26.2.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 教学设计 课题 二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第3课时 课型 新授课 教学目标 1. 理解函数 y=a（x-h）2+k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系；2. 会确定函数 y=a（x-h）2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；3. 经历函数 y=a（x-h）2+k 性质的探索过程，理解函数 y=a（x-h）2+k 的性质。 教学重点 确定函数 y=a（x-h）2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数 y=a（x-h）2+k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系，理解函数 y=a（x-h）2+k 的性质。 教学难点 正确理解函数 y=a（x-h）2+k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系以及函数 y=a（x-h）2+k 的性质。 教学方法 类比探究、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸 课后练习 抛物线平移选择题、接受能力综合题、顶点式求解析式题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、回顾复习 引入课题 一、回顾复习，引入课题 【问题1】抛物线 与抛物线 有什么关系？ 函数 的图象可以看成是将函数 的图象向上平移1个单位长度得到的。 【问题2】抛物线 与抛物线 有什么关系？ 函数 的图象可以看成是将函数 的图象向左平移1个单位长度得到的。 【思考】抛物线 与抛物线 、 有什么关系？你能说出它们的开口方向、对称轴和顶点吗？ 平移路径： 向右平移1个单位长度得 ，再向上平移1个单位长度得 。 开口方向：向上 → 向上 → 向上；对称轴：y 轴 → 直线 x＝1 → 直线 x＝1；顶点坐标：（0，0）→（1，0）→（1，1）。 我们已经研究了 与 型抛物线，当 h、k 同时出现时，抛物线 又有哪些特点？今天我们继续探究。 口述前两课时的平移结论，完成“思考”填表并交流，教师指导；类比前两课时，顺利引出本课时探究对象。 复习前两课时“上下平移”“左右平移”的旧知，用平移链填表衔接，为探究 y=a（x-h）2+k 的图象和性质作铺垫。 二、探索新知 归纳知识 二、探索新知，归纳知识 【探究】（1）画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点；（2）抛物线 与抛物线 有什么关系？ 先列表： ： x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 … y … −5.5 −3 −1.5 −1 −1.5 −3 −5.5 … 描点、连线，作出函数图象如图： 抛物线 的开口方向向下，对称轴是直线 x＝−1，顶点坐标是（−1，−1）。 抛物线 可以看成是抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的。 【归纳】一般地，抛物线 与 形状相同，位置不同。把抛物线 向左（右）平移 |h| 个单位长度、再向上（下）平移 |k| 个单位长度，就得到抛物线 ，平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定。 抛物线 有如下特点： （1）当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口向下；（2）对称轴是直线 x＝h；（3）顶点坐标是（h，k）。 【探究2】二次函数 的性质是什么？ 当 a＞0 时，当 x＜h 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x＞h 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x＝h 时，函数取得最小值，最小值为 k；当 a＜0 时，当 x＜h 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x＝h 时，函数取得最大值，最大值为 k。 列表、描点、连线画出抛物线；分组讨论、互相交流，让各组代表发言，达成共识；从图象与解析式两个角度归纳抛物线的特点与函数性质。 由于前两课时的探究，学生很容易发现抛物线 y=a（x-h）2+k 与 y=ax2 的平移关系；由特殊到一般归纳抛物线的特点与性质，渗透类比与数形结合思想。 三、学以致用 应用新知 三、学以致用，应用新知 【例】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m 处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m。水管的长应为多少？ 解：如图，以水管与地面的交点为原点 O，以原点和水柱落地点所在的直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系。 点（1.6，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 （0≤x≤3.6）。 由图可知，这段抛物线经过点（3.6，0），所以 ，解得 。 因此抛物线的解析式为 （0≤x≤3.6）。 当 x＝0 时，，即 。 答：水管长应为1.08 m。 【方法点拨】解决抛物线形实际问题，一般先建立合适的平面直角坐标系，由顶点坐标设出解析式 ，再代入已知点求出 a，最后结合实际意义确定自变量的取值范围。 读题、画图，在教师引导下建立直角坐标系求解；利用二次函数平移规律与顶点式确定抛物线解析式，代入求值并作答。 以喷水池为背景建模，引导学生建立直角坐标系求解，体会数学建模的数形结合思想；利用顶点式设解析式，巩固 y=a（x-h）2+k 的应用。 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 将抛物线 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．　　B． C．　　D． 答案：A。（由“左加右减、上加下减”的平移规律，抛物线 向右平移2个单位长度得 ，再向下平移1个单位长度得 。） 2. 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（分钟）之间满足函数 （0≤x≤30），y 值越大，表示接受能力越强。 （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？ 解：（1）因为 ＜0，抛物线开口向下，对称轴是直线 x＝13，顶点（13，59.9）是最高点。所以当 0≤x≤13 时，学生的接受能力逐步增强；当 13≤x≤30 时，学生的接受能力逐步降低。 （2）当 x＝10 时，，即 。故第10分钟时，学生的接受能力是59。 （3）当 x＝13 时，y 取得最大值59.9。故第13分钟时，学生的接受能力最强。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；先按平移规律定解析式，再借助对称轴与顶点分析函数值的增减与最值。 两道题分别巩固“平移规律定解析式”与“由 a、h、k 分析增减性和最值”，全面检验本课目标的达成，发展数形结合与建模能力。 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 1. 平移规律：把抛物线 向左（h＜0）或向右（h＞0）平移 |h| 个单位长度，再向上（k＞0）或向下（k＜0）平移 |k| 个单位长度，就得到抛物线 。 2. 图象特征：抛物线 的对称轴是直线 x＝h，顶点坐标是（h，k），与抛物线 形状相同。 3. 性质：a＞0 时开口向上，当 x＝h 时函数取得最小值 k；a＜0 时开口向下，当 x＝h 时函数取得最大值 k。 自主梳理平移规律、图象特征与增减性，把 y=a（x-h）2+k 纳入 y=ax2 的研究体系。 从开口方向、对称轴、顶点坐标和最值等角度完善知识结构，体会由 y=ax2 到 y=a（x-h）2+k 的类比研究方法。 六、布置作业 六、布置作业 1. 已知抛物线的顶点坐标是（2，−3），且经过点（3，−1）。求这条抛物线的解析式，并说明它由抛物线 经过怎样的平移得到。 参考答案：设 ，把（3，−1）代入，得 ，解得 ，所以解析式为 。它由抛物线 向右平移2个单位长度、再向下平移3个单位长度得到。 2. 已知二次函数 。说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，并说明 x 为何值时 y 随 x 的增大而增大、x 为何值时 y 随 x 的增大而减小；它由抛物线 经过怎样的平移得到？ 参考答案：a＝＜0，开口向下，对称轴是直线 x＝−1，顶点（−1，−2）是最高点，最大值为−2；x＜−1 时 y 随 x 的增大而增大，x＞−1 时 y 随 x 的增大而减小；由抛物线 向左平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，先用顶点式设解析式再代入求值，然后运用性质与平移规律解答并核对。 作业从“定解析式”到“说性质、说平移”层层递进，及时巩固本课的图象、性质与平移规律。 板书设计 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 一、平移规律 y=ax2 向右（h＞0）或向左（h＜0）平移 |h| 个单位得 y=a（x-h）2； 再向上（k＞0）或向下（k＜0）平移 |k| 个单位得 y=a（x-h）2+k 二、y=a（x-h）2+k 的图象特征 对称轴是直线 x=h，顶点（h，k），与 y=ax2 形状相同 三、y=a（x-h）2+k 的性质 a＞0：开口向上，最小值 k；a＜0：开口向下，最大值 k a＞0：x＜h 递减，x＞h 递增；a＜0：x＜h 递增，x＞h 递减 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $