3.2 函数的基本性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数的基本性质，系统梳理单调性（定义、单调区间、性质）、奇偶性（定义、图像对称、运算性质）、最值及图像对称性等核心知识点，通过11类题型构建从基础定义到综合应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，每类题型配备方法提炼与典型例题，如定义法证明单调性培养逻辑推理，图像对称性应用发展几何直观，助力学生用数学思维分析问题。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

§3.2 函数的基本性质 目录 题型1：定义法证明函数的单调性 4 题型2：已知单调性求参数的范围 7 题型3：利用单调性解不等式 10 题型4：求函数的最值 12 题型5：函数奇偶性的判断 14 题型6：奇、偶函数的图像及应用 17 题型7：利用函数的奇偶性求值 21 题型8：由奇偶性求函数解析式 24 题型9：函数的单调性与奇偶性的综合 27 题型10：函数图像的对称性 33 题型11：函数性质的综合应用 40 1. 函数的单调性 设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增； 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 单调递增 单调递减 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 2. 单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间. 提醒 (1)单调区间必须是函数定义域的子集；(2)图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. 3. 单调性的性质 (1) 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数减函数=增函数，减函数增函数=减函数. (2) 函数在公共定义域内与的单调性相反． (3) 复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） 4. 最大（小）值 设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有 ；，使得。则是函数的最大值. (2) ，都有；，使得.则是函数的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 5. 函数的奇偶性 设函数的定义域为，且关于原点对称（即，都有）， (1) 若对都成立，则函数为偶函数，其图像关于轴对称； (2) 若对都成立，则函数为奇函数，其图像关于原点对称。 注意 （1） 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称； （2） 若奇函数在处有定义，则必有； （3） 偶函数必满足； （4） 既是奇函数又是偶函数，定义域关于原点对称； （5） 若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，且. 6. 函数奇偶性的运算性质 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 7. 函数图像的对称性 (1) 函数，若图像关于直线对称，则①；②；③. (2) 函数，若图像关于点对称，则①；②；③. (3) 函数，若图像关于点对称，则①；②；③ 注意 (1) 若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称. (2) 若函数是奇函数，则函数的图象关于点对称. 题型1：定义法证明函数的单调性 方法提炼 利用定义证明函数单调性的步骤： 【例1.1.】 已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【难度】0.76 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求解析式中的参数值 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2） 略 【例1.2.】 讨论函数，在上的单调性 【答案】当时，是减函数；当 时，是增函数 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】对分离常数，利用单调性的定义，对参数进行分类讨论，即可判断函数单调性. 【详解】∵函数= ∴任取，且， 则 =- = ， ∴当，即时， ，即，是减函数； 当，即 时， ，即，是增函数. 【例1.3.】 任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数. 【答案】证明：设，则， 从而，即， 又， 即， 故f（x）在R上是增函数. 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数单调性定义，设，则，得证. 【详解】略. 【例1.4.】 已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【答案】在上单调递增 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据题意，利用函数单调性的定义和判断方法，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 可得， 因为且，所以，所以，所以， 即，所以在上单调递增. 题型2：已知单调性求参数的范围 方法提炼 1. 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 (1) 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数。 (2) 借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解。需注意,若一个函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的。 2. 解决分段函数的单调性问题时，一般要从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此可列出相关式子;另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此可列出相关式子。 【例2.1.】 （多选）已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数单调性得到或，解得答案. 【详解】函数在上具有单调性，则或， 解得或. 故选：BC 【例2.2.】 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求函数的单调区间、根据函数的单调性求参数值、具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 【例2.3.】 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用不等式求值或取值范围、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 【例2.4.】 函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.38 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 题型3：利用单调性解不等式 【例3.1.】 利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【难度】0.56 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】令，由题意得， 由，得函数的定义域为， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增， 且由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 可得不等式即， 由单调性可得，故所求的解集是. 【例3.2.】 已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【难度】0.79 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 【例3.3.】 已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)设且，则， 因为，所以，所以， 所以在上是增函数； (3)． 【难度】0.62 【知识点】根据函数的单调性解不等式、求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、抽象不等式 【分析】（1）利用赋值法即可求解； （2）根据函数单调性的定义结合已知函数满足的性质即可证明结论； （3）由题意将原不等式转化为，再结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）令代入，得，所以 （2）略 （3）因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以不等式可化为 所以，解得，所以不等式的解集为． 题型4：求函数的最值 方法提炼 (1) 图象法求函数最值的一般步骤 (2) 函数的最值与单调性的关系 ①若在上单调递增，则； ②若在上单调递减，则 。 ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值。分段单调函数需在各段分别求最值后比较。 【例4.1.】 若，则的最小值是（　　） A．－2 B． C．2 D．0 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【详解】任取，且，则， 因为，且，故，， 故，即，故在上为减函数，当时，有最小值. 【例4.2.】 若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】分段函数的值域或最值 【详解】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 【例4.3.】 若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、求二次函数的值域或最值、根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用二次函数的单调性，讨论端点处函数值，再进行检验即可. 【详解】∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在上的最大值会在区间的端点或处取到， 又，，若，则， 此时对称轴，且，符合条件； 若，则，此时对称轴，且，符合条件， 综上所述，或1. 题型5：函数奇偶性的判断 方法提炼 判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断与的关系.对，若，则函数是偶函数；若，则函数是奇函数. 【例5.1.】 判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)既是奇函数又为偶函数 【难度】0.72 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【详解】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数. （2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数. （3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数. （4）定义域：，即或，所以， ，所以，所以函数为奇函数 （5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数. 【例5.2.】 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 【例5.3.】 定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 题型6：奇、偶函数的图像及应用 方法提炼 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1) 依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2) 求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 【例6.1.】 设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【答案】(1) 如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： (2)； (3) 函数的最大值为4． 【难度】0.85 【知识点】奇偶函数对称性的应用、分段函数的单调性、画出具体函数图象、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【详解】（1）略 （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 【例6.2.】 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； 【答案】(1)函数的单调递增区间为和； (2) 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、根据图像判断函数单调性、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据偶函数的性质画出函数图象，结合图象得到函数的单调递增区间； （2）根据偶函数的性质计算可得； 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以的图象关于轴对称， 则的图象如下所示： 由图可知的单调递增区间为和. （2）因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 设，则，所以， 因为， 所以当时，， 所以函数的解析式为. 【例6.3.】 如图，已知函数是奇函数． (1)补充完整函数的图象； (2)写出函数的单调区间，并写出函数的值域． 【答案】(1) (2)单调增区间是：； 单调减区间是：； 值域为 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、根据图像判断函数单调性、函数图象的应用 【分析】（1）根据函数是奇函数图象关于原点对称即可补全图象； （2）根据函数图象得出函数增区间及减区间，得出函数值域. 【详解】（1）结合已知函数图象和奇函数图象关于原点对称，补充函数图象如下： （2）根据图象可知单调增区间是：； 单调减区间是：； 函数值域为：. 题型7：利用函数的奇偶性求值 【例7.1.】 若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 【例7.2.】 若定义在上的奇函数满足时，，则__________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】由奇偶性求参数 【详解】因为定义在上的奇函数满足时，，所以，解得：， 则 【例7.3.】 若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图象的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 【例7.4.】 已知，则________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【详解】设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. 【例7.5.】 已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 【例7.6.】 设函数的最大值为，最小值为，则____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】利用分离常数项整理函数得，结合函数的奇偶性，即可得解. 【详解】， 设， 因为，所以为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 则， 所以. 故答案为：. 题型8：由奇偶性求函数解析式 方法提炼 利用奇偶性求函数解析式的具体方法： (1) 在哪个区间求解析式,就设在哪个区间内; (2) 将代入已知区间的解析式; (3) 利用的奇偶性把变形成或,从而解出. 【例8.1.】 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 【例8.2.】 已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 【例8.3.】 已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数方程组法求解析式 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 【例8.4.】 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 题型9：函数的单调性与奇偶性的综合 方法提炼 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. (2) 比较大小问题,一般解法是利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值,通过转化到其对称区间上的函数值,使其在同一单调区间上，这样便可以利用单调性比较大小。 (3) 解抽象不等式问题,解题步骤是:①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出函数在该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号,转化为解不等式(组)的问题。 (4) 需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号时,需转化为含符号的形式。同时注意偶函数中结论的灵活运用。 【例9.1.】 已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用奇偶性的定义可得为偶函数，利用复合函数的单调性可得在上单调递减，从而可求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为偶函数， 又， 所以可得在上单调递减， 由，得， 所以，两边平方得， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 【例9.2.】 已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】先根据的值的特征构造函数，进而分析函数的单调性及奇偶性，进而可判断函数值的大小. 【详解】因为，，，令. 由已知， 当时，，因此，所以在上是增函数. 因为已知是上的奇函数，， 所以 ，因此是定义域为的偶函数， 由偶函数单调性可得：在上是减函数. 因为， ， ， 因为，且在上递减，所以. 所以. 【例9.3.】 若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 【例9.4.】 已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据图像判断函数单调性、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的性质得，代入即可求出答案；根据函数的单调性可将不等式化为，根据，得到，根据对勾函数的单调性求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为是上的奇函数，当时，， 所以， 易得在上单调递增， 所以可化为， 即， 因为，所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围为. 【例9.5.】 若函数满足，当时，，则不等式的解集为____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、求函数值、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由题意得先得出是奇函数，也是减函数，且，所以可得，由此即可得解. 【详解】由题意令得，，解得， 令得，，即，所以是奇函数， 当时，，且即，即是减函数， 又， 所以或. 故答案为：. 【例9.6.】 已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【难度】0.64 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 题型10：函数图像的对称性 【例10.1.】 若函数的对称中心是则_______ 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据函数图象关于点对称，可得，整理可求出的值. 【详解】因为函数的对称中心是， 所以. 即. 整理得：， 所以，所以. 故答案为：1 【例10.2.】 函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、具体函数的定义域 【分析】分离常数后，利用函数的对称性可求解. 【详解】函数， 它的定义域为，． 又， 所以，故的图象的对称中心为. 【例10.3.】 已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（   ） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由对称性研究单调性、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 【例10.4.】 已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数对称性的应用、由对称性研究单调性、比较函数值的大小关系 【分析】分析函数的对称性与单调性，逐项判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数， 则对任意的，，故函数的图象关于直线对称， 所以， 因为函数在单调递增，故函数在上单调递减， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，与的大小关系不确定，D错. 故选：B. 【例10.5.】 已知满足，当时有，则当时，______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对称性求函数的解析式 【分析】推导出的图象的对称轴为直线，当时，，可得出，即可得出函数在时的解析式. 【详解】在等式中，用替代可得， 所以的图象的对称轴为直线， 当时，，则. 即当时，. 故答案为：. 【例10.6.】 已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、由奇偶性求参数 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 【例10.7.】 已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 【例10.8.】 已知函数，使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用、由对称性研究单调性 【分析】由函数解析式得到函数的对称轴，以及函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵， ， 即，所以函数图象关于直线对称， 当时，，函数在内单调递增， ∵，∴， 解得. 故选：C. 【例10.9.】 已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】利用是定义在R上的奇函数且，可得到，即可得，由可求，即可得. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，即.所以. 又因为，所以. 所以. 当时，，所以. 所以. 【例10.10.】 已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、求函数值、函数对称性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】根据函数的对称性得到，并得到，，得到答案 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②，由①－②可得， 用替换可得， 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 【例10.11.】 二次函数满足. (1)求实数的值： (2)比较与的大小； (3)若与函数值域相同，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由对称性求函数的解析式、根据二次函数的最值或值域求参数、比较函数值的大小关系、求二次函数的解析式 【分析】（1）根据抽象函数关系式可得图象的对称轴，结合二次函数图象的对称轴可得结果； （2）方法一：根据与到对称轴的距离，结合二次函数图象可确定大小关系； 方法二：根据且，结合二次函数图象可确定大小关系； （3）根据二次函数值域求法可得的值域，令，根据的值域可确定与对称轴的关系，由此可得的范围. 【详解】（1），的图象关于直线对称， 的图象对称轴，解得：. （2）方法一：到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又，图象为开口方向向上的抛物线， . 方法二：，， ， ， . 结合二次函数图象， 可知. （3），的值域为； 令，则， 的值域与的值域相同，即， 的值域为， 在处取得最小值，则只需即可，解得：， 实数的取值范围为. 题型11：函数性质的综合应用 【例11.1.】 已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用 【分析】根据已知及偶函数性质得的图象关于直线对称，且，结合区间单调性和对称性，利用符号法求不等式的解集. 【详解】因为定义在R上的函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，且的定义域为R， 又函数为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，或时， 所以由得或，解得或， 则不等式的解集是. 【例11.2.】 （多选）已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于A，根据奇偶性的定义进行判断即可；对于B，先判断时函数的单调性，再根据奇偶性判断 时的单调性即可；对于C，根据函数的单调性及奇偶性求值域即可判断；对于D，举出反例进行判断即可. 【详解】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，， 由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且， 又为上的奇函数，函数在上为增函数，在上单调递增， 对任意的，，都有，故B正确； 对于C，当时，， 函数在上为增函数，在上的值域为； 当 时，， 函数在上为增函数，在上的值域为， 综上所述，的值域是，故C正确； 对于D，令，则，， ，即，故D不正确. 【例11.3.】 已知函数. (1)若对任意实数，都有，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用二次函数对称性列式求解即可； （2）利用二次函数的单调性列不等式求解即可； （3）按照和分类讨论，利用二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称. 因为的图象的对称轴为直线，所以，解得. （2）因为在上单调递增，所以， 则，故的取值范围是. （3）当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， . 故. 【例11.4.】 已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数. (1)证明：. (2)证明：的图象关于直线对称. (3)若，求的值. 【答案】(1) 证明：因为为奇函数， 所以， 设，则， 则，即. (2) 证明：因为为偶函数， 所以， 所以的图象关于直线对称. (3) 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】（1）由条件结合奇函数定义可得，令，换元可得结论； （2）由条件结合偶函数定义可得，结合对称性的定义可得结论； （3）由，可得，结合（1）求，再求，由此可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，① 所以，② ①+②得， 由（1）（2）知， 所以，所以， 所以， 所以. 【例11.5.】 已知函数满足． (1)证明：； (2)判断的单调性，并写出推理过程； (3)若函数的图象与函数的图象关于点对称，求的解析式． 【答案】(1) 在中，将用替代， 则，即. 联立和， 解得. 因此. (2)在上单调递增，在上单调递减，理由如下： 因为函数的定义域为，， 所以是偶函数， 又， 因为在内单调递增， 所以在内单调递减，因此在内单调递减. 由于是偶函数，所以在内单调递增. (3). 【难度】0.4 【知识点】由对称性求函数的解析式、函数方程组法求解析式、复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）在条件式中将用替代，联立方程组求得，计算得证； （2）先判断是偶函数，再根据复合函数的单调性判断； （3）设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为，可得，由运算得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为. 由，得. 因为点在函数的图象上，所以. 即，. 故. 【例11.6.】 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，且， 可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增． (3) 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、定义法判断或证明函数的单调性、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据充要条件可得，即可代入化简求解， （2）根据单调性的定义，作差即可求解. （3）由函数的单调性求解的值域，将问题转化为在上的值域，即可分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，即可列不等式求解. 【详解】（1）设函数的图象的对称中心为，为奇函数， 则， 即， 整理得， 可得，解得， 所以的对称中心为． （2）略 （3）由对任意，总存在，使得， 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， ①当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 因为，所以，解得． ②当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心， 故此时， 欲使，只需， 且， 解不等式，可得， 又，此时． ③当时，即时，在单调递减，在上单调递减， 由对称性知在上单调递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.2 函数的基本性质 目录 题型1：定义法证明函数的单调性 4 题型2：已知单调性求参数的范围 5 题型3：利用单调性解不等式 6 题型4：求函数的最值 6 题型5：函数奇偶性的判断 7 题型6：奇、偶函数的图像及应用 8 题型7：利用函数的奇偶性求值 9 题型8：由奇偶性求函数解析式 10 题型9：函数的单调性与奇偶性的综合 10 题型10：函数图像的对称性 12 题型11：函数性质的综合应用 13 1. 函数的单调性 设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增； 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 单调递增 单调递减 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 2. 单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间. 提醒 (1)单调区间必须是函数定义域的子集；(2)图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. 3. 单调性的性质 (1) 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数减函数=增函数，减函数增函数=减函数. (2) 函数在公共定义域内与的单调性相反． (3) 复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） 4. 最大（小）值 设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有 ；，使得。则是函数的最大值. (2) ，都有；，使得.则是函数的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 5. 函数的奇偶性 设函数的定义域为，且关于原点对称（即，都有）， (1) 若对都成立，则函数为偶函数，其图像关于轴对称； (2) 若对都成立，则函数为奇函数，其图像关于原点对称。 注意 （1） 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称； （2） 若奇函数在处有定义，则必有； （3） 偶函数必满足； （4） 既是奇函数又是偶函数，定义域关于原点对称； （5） 若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，且. 6. 函数奇偶性的运算性质 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 7. 函数图像的对称性 (1) 函数，若图像关于直线对称，则①；②；③. (2) 函数，若图像关于点对称，则①；②；③. (3) 函数，若图像关于点对称，则①；②；③ 注意 (1) 若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称. (2) 若函数是奇函数，则函数的图象关于点对称. 题型1：定义法证明函数的单调性 方法提炼 利用定义证明函数单调性的步骤： 【例1.1.】 已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【例1.2.】 讨论函数，在上的单调性 【例1.3.】 任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数. 【例1.4.】 已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 题型2：已知单调性求参数的范围 方法提炼 1. 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 (1) 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数。 (2) 借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解。需注意,若一个函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的。 2. 解决分段函数的单调性问题时，一般要从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此可列出相关式子;另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此可列出相关式子。 【例2.1.】 （多选）已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【例2.3.】 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3：利用单调性解不等式 【例3.1.】 利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【例3.2.】 已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【例3.3.】 已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 题型4：求函数的最值 方法提炼 (1) 图象法求函数最值的一般步骤 (2) 函数的最值与单调性的关系 ①若在上单调递增，则； ②若在上单调递减，则 。 ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值。分段单调函数需在各段分别求最值后比较。 【例4.1.】 若，则的最小值是（　　） A．－2 B． C．2 D．0 【例4.2.】 若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【例4.3.】 若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 题型5：函数奇偶性的判断 方法提炼 判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断与的关系.对，若，则函数是偶函数；若，则函数是奇函数. 【例5.1.】 判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【例5.2.】 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【例5.3.】 定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 题型6：奇、偶函数的图像及应用 方法提炼 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1) 依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2) 求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 【例6.1.】 设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【例6.2.】 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； 【例6.3.】 如图，已知函数是奇函数． (1)补充完整函数的图象； (2)写出函数的单调区间，并写出函数的值域． 题型7：利用函数的奇偶性求值 【例7.1.】 若函数是上的偶函数，则的值为______． 【例7.2.】 若定义在上的奇函数满足时，，则__________． 【例7.3.】 若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【例7.4.】 已知，则________. 【例7.5.】 已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【例7.6.】 设函数的最大值为，最小值为，则____． 题型8：由奇偶性求函数解析式 方法提炼 利用奇偶性求函数解析式的具体方法： (1) 在哪个区间求解析式,就设在哪个区间内; (2) 将代入已知区间的解析式; (3) 利用的奇偶性把变形成或,从而解出. 【例8.1.】 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【例8.2.】 已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【例8.3.】 已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【例8.4.】 已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 题型9：函数的单调性与奇偶性的综合 方法提炼 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. (2) 比较大小问题,一般解法是利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值,通过转化到其对称区间上的函数值,使其在同一单调区间上，这样便可以利用单调性比较大小。 (3) 解抽象不等式问题,解题步骤是:①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出函数在该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号,转化为解不等式(组)的问题。 (4) 需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号时,需转化为含符号的形式。同时注意偶函数中结论的灵活运用。 【例9.1.】 已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例9.2.】 已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 【例9.3.】 若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例9.4.】 已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 【例9.5.】 若函数满足，当时，，则不等式的解集为____________． 【例9.6.】 已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 题型10：函数图像的对称性 【例10.1.】 若函数的对称中心是则_______ 【例10.2.】 函数的图象的对称中心为________． 【例10.3.】 已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（   ） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【例10.4.】 已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【例10.5.】 已知满足，当时有，则当时，______． 【例10.6.】 已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【例10.7.】 已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【例10.8.】 已知函数，使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例10.9.】 已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【例10.10.】 已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【例10.11.】 二次函数满足. (1)求实数的值： (2)比较与的大小； (3)若与函数值域相同，求实数的取值范围. 题型11：函数性质的综合应用 【例11.1.】 已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 【例11.2.】 （多选）已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 【例11.3.】 已知函数. (1)若对任意实数，都有，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【例11.4.】 已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数. (1)证明：. (2)证明：的图象关于直线对称. (3)若，求的值. 【例11.5.】 已知函数满足． (1)证明：； (2)判断的单调性，并写出推理过程； (3)若函数的图象与函数的图象关于点对称，求的解析式． 【例11.6.】 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $