3.1函数的概念及其表示 第3课时 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法）及求解析式的四种方法（待定系数法、换元法、配凑法、方程组法），前承函数概念与定义域，后启分段函数及函数性质，构建完整知识支架。 通过例4“笔记本购买”问题追问强化定义域对图象的影响，培养几何直观，用“竖线判别法”判断函数图象发展推理意识，求解析式强调定义域提升数学语言精确性。课中助教师突破易错点，课后题型精练与错误例析帮学生查漏补缺。

3.1　函数的概念及其表示（第3课时） 函数的表示法与求解析式·讲义（教师用）　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第3课时 一、课标要求与教材位置 本节在人教A版必修第一册第60—73页，是第三章的起点，也是整个高中函数学习的地基。全节共4课时：第一课时学函数的概念与三要素，第二课时学区间、定义域的求法与同一函数的判定，第三课时学函数的三种表示法与解析式的求法，第四课时学分段函数及其应用。本课时对应教材第67—68页（3.1.2函数的表示法前半部分），把初中已经接触过的三种表示法正式命名，再补上教材没有专门设节、但月考必考的一块——求函数的解析式。 课程标准对这一部分的要求是：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用。动词是“会用”，落点在“选择”二字上：不是三种方法都要写一遍，而是要知道什么时候用哪一种。 教材的处理是把三种表示法与3.1.1的四个问题一一对上：解析法对应问题1、2，列表法对应问题4，图象法对应问题3。例4让同一个函数在三种表示法之间走一遍，再用两个思考题逼出两件事——三种表示法各有长短；并非所有函数都能用解析法表示。 求解析式在高考中不单独成题，但在解答题第一问、选择填空的中段出现得很频繁。四种方法里，换元法与配凑法用得最多，方程组法在抽象函数题里出现。这一块的失分点集中在两处：待定系数法只写一组解、换元后不写定义域。 二、知识精讲 （一）函数的三种表示法 教材第67页把三种表示法正式命名： 解析法　就是用解析式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1中问题1、问题2的对应关系都是用解析法表示的。 列表法　就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1中问题4的对应关系是用列表法表示的。 图象法　就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1中问题3的对应关系是用图象法表示的。 教材第67页旁注问了一句：函数图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？依据就是定义——对于定义域内的每一个x，都有唯一的y与之对应，反映在图上就是：任取一条垂直于x轴的直线，与图象至多有一个交点。这条“竖线判别法”不是教材的正式结论，但可以作为方法讲给学生，判断图象题一秒解决。 例4（教材第67页）　某种笔记本的单价是5元，买x（x{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)。 解： 　　这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}。 　　用解析法可将函数y＝f(x)表示为 y＝5x，x{1，2，3，4，5}。 　　用列表法可将函数y＝f(x)表示为：笔记本数x　1　2　3　4　5；钱数y　5　10　15　20　25。 　　用图象法可将函数y＝f(x)表示为坐标系中的五个孤立点(1，5)、(2，10)、(3，15)、(4，20)、(5，25)。 教学处理提示　这道题的教学价值全在图象上。画图时几乎所有学生都会把五个点连成一条线段，这时候不要直接纠错，追问一句“买1.5个笔记本要花多少钱”，学生答买不了，中间自然就没有点。这一问把“定义域决定图象长什么样”落到了实处，比讲十遍“注意定义域”管用。 （二）三种表示法的长短与选择 教材第68页留了一个思考：分别用解析法与图象法表示3.1.1中的问题4的函数，你能发现函数的不同表示法各有什么特点吗？归纳出来是三条： 解析法便于计算函数值、研究函数的性质，缺点是不够直观，看不出变化趋势； 列表法不需要计算就能直接查到函数值，缺点是只能列出有限个，一般看不出变化规律； 图象法能直观地显示函数的变化趋势，缺点是从图上读出的值往往不精确。 还有一件事必须专门说：并非所有函数都能用解析法表示。3.1.1问题3中的空气质量指数变化情况、问题4中的恩格尔系数变化情况，都写不出解析式，但它们确实是函数。学生的直觉正相反——认为“函数就是式子”，看到没有式子的对应关系会怀疑它不是函数。这一点第一课时讲过一次，这里要再夯一遍。 反过来，能不能说“任何函数都可以用图象法表示”？可以。任何函数都对应坐标平面上的一个点集，这个点集就是它的图象，哪怕它是离散的、断开的。这个说法比“都能用解析法表示”要稳。 （三）求函数的解析式 教材没有为这一块专门设节，但月考、期中必考，本课时要单独拿出时间讲。常用的有四种方法，每一种都认一个信号： ① 待定系数法　信号是题目告诉你函数的类型（一次、二次、反比例）。做法：设出含待定系数的解析式，代入条件解方程组。注意二次项系数不为0、一次项系数不为0这类限制，以及解出多组系数时每一组都要写。 ② 换元法　信号是括号里是一个整体式子，而且外面能反解出x。做法四步：令t等于括号里的整体、反解出x、代回原式化成关于t的表达式、把t换成x。第二步之后必须求出t的取值范围，这个范围就是所求函数的定义域。 ③ 配凑法　信号是外面的式子能凑成括号里那个整体。做法：把f(g(x))的表达式硬凑成关于g(x)的形式，再直接把g(x)换成x。同样要交代定义域——g(x)能取到的值域，就是f的定义域。 ④ 方程组法　信号是式子里同时出现f(x)与f(－x)（或f(x)与f()）。做法：用－x（或）替换x得到第二个方程，两式联立消去另一个未知函数。 四种方法里，换元法与配凑法是同一件事的两种走法：换元是把整体拆开再合起来，配凑是直接把外面的式子折成整体的样子。会一种就能推另一种，但配凑法对代数变形的熟练度要求更高，普通班可以先只练换元。 几个常用的配凑恒等式（记住能省很多事）： x²＋＝(x－)²＋2＝(x＋)²－2； x＋2＝(＋1)²－1； x－4＝(＋1－1)²－4（用于f(＋1)型）。 还要提醒一处范围问题：x－可以取遍全体实数，所以由f(x－)求出的f(x)定义域是R；但x＋的取值范围是|t|≥2，所以由f(x＋)求出的f(x)定义域是{x||x|≥2}。这两个式子长得像，范围完全不同，是命题人最爱设的坑。 三、概念辨析与易错点 1．不是所有函数都能用解析法表示。　教材问题3的空气质量指数曲线、问题4的恩格尔系数表都写不出解析式，但都是函数。学生的直觉正相反。 2．定义域是有限个数时，图象是一群孤立的点。　例4中的五个点不能连成线段，因为1.5个笔记本买不了。学生画图时的连线冲动要在这里打断。 3．判断函数图象用竖线判别法。　任作一条垂直于x轴的直线，与图象至多一个交点才是函数图象。圆、y²＝x的图象都不是函数图象。 4．待定系数法解出多组系数时，每一组都要写。　f(f(x))＝4x＋3中a²＝4有两个根，f(x)＝2x＋1与f(x)＝－2x－3都是答案，只写一个丢一半分。 5．换元后必须写出新元的取值范围。　由f(＋1)＝x－4求f(x)：令t＝＋1，则t≥1，所以f(x)＝x²－2x－3（x≥1）。漏掉x≥1，定义域就错了。 6．换元时反解x要一步步来。　由t＝＋1得＝t－1，再平方得x＝(t－1)²，不是x＝t²－1。 7．配凑法同样要交代定义域。　f(x－)＝x²＋中，x－取遍R，所以f(x)＝x²＋2（xR）；但f(x＋)型里x＋满足|t|≥2，定义域就变成了{x||x|≥2}。 8．方程组法要把x整体换成－x。　2f(x)－f(－x)＝x²中换x为－x，得2f(－x)－f(x)＝(－x)²＝x²，右边的x²不变（因为是偶次方），这一步要写出来。 9．f(g(a))先算里层再算外层。　f(x)＝2x＋1，g(x)＝x²，则f(g(2))＝f(4)＝9，g(f(2))＝g(5)＝25，两者完全不同。 10．图象平移与点的对应不要混。　y＝f(x＋3)过点(1，4)，意思是f(1＋3)＝4，即f(4)＝4，所以y＝f(x)过点(4，4)，横坐标是加不是减。 四、题型归纳 题型一　用三种表示法表示同一个函数 例1　某种练习本每本3元，买x（x{1，2，3，4}）本需要y元。用三种表示法表示函数y＝f(x)，并写出定义域与值域。 解析： 　　定义域是{1，2，3，4}。 　　解析法：y＝3x，x{1，2，3，4}。 　　列表法：本数x　1　2　3　4；钱数y　3　6　9　12。 　　图象法：坐标系中的四个孤立点(1，3)、(2，6)、(3，9)、(4，12)。 　　值域是{3，6，9，12}。 方法点拨　三步：先写定义域，再按三种方法各写一遍，最后由定义域逐个代入得值域。值域是有限个数时写成集合，不写成区间。图象一定是孤立的点，不能连线。 题型二　判断一个图形或式子能否表示函数 例2　下列各解析式能够表示函数的是（x为自变量）（　　） 　A．y＝　　B．y＝ 　C．y＝x　　　　　　D．y²＝x 解析： 　　A项：－x²－1＜0恒成立，根式无意义，定义域为空集，不表示函数； 　　B项：x＝0时由两段分别得0与1，一个自变量对应两个值，违反“唯一确定”（各段范围重叠了）； 　　D项：y²＝x中x＝4时y＝±2，一对多，不是函数； 　　C项符合定义。故选C。 方法点拨　三看：一看定义域是不是非空；二看有没有一对多；三看分段时各段范围有没有重叠。图形题用竖线判别法。 题型三　待定系数法求解析式 例3　（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)；（2）已知f(x)是二次函数，f(0)＝2，f(x＋2)－f(x)＝4x，求f(x)。 解析： 　　（1）设f(x)＝ax＋b（a0），则f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a²x＋ab＋b。 　　　　由a²＝4，ab＋b＝3，得a＝2时b＝1，a＝－2时b＝－3。 　　　　所以f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3。 　　（2）设f(x)＝ax²＋bx＋c（a0），由f(0)＝2得c＝2。 　　　　f(x＋2)－f(x)＝a[(x＋2)²－x²]＋b[(x＋2)－x]＝4ax＋4a＋2b＝4x， 　　　　由4a＝4得a＝1，由4a＋2b＝0得b＝－2， 　　　　所以f(x)＝x²－2x＋2。 方法点拨　设、代、解、写四步。第（1）问的关键是a²＝4有两个根，两组都要往下算；第（2）问的关键是把f(x＋2)－f(x)展开后按x的次数对应系数，这是恒等式，两边同次项系数必须相等。 题型四　换元法与配凑法求解析式 例4　（1）已知f(＋1)＝x－4，求f(x)；（2）已知f(x－)＝x²＋，求f(x)；（3）已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)。 解析： 　　（1）换元法。令t＝＋1，则t≥1，且x＝(t－1)²。 　　　　代入得f(t)＝(t－1)²－4， 　　　　所以f(x)＝(x－1)²－4＝x²－2x－3（x≥1）。 　　（2）配凑法。因为x²＋＝(x－)²＋2， 　　　　又x－可以取遍全体实数， 　　　　所以f(x)＝x²＋2（xR）。 　　（3）配凑法。因为x＋2＝(＋1)²－1， 　　　　令t＝＋1，则t≥1，f(t)＝t²－1， 　　　　所以f(x)＝x²－1（x≥1）。 方法点拨　换元法四步：令t、反解x、代回、还原。配凑法一步到位，但要求看得出恒等变形。两种方法都必须交代新元的取值范围，这是定义域，不是可有可无的尾巴。 题型五　方程组法与复合求值 例5　（1）已知2f(x)－f(－x)＝x²，求f(x)；（2）已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝x²，求f(g(2))与g(f(2))；（3）已知f(x)＝，求f(f(2))。 解析： 　　（1）在2f(x)－f(－x)＝x²中把x换成－x，得2f(－x)－f(x)＝x²。 　　　　第一式乘2加第二式，得3f(x)＝3x²， 　　　　所以f(x)＝x²。 　　（2）f(g(2))＝f(4)＝2×4＋1＝9；g(f(2))＝g(5)＝5²＝25。 　　（3）f(2)＝＝，f()＝＝，所以f(f(2))＝。 方法点拨　方程组法的关键是“换x得第二个方程”，换完之后两式是关于f(x)与f(－x)的二元一次方程组，消元即可。复合求值一律先算里层再算外层，f(g(a))与g(f(a))顺序不同结果不同，不要写混。 ★题型六　图象变换与点的对应（优生班） 例6（★）　（1）若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1，4)，则y＝f(x)的图象必经过哪个点？（2）若函数y＝f(x)的图象经过点(2，3)，则y＝f(x－1)＋1的图象必经过哪个点？ 解析： 　　（1）由y＝f(x＋3)过点(1，4)知f(1＋3)＝4，即f(4)＝4， 　　　　所以y＝f(x)的图象过点(4，4)。 　　（2）由f(2)＝3，令x－1＝2得x＝3，此时y＝f(2)＋1＝4， 　　　　所以y＝f(x－1)＋1的图象过点(3，4)。 方法点拨　不要背“左加右减”，直接回到函数值：括号里的整体等于几，就用哪个点。第（1）问是1＋3＝4，第（2）问是x－1＝2。这样做不会记反方向。 五、附：常见书写错误例析 1．换元后不写新元的范围。　由f(＋1)＝x－4得f(x)＝x²－2x－3，后面不加(x≥1)，答案不完整。 2．待定系数法只写一组解。　a²＝4解出a＝±2，只写a＝2的那一组，另一半分数丢掉。 3．换元时反解出错。　由t＝＋1写成x＝t²－1，正确的是先移项＝t－1再平方得x＝(t－1)²。 4．把有限个数的值域写成区间。　y＝3x（x{1，2，3，4}）的值域是{3，6，9，12}，写成[3，12]是错的。 5．画孤立点的图象时连线。　定义域是有限个数，图象只能是孤立的点，连线等于凭空造出了不存在的函数值。 6．复合求值把顺序写反。　f(g(2))与g(f(2))不是一回事，先算里层是规矩。 7．方程组法换x时右边跟着变。　2f(x)－f(－x)＝x²中换x为－x，右边(－x)²仍是x²；若右边是x³，换完就变成－x³，这一步不能想当然。 六、与考试的对应 月考与期中：本课时的落点主要在求解析式。选择填空里常见的是“已知f(2x＋1)＝x²求f(3)”这类先换元再代入的题，以及“y＝f(x＋3)过某点求y＝f(x)过哪个点”。解答题里求解析式一般是第一问，后面接着问单调性或值域，第一问算错整题作废。三种表示法本身很少单独命题，但会以“下列图形能表示函数的是”这类选择题出现。 期末与高考：求解析式是工具不是考点，真正考的是把它嵌进别的问题里。抽象函数题常用方程组法开局；实际应用题要求先建立函数关系（本质是求解析式）再求最值。判断图象是不是函数图象在高考里几乎不单独出，但在读图题里天天用。 为后续铺垫：下一课时的分段函数就是“用不同的式子表示同一个对应关系”，是三种表示法里解析法的延伸；3.2讲单调性要用到图象法的直观；第四、五章的指数函数、对数函数、三角函数都要先给解析式再研究性质，本课时的四种方法会一直用下去。 七、初高中衔接与教学提醒 学生的初中基础　初中画过一次函数、二次函数的图象，对解析式最熟悉，对列表法和图象法只有零散印象，没有把三者放在一起比较过。求解析式在初中只做过待定系数法一种。 最大的认知障碍　“函数就是式子”这个直觉。要靠问题3的曲线、问题4的表格反复冲击，光讲一遍不够。 进度建议　复习回顾3分钟、三种表示法12分钟、表示法比较7分钟、求解析式18分钟、检测与小结5分钟。求解析式那18分钟是重头，四法各一题，前两题教师板书，后两题学生板演。 两班分层　优生班：四法全讲，加图象变换（例6）和f(x＋1/x)型的范围陷阱；普通班：方程组法只作介绍不要求当堂独立完成，重点保住待定系数、换元、配凑三法。 当堂过关项　三种表示法各举一例；四法认信号口答；换元法“令t、反解、代回、还原”四步复述。 需要预告的后续联系　讲完三种表示法可以说一句：下节课要学的分段函数，就是在不同区间用不同的式子写同一个函数。不要展开。 八、题型精练（附详解） 一、选择题 1．若f(2x＋1)＝x²，则f(3)＝（　　）　A．1　B．9　C．4　D． 2．已知f(x)满足f(2x)＝4x²＋2x，则f(x)＝（　　） 　A．2x²＋x　B．x²＋2x　C．2x²＋2x　D．x²＋x 3．若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1，4)，则y＝f(x)的图象必经过点（　　） 　A．(－2，4)　B．(1，1)　C．(4，4)　D．(1，7) 4．下列各解析式能够表示函数的是（x为自变量）（　　） 　A．y＝　B．y²＝x　C．y＝x　D．|y|＝x 5．已知f(x)＝，则f(f(2))＝（　　）　A．　B．　C．　D．3 6．（多选）已知函数f(x)＝2x，x{1，2，3，4，5}，则下列说法正确的是（　　） 　A．f(x)的图象是一条直线　　B．f(x)的图象是五个孤立点 　C．f(x)的值域是{2，4，6，8，10}　D．f(x)的最大值是10 二、填空题 7．若f(x－)＝x²＋，则f(x)＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 8．已知f(x)＝2x＋1，g(x)＝x²，则f(g(2))＝＿＿＿＿，g(f(2))＝＿＿＿＿。 9．函数y＝x²－3，x{－2，－1，0，1，2}的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿。 三、解答题 10．求下列函数的解析式：（1）f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4；（2）f(＋1)＝x＋2。 11．已知f(x－1)＝x²＋2x，求f(x)，并求f(2)的值。 12．（★）已知2f(x)＋f()＝3x（x0），求f(x)。 参考答案与详解 1．A。　令2x＋1＝3，得x＝1，所以f(3)＝1²＝1。误选B是把3直接代入x²；误选D是解错了2x＋1＝3。 2．D。　令t＝2x，则x＝，f(t)＝4×＋2×＝t²＋t，所以f(x)＝x²＋x。误选A是把4x²＋2x整体除以2。 3．C。　由f(1＋3)＝4得f(4)＝4，所以y＝f(x)过点(4，4)。误选A是把方向记反了。 4．C。　A项被开方数恒为负，定义域为空集；B项x＝4时y＝±2，一对多；D项x＝4时y＝±4，同样一对多。C项符合定义。 5．A。　f(2)＝＝；f()＝＝。误选C是只算了一层。 6．BCD。　定义域只有五个整数，图象是五个孤立的点，不是直线，A项错；值域是{2，4，6，8，10}，最大值为10，B、C、D都正确。 7．　x²＋2（xR）。因为x²＋＝(x－)²＋2；又x－可以取遍全体实数，所以定义域是R。 8．　9；25。f(g(2))＝f(4)＝9，g(f(2))＝g(5)＝25。先算里层，再算外层，顺序不同结果不同。 9．　{－3，－2，1}。五个自变量代入得1、－2、－3、－2、1，重复的只写一次。 10． 　　（1）设f(x)＝ax＋b（a0），则f(f(x))＝a²x＋ab＋b＝9x＋4。 　　　　由a²＝9得a＝3或a＝－3； 　　　　a＝3时4b＝4，b＝1；a＝－3时－2b＝4，b＝－2。 　　　　所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2。（两解都要写。） 　　（2）因为x＋2＝(＋1)²－1， 　　　　令t＝＋1，则t≥1，f(t)＝t²－1， 　　　　所以f(x)＝x²－1（x≥1）。（漏掉x≥1要扣分。） 11． 　　令t＝x－1，则x＝t＋1， 　　f(t)＝(t＋1)²＋2(t＋1)＝t²＋2t＋1＋2t＋2＝t²＋4t＋3， 　　所以f(x)＝x²＋4x＋3（xR）； 　　f(2)＝4＋8＋3＝15。 12． 　　在2f(x)＋f()＝3x中把x换成，得2f()＋f(x)＝。 　　第一式乘2减第二式，得3f(x)＝6x－， 　　所以f(x)＝2x－（x0）。 　　（换元时把x整体换成，右边的3x也要跟着变成，这一步最容易漏。） 学科网（北京）股份有限公司 $