第四讲 整式的运算 专题复习讲义 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

第四讲 整式的运算 1.单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式， 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序 运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍 然成立 2.单项式乘多项式 (1)单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项，再把所得的积相加. (2)单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式：②用单项式去乘多项式中的 每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号. 3多项式乘多项式 (1)多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的 积相加， (2)运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项 式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积。 4.单项式除以单项式或者多项式除以单项式 运算性质：单项式（多项式）与单项式相除，把他们的系数，相同字母分别相除，对于只 在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 注意：①在计算时，应先进行符号运算，商的系数等于各因式系数的商：②注意按顺序 运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式：④此性质对于多个单项式相除仍 然成立. 题型一：整式运算 (a-9)% ()(xz)) 点1‘E xx-(e-)小(e-)+（z-）? xg-)+x÷,（x）蒋半T 区年年 （exr小（x)a （p)+p回 :意1‘z4 e-）s2 （z)-p+-@ :葛1‘T④ (-xr-(亿-xE+x)2) ”.() 点1‘L ·u÷(w+u9-uzle) :(KL-x)(KE+x)(z) （9wr-）4,d 煮19 (I+D)(S-DE)-(E-D)vg(@) (xz-）.-().(xz) 点1‘s (s+n)p+(a-n)(8+n)z (9).(z-6@ 慧中‘b (+D+j1-p)9) (-xs-xz）S (uE-wu+w） (-+xz)例 (9-D)(E+)(2) (9+xs+ 嘉10L (+xz+x)1-xz)例 (u+u+,wj(u-w）e) (g+xs亿-刘)☒ b+-x)@回 点16 +0c+7-对风 (4E-m+,wj(-)o 慧中1‘8 题型二：整式中的化简求值 1.先化简再求值：b(ob-2a+2)-26(a6-2ab+20）,其中a=-1,b=-2 例2.先化简，再求值：xx+2列)-(x+1}+2x,其中x=7,y=-7. 变式练习 1.先化简，再求值： (3xy-2y）-(2xy-2）,其中x=2,y=1 2.先化简后求值：(x+2列+(x-4),其中x=2,y= 5 3.先化简，再求值：+2w-3y）2(+y-2y）,其中=-1，y=2 4.先化商，再求值：3d-2b)-[c-36+3ab+b],其中a=2个号 5.先化简，再求值：【2x+x-+y门2，其中x、y满足++(x-2=0 6.先化简，再求值：[a(a6-ab)-b(a-a]-(6a0),其中ab=-2. 6 题型三：已知多项式乘积不含某项求字母的值 例1.若-3x-2j+ 的结果中不含有x的一次项，求的值. 例2.如果关于x的多项式x-2与x+mx+1的乘积中不含x的一次项，求m的值. 变式练习 1.若x+m)与+3)的 的乘积中不含有x的一次项，求L. 2.已知关于x的代数式2x+m)与x-3)的乘积中，不含有项，求m的值. 3.若2-3x一2x2+px+q展开后不含x和x2项，求p,q的值. 4.已知计算-2)5-4+mr-m）的结果中不含x项，求m的值 5.设长是带数，如果多项式-2：+3-的计算结果中不含x的二次项，求k的值。 6.(2-m+6)3x-2)的积中不含x的二次项，求m的值. 例3。我们在学习多顶武乘多项式时，知道2+42x+5(3x-可 的结果是一个多项式， 1 并且最高次项为2x:2x:3x=3x,常数项为4x5x(-6)=-120,那么一次项是什么呢？要 解决这个问题，就要确定一次项的系数.通过观察，我们发现：一次项的系数就是 5x(-6)+2x4(-6)+3x45=-3.即一次项为3r·音你参考上尚的甜算方法，解答 下列问题： 求x+5x-23x+3)所得多顶式的一次项系数 2R（+2jx+o4-2 所得多项式的二次项系数： 3)如果计算x+3(x+a3x-2) 所得多项式中不含一次项，求常数的值. r+xPj-x+3g 例4.若 的积中不含x与x2项， (1)求p=, (2)求代数式(pg2+p206g20s 的值 变式练习 的积中不含x与x项， (1)求m、n的值： (2)求代数式-2m2n+m207n2018 的值。 2 （2+pre-3x+ 的积中不含x项与x项， (1)求P、q的值： 2求代数式-2pg+3p9的值。 3.已知(2+x3)(2-3x+)的乘积中不含x项和x项. (1)求m,n的值： 10 (2)求代数式(-22n)2+3(wm)0-m2022223 题型四：多项式乘多项式与图形面积 例1.