26.1 二次函数的概念&26.2 二次函数的图象和性质（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 √知识梳理 一般地，形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x 是自变量，a,b,c分别是函数解析式的 项系数、 项系数和 针对训练 1.下列各式中，y是x的二次函数的是 6.把下列二次函数化成一般形式，并指出 二次项系数、一次项系数和常数项： A)=+ (1)y=x(-2x+1)-x; B.y=ax2+bx+c (2)y=x2+(x-1)2. C.y=3x-1 D.y=2x2-2x+1 2.二次函数y=2x2一3x一1的二次项系数 与常数项的和是 ) A.1 B.-1 C.5 D.-4 3.一台机器原价为100万元，若每年的折 旧率是x,两年后这台机器约为y万元， 7.学校准备将一块长20m、宽14m的矩 则y与x之间的函数关系式为( 形绿地扩建，如果长和宽都增加xm,设 A.y=100(1-x) 增加的面积是ym2. B.y=100-x2 (1)y与x之间的函数关系式为 C.y=100(1+x)2 (2)若x=2,求y的值. D.y=100(1-x)2 4.若函数y=(a十1)xa+1是二次函数，则 a的值是 5.某校九(1)班共有x名学生，在毕业典 礼上，每两名学生都握一次手，共握手 y次，则y与x之间的函数关系式为 ,它（填“是”或 “不是”)二次函数. ·9 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 √知识梳理 ①一般地，抛物线y=ax2的对称轴是 ,顶点是 .当a>0时，抛物线的开 口向 ,顶点是抛物线的最 点；当a<0时，抛物线的开口向 ,顶点是抛 物线的最 点.a越大，抛物线的开口越 ②从二次函数y=ax2的图象可以看出：如果a>0,当x<0时，y随x的增大而 当x>0时，y随x的增大而 ;如果a<0,当x<0时，y随x的增大而 当x>0时，y随x的增大而 √针对训练 1.已知h关于1的函数关系式为= “>”“<”或“=”) 6.已知y=(m十2)x2是二次函数，且当 (t>0),则该函数的大致图象为( x>0时，y随x的增大而增大， (1)求m的取值范围； (2)选择一个合适的m的值，画出这个 函数的图象. 2.下列各点在二次函数y=3x2的图象上 的是 A.(3,3) B.(3,1) C.(1,3) D.(-1,-3) 3.下列关于函数y=一4x2的说法错误 的是 ( A.图象的对称轴是y轴 B.图象的顶点坐标是(0,0) C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.图象的开口向下 4.下列函数的图象中，开口最小的是( ) A.y=-x2 B.y=-2x2 C.y=3.x2 D.y=5.x2 5.已知抛物线y=ax2(a<0)过A(-3, y1),B(4,y2)两点，则y1y2.(填 ·10· 26.2.2二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 √知识梳理 ①抛物线y=ax2+k(a≠0)的对称轴是 ,顶点坐标是 .当a>0时，抛物线 的开口向 ,顶点是抛物线的最 点，当x=0时，y有最 值是 ;当a<0 时，抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点，当x=0时，y有最 值是 ②抛物线y=ax2十k可由y=ax2经过上下平移得到：当>0时，向 平移个单位 长度；当<0时，向 平移|个单位长度 针对训练 1.抛物线y=2x2一4的顶点坐标为( )6.将二次函数y=一x2的图象向上平移4 A.(2,0) B.(0,-2) 个单位长度 C.(-4,0) D.(0,-4) (1)写出平移后二次函数的解析式； 2.已知函数y=一x2十6，则该函数有( (2)在如图所示的平面直角坐标系中画 A.最小值0 B.最大值0 出平移后二次函数的图象， C.最小值6 D.最大值6 3.将抛物线y=x2一3向上平移3个单位 长度，所得抛物线对应的函数解析式为 2 ( ) 0 -5-4-3-21 12345x A.y=x2 B.y=x2-6 C.y=3x2-3 D.y=-3x2-3 4.与抛物线y=一石+3顶点相同，形状也 相同，开口方向相反的抛物线是( A.y=- -3 By 6x2+3 C.y-2-3 D.y=-6x2+3 5.若点(-号），(-)在二次函数 y=--1的图象上，则y y2 (填“>”“<”或“=”) ·11 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 √知识梳理 ①抛物线y=a(x一h)2的对称轴是直线 ,顶点坐标是 .若a>0,抛物线 的开口向 ,当x<h时，y随x的增大而 ,当x>h时，y随x的增大而 ;若a<0,抛物线的开口向，当x<h时，y随x的增大而 ，当 x>h时，y随x的增大而 ②抛物线y=a(x一h)2可由抛物线y=ax2经过左右平移得到：当h>0时，向平移 h个单位长度；当h<0时，向平移h个单位长度. 针对训练 1.抛物线y=一2(x十4)的对称轴是直线 5.在如图所示的平面直角坐标系中画出二 ( 次函数y=(x一2)2的图象，并解答下列 A.x=4 B.y=4 问题： C.x=-4 D.y=-4 (1)该二次函数图象的开口向 对称轴是直线 ,顶点坐标是 2.抛物线y=-5(x+2) 是由抛物线y= -5x2向 平移 个单位长度得 (2)它的图象与二次函数y=x2的图象 到的，则横线上应填 有什么关系？ A.上 B.下 2 C.左 司 D.右 3.下列关于二次函数y=3(x一3)2的说法 -4-20 246x 正确的是 A.它的图象经过点(0,3) B.它的图象的顶点坐标是(3,0) C.当x=0时，y有最大值为0 D.当x<0时，y随x的增大而增大 4.若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(-1,y3) 在抛物线y=a(x十1)2(a>0)上，则y1, y2,y3的大小关系是 .(用 “>”连接) ·12· 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 √知识梳理 ①一般地，抛物线y=a(x一h)2十k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上 (或向下)、向左（或向右）平移，可以得到抛物线y=a(x一h)2十k.平移的方向、距离要 根据 的值来决定 ②抛物线y=a(x一h)2+k有如下特点：(1)当a>0时，开口向 ;当a<0时，开口向 ;(2)对称轴是直线x=;(3)顶点坐标是 针对训练 1.二次函数y=3(x十2)2一1的图象是（ )6.已知抛物线y=a(x一h)2十k是由抛物 超 线y=一22先向上平移2个单位长 度，再向右平移1个单位长度得到的、 (1)直接写出a,h,k的值； 2.把抛物线y=x2向左平移2个单位长 (2)在同一平面直角坐标系中，画出y= 度，再向下平移3个单位长度，所得抛物 a(x-)2+及与y=一22的图象： 线的函数解析式是 (3)观察y=a(x一h)2十k的图象，当x A.y=(x+2)2-3B.y=(x+2)2+3 时，y随x的增大而增大 C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2 3.下列关于抛物线y=一2(x十1)2-5的 说法错误的是 A.开口向下 B.顶点坐标是（一1，-5） C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.对称轴是直线x=一1 4.已知二次函数的图象开口向下，顶点坐 标为(1,1)，则这个二次函数的解析式可 以是 .(写出一个 即可) 5.若A(-3,y),B(0,y2)是抛物线y=(x 1)2-1上的两点，则y1y2.(填 “>”“<”或“=”) ·13· 26.2.3二次函数y=ax2+bx十c的图象和性质 √知识梳理 0道t配方，可以将二次面教)yar+b虹十e化成y=a(红十会)+如。公.因觉，我物 Aa 线y=ax2十bx十c的对称轴是直线 ,顶点是 ⑧从二次函数y=ar十b虹十c的图象可以看出：如果a>0,当x<-易时，y随x的增大 2a 而 ,当x> 名时》随x的增大而 如果a<0,当x<二22时，y随2 的增大而 ,当x>- 时y随x的增大而 针对训练 1.用配方法将二次函数y=x2一8x一9化4.已知二次函数y=x2一4x十3. 为y=a(x一h)2十k的形式为( (1)将二次函数化成y=a(x一h)2十k的 A.y=(x-4)2+7 形式，并直接写出它的对称轴、顶点 B.y=(x-4)2-25 坐标及最值； C.y=(x+4)2+7 (2)画出函数的图象，并根据图象解答下 D.y=(x+4)2-25 列问题： 2.对于二次函数y=2x2一4x一3，下列说 ①当y>0时，自变量x的取值范围 是 法正确的是 ( ②当0<x<4时，y的取值范围是 A.图象的开口向下 B.图象的对称轴是直线x=一1 1V C.当x=1时，函数有最小值一3 D.当x<1时，y随x的增大而减小 3.将抛物线y=一x2-6x十5向上平移2个 单位长度，再向右平移1个单位长度后， 得到的抛物线的函数解析式为() A.y=-(x-4)2+16 B.y=-(x+1)2+15 C.y=-(x+4)2+12 D.y=-(x+2)2+16 ·14·第2课时用公式法解一元二次方程 针对训练 1.C 2.解：(1)a=1,b=-1,c=-3,△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0..方 程有两个不相等的实数根.工=二b士一延_1生压，即1十区，= 2a 2 2 -厘.(2)：a=2,6=-6c=是∴4=-4ac=(-5-4X2X是=0.方程 2 有两个相等的实数根.六=一品-（9)方程化为r-3z十18=0“a=16 =一3，c=18,∴.△=-4ac=(-3)2-4×1×18=-63<0..方程无实数根. 25.2.3因式分解法 知识梳理 00降次 针对训练 1.A2.D 3.解：(1)左边因式分解得x(2x-3)=0.∴z=0,或2z-3=0.西=0,4=是 (2)左边因式分解，得(2x一3)=0.∴2x-3=0.∴4=a=号.(3)移项，得x(2-3x） 十3.x-2=0.左边因式分解，得(3x一2)(-x+1)=0..3x-2=0,或-x十1=0..x1 2 x2=1. 4.解：(1)乙原方程常数项移项时未变号(2).a=1,b=4,c=3,,∴.