值问题、面积相关的定值问题专项训练 考点目录 斜率相关的定值问题 面积相关的定值问题 考点一 斜率相关的定值问题 例1．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知椭圆：，则称椭圆：（且）是椭圆的等比缩放椭圆．若椭圆的短轴长为，离心率为，椭圆是椭圆的等比缩放椭圆，点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点． (1)求椭圆的方程； (2)当时，设直线与椭圆交于点，，线段中点为，直线与椭圆交于点，，线段中点为，证明：为定值． 例2．（25-26高三上·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； （ii）求直线的斜率的最小值． 例3．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知椭圆分别为右顶点和上顶点. (1)若，离心率，求该条件下椭圆的标准方程. (2)过点作直线交椭圆于两点（点在点的右侧）连接，记直线的斜率为. （i）证明为定值.（用表示） （ii）若，直线交轴于，记的面积为的面积为，当时，求直线的斜率. 变式2．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 变式3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为2，，分别是的左、右顶点，为坐标原点，的中点为，过点的直线与交于，两点. (1)当轴时，求. (2)若，且直线的斜率大于0， （i）求的方程； （ii）证明：直线与的斜率之比为定值. 考点二 面积相关的定值问题 例1．（24-25高三下·安徽·阶段检测）已知两条平行直线分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于两点，交的两条渐近线于两点，点都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)试判断四边形的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 例2．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 例3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，双曲线：（），右焦点坐标为，点是上任意一点． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)过点作：的两条切线，切点为C，D，求面积的最小值． 变式1．（2026·上海嘉定·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 变式2．（25-26高三上·广西南宁·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 变式3．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $