学易金卷：高二数学上学期第一次月考（浙江专用，人教A版选修第一册第1～2章：空间向量与立体几何+直线与圆）

**基本信息** 聚焦人教A版选修第一册前两章，以直线方程、圆与空间向量为核心，通过正方体动点轨迹、曲率概念应用等创新情境，考查空间观念与逻辑推理，适配高二月考基础巩固与能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|直线倾斜角、圆的切线|基础计算与概念辨析，如过两点直线倾斜角| |选择题（多选）|3/18|向量性质、立体几何|多维度考查综合应用，如平行六面体中向量关系| |填空题|3/15|直线方程、圆的存在性|开放与抽象结合，如圆上满足条件的点| |解答题|5/77|空间垂直证明、轨迹方程|分层设计，19题引入曲率新情境，考查创新思维与数学表达|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B B B C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．9，（满足即可，答案不唯一） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【答案】(1)；(2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即；（5分） （2）∵直线化简得：， 令，解得，∴定点，（8分） 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为.（13分） 16．（15分）【答案】(1)圆心坐标为，半径为;(2)或 【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. 【详解】（1）由题意：. 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径.（5分） （2）因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或.（12分） 所以直线的方程为：或.（15分） 17．（15分）【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，，，，，，， ，， 所以， 所以，故； （7分） （2），， 所以，（9分） ，， 所以，（11分） 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为（15分） 18．（17分）【答案】(1)或；(2)相交； 【知识点】判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或.（8分） （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长.（17分） 19．【答案】(1)取的中点F，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面．（7分） (2)①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面．（12分） ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 尝 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 箭 12 妇 14 ! ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D C B D C A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 3．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知动直线与圆相交于，两点，若线段上一点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 11．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点且与直线垂直的直线方程为__________. 13．已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 14．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程；(2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 16．已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 17．在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 18．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 19．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 3．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知动直线与圆相交于，两点，若线段上一点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 11．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点且与直线垂直的直线方程为__________. 13．已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 14．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程；(2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 16．已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 17．在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 18．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 19．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】先求斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】由题意得，直线的斜率为， 因直线的倾斜角取值范围为，故直线的倾斜角为. 故选：C 2．已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离 【分析】根据点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解． 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 3．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 4．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离. 【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为. 由题意可得， 可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 6．已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】如图所示，取的中点，分别记为，，连接，根据题意分析出当圆锥底面与正六边形相内切时，圆锥底面积最大，结合正方体性质计算即可. 【详解】如图所示，取的中点，分别记为，， 连接. 根据正方体的性质易知六边形为正六边形， 此时的中点为该正六边形的中心，且平面， 当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大. 设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以， 所以，圆锥的底面积，圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是由正方体的性质确定圆锥底面面积最大值，根据正六边形的性质求出圆锥的底面半径. 7．已知动直线与圆相交于，两点，若线段上一点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】法一：根据题设有、且，应用向量数量积的运算律求轨迹方程；法二：设，由的坐标表示及已知求轨迹方程. 【详解】法一：设，若为原点，由，得， 因为在圆上，所以，连接，    由，得， 故，故动点的轨迹方程为． 法二：设，则由，得，得， ①②同时平方并相加，得． 又在圆上，， 所以，得， 故动点的轨迹方程为． 故选：A 8．如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心，结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断C. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【答案】AC 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 11．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 【答案】ABD 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、切点弦及其方程 【分析】对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到；对于B：当与圆相切且直线时，最大，计算此时的即可；对于C：当直线时，最小，计算此时的四边形面积即可；对于D：当直线时，最小，利用以线段为直径的圆与圆的相交弦直线即为直线的方程，两圆作差即得到此时的直线的方程. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：当与圆相切且直线时，最大， 此时，，，，故B正确； 选项C：由， 当与直线垂直，最小，最小， ， ，故C错误； 选项D：由题意知，则， ，即， ， ， 当最小，取得最小值，此时垂直于直线， 所以直线方程为.，联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即为四边形的外接圆，方程为， 由四边形的外接圆与圆相交于， 两圆方程相减即为的方程，故D正确.    故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点且与直线垂直的直线方程为__________. 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】与直线垂直的直线方程可设为，代入点的坐标求出参数即可. 【详解】设所求直线为，又直线过点， 所以，解得，所以所求直线方程为，即， 所以，过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 13．已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可） 【答案】9，（满足即可，答案不唯一） 【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据，可得点P的轨迹方程，又点P在圆C上，所以点P为两圆的交点，根据圆与圆的位置关系，即可得答案. 【详解】因为，， 所以点P的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆， 则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且， 所以，解得. 14．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则_________． 【答案】 【知识点】平面向量综合 【分析】将向量两边平方，然后转化成求代数式的最小值，最后求解出即可. 【详解】已知，是空间单位向量，，. 因为对于任意，都有， 则当时，取得最小值. 记， 当时，有最小值，且. ，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程；(2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1)；(2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； （2）∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 16．已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. 【详解】（1）由题意：. 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径. （2）因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或. 所以直线的方程为：或. 17．在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 18．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或；(2)相交； 【知识点】判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 19．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)取的中点F，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面． ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $