第三章代数式单元进阶卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

2026~2027 学年人教版七年级上册数学第三章代数式单元进阶卷 （考试时间：90 分钟　　满分：100 分） 班级：＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．用代数式表示“x 的平方与 x 的 3 倍的差”，结果是（　　） A．3x−x² B．x²−3x C．x²−3 D．(x−3)² 2．某品牌运动鞋的原价是 a 元，商店开展促销，按原价打八折出售，则每双运动鞋的售价是（　　） A．0.2a 元 B．8a 元 C．0.8a 元 D．0.08a 元 3．当 a＝ 时，代数式 3a−1 的值是（　　） A．0 B．1 C．−1 D． 4．一个三位数，百位上的数字是 a，十位上的数字是 b，个位上的数字是 c，则这个三位数是（　　） A．abc B．a＋b＋c C．100a＋10b＋c D．100c＋10b＋a 5．已知 |a−2|＝0，则代数式 a²＋1 的值是（　　） A．1 B．3 C．5 D．4 6．下面各组量中，两个量之间成正比例关系的是（　　） A．圆的周长与它的半径 B．三角形的面积一定，它的底边长与这条底边上的高 C．一段路程一定，行走的速度与所用的时间 D．长方形的面积一定，它的长与宽 7．已知 x²＝9，则代数式 2x−1 的值是（　　） A．5 B．−7 C．5 或 −7 D．5 或 7 8．甲、乙两地相距 s 千米，一辆汽车从甲地出发开往乙地，速度是每小时 v 千米．行驶 t 小时后，汽车离乙地还有（　　） A．(s−vt) 千米 B．(vt−s) 千米 C．(s−v) 千米 D． 千米 9．小明用同样大小的小正方形卡片按如图的规律摆图形：第 1 个图形摆 1 行，每行 1 张；第 2 个图形摆 2 行，每行 2 张；第 3 个图形摆 3 行，每行 3 张……按这个规律，第 n 个图形需要的小正方形卡片张数是（　　） A．2n−1 B．3n−2 C．n² D．(n＋1)² 10．已知 2a−b＝3，则代数式 8a−4b−1 的值是（　　） A．23 B．11 C．5 D．2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知 a−b＝3，则代数式 的值是＿＿＿＿＿＿． 12．某商店上个月的营业额是 m 万元，本月的营业额比上个月的 2 倍还多 3 万元，则本月的营业额是＿＿＿＿＿＿万元． 13．一个三角形的底边长是 a，这条底边上的高是 h，用代数式表示这个三角形的面积是＿＿＿＿＿＿． 14．数轴上点 A 表示的数是 a，点 B 表示的数是 −3，且点 A 在点 B 的右边，则 A、B 两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿（用含 a 的式子表示）． 15．把 26 个英文字母按顺序依次编号：a→1，b→2，c→3，…，z→26．密码的破译规则是：密文中的数 x 所对应的明文字母，是编号为 27−x 的字母．若收到的密文是“20　12　12　23”，则破译后得到的英文单词是＿＿＿＿＿＿． 16．下面是一列按某种规律排列的数：2，5，10，17，26，…．按照这个规律，第 n 个数是＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分．解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（8 分）某文具店中，钢笔每支 x 元，笔记本每本的单价都比钢笔便宜 6 元． （1）用含 x 的代数式表示笔记本每本的单价； （2）小丽买了 3 支钢笔和 4 本笔记本，用含 x 的代数式表示她一共花的钱数； （3）当 x＝10 时，求小丽一共花的钱数． 18．（8 分）已知 a＋b＝4，ab＝−3． （1）求代数式 2a＋2b 的值； （2）求代数式 ab＋a＋b 的值； （3）求代数式 5ab−2a−2b 的值． 19．（8 分）如图，一张长方形硬纸片 ABCD，AB＝a cm，BC＝b cm．在它的四个角上各剪去一个边长为 c cm 的小正方形（图中虚线部分），再把四周剩余的部分沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子． （1）用含 a、b、c 的代数式分别表示这个盒子底面的长和宽； （2）用含 a、b、c 的代数式表示这个盒子的容积； （3）当 a＝20，b＝15，c＝3 时，求这个盒子的容积． 20．（8 分）当 m＝−1，n＝4 时，求下列各代数式的值： （1）m³−n； （2）(m−n)²； （3）． 21．（10 分）数学活动——拼图小游戏：用长度相同的小棒依次摆成成排的正方形（相邻的两个正方形共用一条边），如图所示．摆成 1 个正方形要用 4 根小棒，摆成 2 个正方形要用 7 根小棒，摆成 3 个正方形要用 10 根小棒． （1）按照这个规律，摆成 5 个正方形要用多少根小棒？ （2）用含 n 的代数式表示摆成 n 个正方形需要小棒的根数； （3）第 n 个图形比第 (n−1) 个图形多用多少根小棒？ （4）如果摆成某个图形恰好用了 2026 根小棒，那么这个图形中共有多少个正方形？ 22．（10 分）数学活动——拼图小游戏：用大小相同的小正方形按如图的方式摆成阶梯形．第 1 个图形有 1 个小正方形，第 2 个图形有 3 个小正方形，第 3 个图形有 6 个小正方形，第 4 个图形有 10 个小正方形． （1）按照这个规律，第 5 个图形有多少个小正方形？ （2）用含 n 的代数式表示第 n 个图形中小正方形的个数； （3）第 n 个图形比第 (n−1) 个图形多多少个小正方形？ （4）如果某个图形恰好用了 55 个小正方形，那么它是第几个图形？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027 学年人教版七年级上册数学第三章代数式单元进阶卷 参考答案与详细解析 一、答案速查 选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C C A C A C B 填空题（每小题 3 分，共 18 分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 2 (2m＋3) ah（写成 也可以） a＋3 good n²＋1 二、逐题详细解析 （一）选择题 1．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（列代数式）】 题目：用代数式表示“x 的平方与 x 的 3 倍的差”，结果是（　　） A．3x−x²　B．x²−3x　C．x²−3　D．(x−3)² 【答案】B 【解析】 x 的平方是 x²，x 的 3 倍是 3x． “x 的平方与 x 的 3 倍的差”，就是 x² 减去 3x，按题目的叙述顺序列式得 x²−3x． 取 x＝2 检验：x²＝4，3x＝6，它们的差是 4−6＝−2，而 x²−3x＝4−6＝−2，符合题意． 所以选 B． 【易错提醒】列代数式时要看清“谁减谁”：题目先说的量写在前面；另外 x² 表示 x·x，与 2x 完全不同，不要写混． 2．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（实际情境中的列代数式）】 题目：某品牌运动鞋的原价是 a 元，商店开展促销，按原价打八折出售，则每双运动鞋的售价是（　　） A．0.2a 元　B．8a 元　C．0.8a 元　D．0.08a 元 【答案】C 【解析】 “打八折”就是按原价的 80% 出售． 原价是 a 元，所以售价是 a×80%＝a×0.8＝0.8a（元）． 所以选 C． 【易错提醒】“打几折”是按原价的百分之几十出售，不是降价百分之几十；打八折是降价 20%，所以不能用 0.2a． 3．　　　【知识点：3.2 代数式的值（代入求值的基本步骤）】 题目：当 a＝ 时，代数式 3a−1 的值是（　　） A．0　B．1　C．−1　D． 【答案】A 【解析】 把 a＝ 代入 3a−1，得 3×−1＝1−1＝0． 所以选 A． 【易错提醒】把字母换成数字时，原来省略的乘号要补上；3× 中的 3 与分母 3 可以先约分，计算更简便． 4．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（列代数式表示数）】 题目：一个三位数，百位上的数字是 a，十位上的数字是 b，个位上的数字是 c，则这个三位数是（　　） A．abc　B．a＋b＋c　C．100a＋10b＋c　D．100c＋10b＋a 【答案】C 【解析】 百位上的数字 a 表示 a 个百，也就是 100a； 十位上的数字 b 表示 b 个十，也就是 10b； 个位上的数字 c 表示 c 个一，也就是 c． 所以这个三位数是 100a＋10b＋c． 取 a＝2，b＝5，c＝8 检验：100a＋10b＋c＝200＋50＋8＝258，与三位数 258 相符，说明结果正确． 所以选 C． 【易错提醒】abc 表示 a、b、c 三个数相乘，它不是一个三位数；D 项把数位顺序写反了，只有 100a＋10b＋c 与百位、十位、个位一一对应． 5．　　　【知识点：3.2 代数式的值（含绝对值条件的求值）】 题目：已知 |a−2|＝0，则代数式 a²＋1 的值是（　　） A．1　B．3　C．5　D．4 【答案】C 【解析】 因为一个数的绝对值等于 0，只有 0 本身的绝对值是 0， 所以 a−2＝0，解得 a＝2． 把 a＝2 代入 a²＋1，得 a²＋1＝2²＋1＝4＋1＝5． 所以选 C． 【易错提醒】|a−2|＝0 不能得到 a＝±2，只有“|a−2|＝2”这类条件才有两个解；要把绝对值为 0 与绝对值为正数这两种情况区分清楚． 6．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（正比例和反比例关系）】 题目：下面各组量中，两个量之间成正比例关系的是（　　） A．圆的周长与它的半径　B．三角形的面积一定，它的底边长与这条底边上的高　C．一段路程一定，行走的速度与所用的时间　D．长方形的面积一定，它的长与宽 【答案】A 【解析】 A：圆的周长＝2π×半径，周长与半径的比值固定是 2π，这两个量成正比例关系； B：三角形的面积＝×底×高，面积一定时，底边长与高的乘积一定，这两个量成反比例关系； C：路程＝速度×时间，路程一定时，速度与时间的乘积一定，这两个量成反比例关系； D：长方形的面积＝长×宽，面积一定时，长与宽的乘积一定，这两个量成反比例关系． 所以选 A． 【易错提醒】判断两个量成什么比例，先把它们的关系式写出来：比值一定就成正比例，乘积一定就成反比例；不要只凭“一个变大另一个变小”就断定成反比例． 7．　　　【知识点：3.2 代数式的值（含乘方条件的分类求值）】 题目：已知 x²＝9，则代数式 2x−1 的值是（　　） A．5　B．−7　C．5 或 −7　D．5 或 7 【答案】C 【解析】 由 x²＝9 得 x＝3 或 x＝−3，需要分两种情况计算． 当 x＝3 时，2x−1＝2×3−1＝6−1＝5； 当 x＝−3 时，2x−1＝2×(−3)−1＝−6−1＝−7． 所以代数式 2x−1 的值是 5 或 −7． 所以选 C． 【易错提醒】由平方条件求字母的值时，正、负两种情况都要考虑到，只取正数就会漏解；代入负数时一定要加括号，2×(−3) 与 −2×3 的结果虽然相同，但 (−3)² 与 −3² 完全不同． 8．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（实际情境中的列代数式）】 题目：甲、乙两地相距 s 千米，一辆汽车从甲地出发开往乙地，速度是每小时 v 千米．行驶 t 小时后，汽车离乙地还有（　　） A．(s−vt) 千米　B．(vt−s) 千米　C．(s−v) 千米　D． 千米 【答案】A 【解析】 汽车每小时行驶 v 千米，t 小时一共行驶了 vt 千米． 两地相距 s 千米，已经行驶 vt 千米，所以离乙地还有 (s−vt) 千米． 取 s＝100，v＝60，t＝1 检验：已经行驶 60 千米，剩下的路程是 100−60＝40（千米），与 s−vt＝100−60×1＝40 相符． 所以选 A． 【易错提醒】“还剩多少路程”要用总路程减去已经行驶的路程；代数式后面带单位时，代数式本身要加括号，写成 (s−vt) 千米． 9．　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（图形规律探索）】 题目：小明用同样大小的小正方形卡片按如图的规律摆图形：第 1 个图形摆 1 行，每行 1 张；第 2 个图形摆 2 行，每行 2 张；第 3 个图形摆 3 行，每行 3 张……按这个规律，第 n 个图形需要的小正方形卡片张数是（　　） A．2n−1　B．3n−2　C．n²　D．(n＋1)² 【答案】C 【解析】 从图中可以直接看出前三个图形用的卡片张数： 第 1 个图形摆 1 行、每行 1 张，用了 1 张卡片； 第 2 个图形摆 2 行、每行 2 张，用了 2×2＝4（张）卡片； 第 3 个图形摆 3 行、每行 3 张，用了 3×3＝9（张）卡片． 把这三个数与图形序号对照：1＝1²，4＝2²，9＝3²，可以看出第几个图形用的张数就是这个序号的平方． 所以第 n 个图形需要的小正方形卡片张数是 n²． 检验：第 4 个图形摆 4 行、每行 4 张，需要 4×4＝16（张），而 n²＝4²＝16，符合规律． 所以选 C． 【易错提醒】本题给出的数据 1、4、9 只写了三项，很容易被误看成“相差 3、5”的数列，从而错选 A（2n−1 对应 1、3、5、7，第二个数就不是 4 了）；找规律时至少要写出四项数据，再检验所写的代数式是否每一项都符合． 10．　　　【知识点：3.2 代数式的值（整体代入求值）】 题目：已知 2a−b＝3，则代数式 8a−4b−1 的值是（　　） A．23　B．11　C．5　D．2 【答案】B 【解析】 观察两个式子可以发现，8a−4b 正好是 2a−b 的 4 倍：8a−4b＝4(2a−b)． 因为 2a−b＝3，所以 8a−4b＝4×3＝12． 所以 8a−4b−1＝12−1＝11． 所以选 B． 【易错提醒】整体代入的关键是先找“倍数关系”：把要求的式子写成含已知式子的形式，再把已知式子的值整体代进去；本题不必（也无法）分别求出 a、b 的值． （二）填空题 11．（3 分）　　　【知识点：3.2 代数式的值（整体代入求值）】 题目：已知 a−b＝3，则代数式 的值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】2 【解析】 观察这个式子的分子可以发现，2a−2b 正好是 a−b 的 2 倍：2a−2b＝2(a−b)． 因为 a−b＝3，所以 2a−2b＝2×3＝6． 所以 ＝＝2． 【易错提醒】分子 2a−2b 与条件 a−b 之间是 2 倍关系，要先把分子写成含 a−b 的形式再整体代入；不要试图分别求出 a 和 b 的值． 12．（3 分）　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（实际情境中的列代数式）】 题目：某商店上个月的营业额是 m 万元，本月的营业额比上个月的 2 倍还多 3 万元，则本月的营业额是＿＿＿＿＿＿万元． 【答案】(2m＋3) 【解析】 上个月的营业额是 m 万元，它的 2 倍是 2m 万元． 本月的营业额比 2m 万元还多 3 万元，所以本月的营业额是 (2m＋3) 万元． 取 m＝10 检验：上个月 10 万元，本月比 20 万元多 3 万元，即 23 万元，与 2m＋3＝2×10＋3＝23 相符． 【易错提醒】“比……的几倍多几”要先写“几倍”，再加上“多的部分”；代数式后面带单位时不要忘了加括号，写成 (2m＋3) 万元． 13．（3 分）　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（几何图形中的列代数式）】 题目：一个三角形的底边长是 a，这条底边上的高是 h，用代数式表示这个三角形的面积是＿＿＿＿＿＿． 【答案】ah（写成 也可以） 【解析】 三角形的面积等于“底×高÷2”． 底边长是 a、这条底边上的高是 h，所以面积是 a×h÷2． 按照代数式的书写规范，a×h 要写成 ah，“除以 2”要写成分数形式，于是面积是 ah． 写成 也表示同一个代数式． 【易错提醒】三角形面积公式中的“÷2”最容易漏掉；把除法写成分数形式后，ah 与 是同一个代数式，但不要写成 ah÷2． 14．（3 分）　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（数轴上的列代数式）】 题目：数轴上点 A 表示的数是 a，点 B 表示的数是 −3，且点 A 在点 B 的右边，则 A、B 两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿（用含 a 的式子表示）． 【答案】a＋3 【解析】 数轴上两点之间的距离，等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 因为点 A 在点 B 的右边，所以 A、B 两点之间的距离是 a−(−3)． 减去一个数等于加上这个数的相反数，所以 a−(−3)＝a＋3． 即 A、B 两点之间的距离是 a＋3． 【易错提醒】数轴上两点间的距离＝右边的数−左边的数，顺序不能颠倒；减去 −3 等于加上 3，所以答案是 a＋3，不要写成 a−3． 15．（3 分）　　　【知识点：数学活动：密码中的数学（用代数式表示破译规则）】 题目：把 26 个英文字母按顺序依次编号：a→1，b→2，c→3，…，z→26．密码的破译规则是：密文中的数 x 所对应的明文字母，是编号为 27−x 的字母．若收到的密文是“20　12　12　23”，则破译后得到的英文单词是＿＿＿＿＿＿． 【答案】good 【解析】 密文中的数是 20，27−20＝7，字母表中第 7 个字母是 g； 密文中的数是 12，27−12＝15，字母表中第 15 个字母是 o； 密文中第二个数是 12，同样得到 o； 密文中的数是 23，27−23＝4，字母表中第 4 个字母是 d． 把这四个字母依次连起来，得到的英文单词是 good． 【易错提醒】破译规则是一个含字母的代数式：明文字母的序号＝27−x．先把每个密文数代入这个式子求出序号，再到字母表中数出字母；数序号时把 a～m、n～z 分成两段，可以减少数错． 16．（3 分）　　　【知识点：3.1 列代数式表示数量关系（数式规律探索）】 题目：下面是一列按某种规律排列的数：2，5，10，17，26，…．按照这个规律，第 n 个数是＿＿＿＿＿＿． 【答案】n²＋1 【解析】 先看相邻两个数的差：5−2＝3，10−5＝5，17−10＝7，26−17＝9． 这些差依次是 3、5、7、9，不是固定的数，说明这列数不能写成 an＋b 的形式． 换一个角度，把这列数与平方数对照： 2＝1²＋1，5＝2²＋1，10＝3²＋1，17＝4²＋1，26＝5²＋1． 可以看出，第几个数就是“几的平方加 1”． 所以第 n 个数是 n²＋1． 检验：当 n＝6 时，n²＋1＝36＋1＝37，而这列数中第 6 个数应是 26＋11＝37，符合规律． 【易错提醒】相邻两数的差依次是 3、5、7、9（连续奇数）时，这列数通常与平方数有关；把每个数与 1²、2²、3² 逐一对照，就能看出“n²＋1”的规律，不要停留在“差在变大”这一层． （三）解答题 17．（8 分）　　　【知识点：3.1 列代数式 + 3.2 代数式的值（实际情境综合）】 题目：某文具店中，钢笔每支 x 元，笔记本每本的单价都比钢笔便宜 6 元． （1）用含 x 的代数式表示笔记本每本的单价； （2）小丽买了 3 支钢笔和 4 本笔记本，用含 x 的代数式表示她一共花的钱数； （3）当 x＝10 时，求小丽一共花的钱数． 【答案】（1）(x−6) 元；（2）3x＋4(x−6) 元；（3）3×10＋4×(10−6)＝30＋16＝46（元）． 【解析】 （1）钢笔每支 x 元，笔记本每本比钢笔便宜 6 元，所以笔记本每本的单价是 (x−6) 元． （2）3 支钢笔需要 3x 元； 4 本笔记本需要 4(x−6) 元． 所以小丽一共花的钱数是 3x＋4(x−6) 元． （3）当 x＝10 时， 3x＋4(x−6)＝3×10＋4×(10−6)＝30＋4×4＝30＋16＝46． 所以小丽一共花了 46 元． 【易错提醒】第（1）问求出的“笔记本单价”是隐藏条件，第（2）问列式时必须用它；代入求值时要先算括号里的 10−6，再算乘法，最后算加法，运算顺序错了就会得到错误的答案． 18．（8 分）　　　【知识点：3.2 代数式的值（整体代入求值）】 题目：已知 a＋b＝4，ab＝−3． （1）求代数式 2a＋2b 的值； （2）求代数式 ab＋a＋b 的值； （3）求代数式 5ab−2a−2b 的值． 【答案】（1）8；（2）1；（3）−23． 【解析】 （1）2a＋2b 是 a＋b 的 2 倍，所以 2a＋2b＝2(a＋b)． 因为 a＋b＝4，所以 2a＋2b＝2×4＝8． （2）把 a＋b＝4、ab＝−3 整体代入，得 ab＋a＋b＝−3＋4＝1． （3）先看 −2a−2b，它是 a＋b 的 −2 倍，所以 −2a−2b＝−2(a＋b)＝−2×4＝−8． 再把 ab＝−3 代入，得 5ab−2a−2b＝5×(−3)＋(−8)＝−15−8＝−23． 【易错提醒】整体代入的第一步是“找倍数”：把要求的式子写成含已知式子的形式，再整体代进去；本题不需要分别求出 a、b 的值．第（3）小题中 −2a−2b 是一个负数，计算时不要漏掉负号。 19．（8 分）　　　【知识点：3.1 列代数式 + 3.2 代数式的值（几何图形中的列式与求值）】 题目：如图，一张长方形硬纸片 ABCD，AB＝a cm，BC＝b cm．在它的四个角上各剪去一个边长为 c cm 的小正方形（图中虚线部分），再把四周剩余的部分沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子． （1）用含 a、b、c 的代数式分别表示这个盒子底面的长和宽； （2）用含 a、b、c 的代数式表示这个盒子的容积； （3）当 a＝20，b＝15，c＝3 时，求这个盒子的容积． 【答案】（1）底面的长是 (a−2c) cm，宽是 (b−2c) cm；（2）容积是 c(a−2c)(b−2c) cm³；（3）3×(20−2×3)×(15−2×3)＝3×14×9＝378（cm³）． 【解析】 （1）四个角各剪去一个边长为 c cm 的小正方形后，底面的长边两端各被剪去 c cm， 所以底面的长是 a−2c（cm）；同理，底面的宽是 b−2c（cm）． （2）沿虚线折起后，盒子的高就是剪去的小正方形的边长，即 c cm． 长方体盒子的容积＝长×宽×高，所以容积是 c(a−2c)(b−2c)（cm³）． （3）当 a＝20，b＝15，c＝3 时， a−2c＝20−2×3＝14（cm），b−2c＝15−2×3＝9（cm）． 容积＝3×14×9＝378（cm³）． 所以这个盒子的容积是 378 cm³． 【易错提醒】“底面的长比原来少 2 个 c、宽也比原来少 2 个 c”是本题的关键，只减一个 c 是最常见的错误；盒子的高等于剪去的小正方形的边长 c，不要漏乘．求容积时先分别算出长和宽，再把三个数相乘． 20．（8 分）　　　【知识点：3.2 代数式的值（含负数、分数、乘方的分步求值）】 题目：当 m＝−1，n＝4 时，求下列各代数式的值： （1）m³−n； （2）(m−n)²； （3）． 【答案】（1）−5；（2）25；（3）−． 【解析】 （1）当 m＝−1 时，m³＝(−1)³＝−1． 所以 m³−n＝−1−4＝−5． （2）当 m＝−1，n＝4 时，m−n＝−1−4＝−5． 所以 (m−n)²＝(−5)²＝(−5)×(−5)＝25． （3）当 m＝−1，n＝4 时， m−n＝−1−4＝−5，m＋n＝−1＋4＝3． 所以 ＝＝−． 【易错提醒】代入负数时一定要加括号：(−1)³＝−1，(−5)²＝25；求分数的值时，负号通常写在分数前面，结果要写成 −，这一步的书写也算分。 21．（10 分）　　　【知识点：数学活动：拼图小游戏（图形规律探究与代数式应用）】 题目：数学活动——拼图小游戏：用长度相同的小棒依次摆成成排的正方形（相邻的两个正方形共用一条边），如图所示．摆成 1 个正方形要用 4 根小棒，摆成 2 个正方形要用 7 根小棒，摆成 3 个正方形要用 10 根小棒． （1）按照这个规律，摆成 5 个正方形要用多少根小棒？ （2）用含 n 的代数式表示摆成 n 个正方形需要小棒的根数； （3）第 n 个图形比第 (n−1) 个图形多用多少根小棒？ （4）如果摆成某个图形恰好用了 2026 根小棒，那么这个图形中共有多少个正方形？ 【答案】（1）16 根；（2）(3n＋1) 根；（3）3 根；（4）675 个． 【解析】 （1）每多摆 1 个正方形，只需要添 3 根小棒（相邻的两个正方形共用一条边）． 摆成 4 个要用 10＋3＝13（根），摆成 5 个要用 13＋3＝16（根）． 所以摆成 5 个正方形要用 16 根小棒． （2）把每一个数据都写成“3 的倍数加 1”的形式： 4＝3×1＋1，7＝3×2＋1，10＝3×3＋1，13＝3×4＋1…… 正方形的个数是几，就是 3 乘几再加 1． 所以摆成 n 个正方形需要 (3n＋1) 根小棒． （3）因为每多摆 1 个正方形只多添 3 根小棒， 所以第 n 个图形比第 (n−1) 个图形多用 3 根小棒． （4）设这个图形中共有 n 个正方形，则 3n＋1＝2026． 3n＝2026−1＝2025，所以 n＝2025÷3＝675． 所以这个图形中共有 675 个正方形． 【易错提醒】找规律时把每个数据写成“几的倍数加几”的形式，倍数与图形的序号就对应起来了；第（4）问是“由结果反推序号”，要把第（2）问得到的代数式等于 2026 列出来求解，不能再去数图形；注意 2026 要先减去 1 再除以 3． 22．（10 分）　　　【知识点：数学活动：拼图小游戏（图形规律探究与代数式应用）】 题目：数学活动——拼图小游戏：用大小相同的小正方形按如图的方式摆成阶梯形．第 1 个图形有 1 个小正方形，第 2 个图形有 3 个小正方形，第 3 个图形有 6 个小正方形，第 4 个图形有 10 个小正方形． （1）按照这个规律，第 5 个图形有多少个小正方形？ （2）用含 n 的代数式表示第 n 个图形中小正方形的个数； （3）第 n 个图形比第 (n−1) 个图形多多少个小正方形？ （4）如果某个图形恰好用了 55 个小正方形，那么它是第几个图形？ 【答案】（1）15 个；（2） 个；（3）n 个；（4）第 10 个图形． 【解析】 （1）相邻两个图形中小正方形个数的差依次是 3−1＝2，6−3＝3，10−6＝4， 所以第 5 个图形比第 4 个图形多 5 个，共有 10＋5＝15（个）小正方形． （2）把这列数写成“两个连续整数的乘积的一半”的形式： 1＝，3＝，6＝，10＝，15＝． 可以看出，第 1 个图形是 ，第 2 个图形是 …… 所以第 n 个图形中小正方形的个数是 ． （3）从第 5 个图形比第 4 个图形多 15−10＝5（个）可以看出，第 n 个图形比第 (n−1) 个图形多 n 个小正方形． （也可以这样想：第 n 个图形比第 (n−1) 个图形多出的正好是新增加的一层，这一层有 n 个小正方形．） （4）设这个图形是第 n 个，则 ＝55， 所以 n(n＋1)＝110．因为 10×11＝110，所以 n＝10． 所以这个图形是第 10 个图形． 【易错提醒】数据 1、3、6、10 相邻两项的差依次是 2、3、4，不是固定值，不能写成 an＋b 的形式；把每个数看成“两个连续整数乘积的一半”是突破点．第（4）问是反推，先把代数式等于 55 列出来，再利用 10×11＝110 求解，不必把 n 逐项试一遍． 学科网（北京）股份有限公司 $