△=b一4ac=42 -4X1X3=4>0.小方程有两个不相等的实数根=-生公匹=生，甲 2a x1=-1,x2=-3. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 针对训练 1.B2.D3.B4.435.28 6.解：(1)x1十x2=-7,x1x2=6.(2)整理，得x2-√2x-3=0..x1十x2=√2，x1x2= -3.8)西十=音=-1.(4整理，得6-5x十1=0西十数=音函离=行 7.解：由题意，得x1十x2=2,x1x2=-3.(1)原式=x1x2-(1十x2)十1=-3-2十1= -4.(2)原式=(x1十x2)2-2x1x2=22-2X(-3)=10. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 知识梳理 (a-x)(b-x)(a-2x)(b-2x) 针对训练 1.B2.23.14.12 5.解：(1)BC的长为(20-2x)m.(2)根据题意，得x(20-2x)=42,解得x1=3,x2=7. 当AB=3时，BC=20-2x=20-2×3=14>3,符合题意；当AB=7时，BC=20-2x =20一2×7=6<7，不符合题意，舍去.答：此时花圃的宽AB为3m. 一 43 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 知识梳理 ②a(1士x)2=b 针对训练 1.D 2.解：(1)设该社区的图书借阅总量从八月份至十月份的月平均增长率为x.根据题意， 得2000(1+x)2=2880,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答：该社区的图书借 阅总量从八月份至十月份的月平均增长率为20%.(2)2880×(1十20%)=3456（本）. 答：十一月份的图书借阅总量是3456本. 3.解：(1)设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒.根据题意，得1十x+ x(x十1)=25，整理，得x2+2x-24=0,解得x1=4,x2=一6（不合题意，舍去）.答：每 轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒.(2)25十25×4=125（台）.答：经过三轮 传播后共有125台电脑中了病毒. 第3课时循环、数字与销售问题 针对训练 1.D2.C3.11 4.解：设应邀请x支球队参赛.根据题意，得分x(红一1)=3×7，解得x=7,=-6 (不合题意，舍去).答：应邀请7支球队参赛 5.解：设这个两位数的十位数字为x.根据题意，得2x(9一x)=10x十9一x,解得x1= 3,=号（不合题意，舍去）.9-x=6.答：这个两位数是36. 6.解：1100+x)(100-号(2)根据题意，得(10+x)(10-号=11200， 解得x1=40,x2=60.答：每间包房的收费应提高40元或60元. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 知识梳理 y=ax2十bx十c二次一次常数项 针对训练 1.D2A3.D415y=22-2x是 6.解：(1)一般形式为y=一2x2,.二次项系数为一2，一次项系数为0，常数项为0. (2)一般形式为y=2x2-2x十1，二次项系数为2，一次项系数为一2，常数项为1. 7.解：(1)y=x2+34x(2)当x=2时，y=22十34X2=72. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 知识梳理 ①y轴原点上低下高小②减小增大增大减小 针对训练 1.A2.C3.C4.D5.> 6.解：(1)，当x>0时，y随x的增大而增大，∴.m十2>0，解得m>一2.(2)答案不唯 一，如：若m=1,则这个函数的解析式为y=3x2.列表： =3x 描点、连线，画出y=3x2的图象如图所示. =3x -101 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 知识梳理 ①y轴(0，)上低小下高大k②上下 针对训练 1.D2.D3.A4.B5.< 6.解：(1)平移后二次函数的解析式为y=一x2+4.(2)列表： x…一2 -1012 y …03430… 描点、连线，画出函数图象如图所示 -5-4-321 345x 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 知识梳理 ①x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右左 针对训练 1.C2.C3.B4.y1>y2>y8 5.解：列表： …01234… y=(x-2)2 41014… 描点、连线，画出函数图象如图所示.(1)上x=2(2,0)(2)将二次函数y=x2的 图象向右平移2个单位长度可以得到二次函数y=(x一2)2的图象. -4-2246x 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 知识梳理 ①h,k②上下h(h,k) -45 针对训练 1.C2.A3.C4.y=-2(x-1)2+1(答案不唯一)5.> 6解：（①a=-合A=1,=2.(2)函数y=-号(x-102+2与y=-之的图象如 图所示.(3)<1 5(x-1)2+2 26.2.3二次函数y=a.x2+bx+c的图象和性质 知识梳理 0x=会 ②减小增大增大减小 针对训练 1.B2.D3.D 4.解：(1)y=x2-4x+3=(x一2)2-1，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-1)，最小 值为-1.(2)函数图象如图所示.①x>3或x<1②-1≤y<3 26.3二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程(1) 针对训练 1.A2.B3.x1=0,x2=24.不能 第2课时二次函数与一元二次方程(2) 针对训练 1.B2.C3.D 26.4实际问题与二次函数 第1课时最大高度与最大面积问题 针对训练 1.B2.B3.C4.(1S=-72+20x(2)20200 5.解：(1)根据题意，得S=x[31-(x十x-1)]=-2x2+32x.0<32-2x≤18，x>0, .7≤x<16..S=-2x2+32x(7≤x<16).(2)由(1)得S=-2x2+32x=-2(x-8)2 +128.-2<0,7≤x<16,∴当x=8时，S有最大值，最大值为128.答：苗圃的最大 面积为128m2. 第2课时最大利润问题 针对训练 1.B2.B3.D 4.解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=x十b.把(120,100)，(130,95)代入，得 -46 120k+b=100, 解得 三一2’·v与x之间的函数解析式为，二 130k+b=95, 2x+160(120≤ b=160. ≤180).(2)设每天的销售利润为0元.根据题意，得u=(x一80)(-x十160）- -号（红-20）2+720.：-号<0，且120≤x≤180，当x=180时，w有最大值，最 大值为7000.答：当售价为180元/kg时，每天的销售利润最大，最大利润是7000元. 第3课时非最值类抛物线形实际应用问题 针对训练 1.A2.D3.1.5 4.解：(1)由题意可知A(0,2),B(8,2),P(4,6).设抛物线的函数解析式为y=a(x一 4)+6,把A(0,2)代入，得2=a(0-42+6,解得a=-子，“抛物线的函数解析式为 y=-子(x-4)+6.(2)当x=3时y=-×(3-4)2+6=孕>4，∴该货车能从此 隧道内通过. 第二十七章反比例函数 27.1反比例函数的概念 知识梳理 不等于0 针对训练 1.C2.C3.B4.(1)x≠0(2)42 5解：1y=号红是正比例函数(2y-529是反比例西数.(3③)S=60是反比剑西 数.(4)y=100一10x.是一次函数. 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 知识梳理 (1)双曲线 (2)一三减小二四增大 针对训练 C2.C3.D4.>5, 6.解：列表如下： 4 4 一1… 描点、连线，画出函数图象如图所示. -43-2101 15x 第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用 针对训练 1.B2.A3.A4.B5.126.8 -47 7.解：(1)(-2，一6)(2)由图象可知，不等式2>k1x的解集为x<-2或0<x<2. (3)C(3,0)0C=3.56=7×3X(0a-g)=2×3X[6-（-6]=18. 27.3实际问题与反比例函数 第1课时将实际问题抽象成反比例函数问题 针对训练 1.D2.D 3.解：(1由题意，得=20,0关于1的函数解析式为=2090.(2)当=40时，40= 29,解得1=5，答：该轮船从甲地匀速行驶到乙地需要5h 4.解：(1)由题意，得5t=1200,5关于t的函数解析式为5=1200.(2)在5=1200中， t t 当s=40时，t=30;当s=30时，t=40.40-30=10(天).∴.工程队每天修筑40m比每 天修筑30m能提前10天完成该项工程， 第2课时结合反比例函数图象解决实际问题 针对训练 1.C2.C3.24.20 5.解：1①设力关于5的函数解析式为p=冬把(0.1,100)代人，得100=奇，解得 友=10p关于S的函数解折式为p-1g9(2)当S=0.25m时，p-器-=40. .当S=0.25m2时，物体所受的压强是400Pa. 第3课时构建反比例函数模型解决实践探究类问题（略） 第二十八章旋转 28.1图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 知识梳理 ①旋转中心旋转角②全等相等相等旋转角 针对训练 1.C2.C3.D4.4 5.解：(1)旋转中心是点A.∠BAC=180°一∠B一∠ACB=150°，∴.旋转角的度数为 150°.(2)由旋转的性质，得∠EAD=∠BAC=150°，AE=AC,AD=AB=4cm,·∠BAE= 360-∠BAC-∠EAD=60.:C为AD的中点，AE=AC=号AD=2cm 第2课时旋转作图 针对训练 1.D2.453.(-2,0) 4.解：(1)如图，△A1B1C即为所求.(2)A(4,-2),B(4,0),C(1,1). 3 2 48