学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式“-y+6+3x-5y-l的值与x的取值 无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x,y看作字母，a看作系数，合并同类项，因 为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数0，即原式为(a+3)x-6y+5,所以 a+3=0,则a=-3. (2x-3)m+2m2-3x (1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求L值： A=(2x2-x-1)-(x-3xy),B=-x2+xy-1 (2)已知 ，且3A+6B 值与x取值无关，求y的 值； (3)7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内， 大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积 为9，当4B的长变化时， 2S1-3S2 的值始终保持不变，求4与b的等量关系？ B 6 S S2 D 图1 图2 例2.【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关， 求α的值”，通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式 =(a+3)x-6y+5 因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即a+3=0 则a=-3. 【理解应用】 (1)若关于x的多项式2(r-x)+ar2-x+ 不含x项，则a= A=-3x2-2y+3y+1B=2x2+2y-1 (2)已知 ,2A+3B ,且1 的值与y的取值无关，求x 的值： 【拓展延伸】 (3)用7张长为a,宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形 ABCD S 内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面 积为，当4B的长发生变化时， S-S2 的值始终保持不变.请求出a与b之间的数量关 12 系 E B b S a S2 D C 变式练习 1.【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问题：“已知代数式 ax-y+6+3x-5y-1 x,y 的值与无的取值无关，求“的值.”通常的解题方法是：把看作 字母，a看作系数进行合并同类项，，代数式的值与x的取值无关，∴.含x的项的系数为 0.原式-(a+3)r-6+5,4a+3=0,则a=-3 【理解应用】 1)若关于*的多项式2x-3列m+2m2-3x 的值与x的取值无关，求m的值. (2)已知A=(2x+(x--x1-3,B=+y- ,且3M+6B的值与x的取值无关， 求y的值. 【能力提升】 13 (3)将七张如图1所示的小长方形纸片（长为a、宽为b)按照图2的方式无缝隙、不重 叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部 分的面积为》，左下角阴影部分的面积为S.当48的长度变化时，若S-品 S 的值始终保 持不变，则a,b之间有怎样的数量关系？ B S S2 D 图1 图2 2.【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式心-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无 关，求a的值”，通常的解题方法是把x,y看作字母，把a看作系数合并同类项.因为代 数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式（口+3）x-6y+5 其中 a+3=0,则a=-3 【方法应用】 (1)当b=一，C=时，关于x的多项式 3x4-(b+5)x3+(c-1)x2-5x+1 不含 项和x2项. 14 A=-3x2-2xy+3y+1B=2x2+2xy-1 (2)已知 ,且2A+3B 的值与y的取值无关，求x 的值. 【拓展延伸】 (3)淇淇用6张长为b,宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形 ABCD S 内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面 积为.当4D 5S2-2S 长发生变化时， 的值始终保持不变.请求出aα与b之间的数量 关系 S S B 3.准备若干张如图一所示边长为a、b的正方形和边长分别为a、b的长方形卡片，用这些 卡片拼出新的图形，用不同的方法计算它的面积，可以得到一些等式.请解答下列问题： 6 D ☐b a h aa R a Cb G 图一 图二 图三 15 (1)由图二，可得等式一 (2)圆圆同学用x张边长为a的正方形、y张边长为b的正方形和z张边长分别为ab的长 (3a+2b)(5a+7b) 方形纸片，拼出一个面积为 长方形，求-y+的值。 (3)已知这两个边长为4，b的正方形面积和为60，边长为ab的长方形面积为20.点点 同学将这两个正方形拼成图三形状，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF.求阴影部 分的面积. 例3.有若干张如图1所示的A,B,C三种卡片，A表示边长为m的正方形，B表示边长 为n的正方形，C表示长为m、宽为n的长方形. 16 n m m n 图1 图2 图3 (1)小明和小亮玩卡片拼图游戏，发现可以用图1中的若干张卡片拼出长方形来解释某些等 2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2 式，如图2可以解释等式 ,则图3可以解释的等式是 2要用这三种卡片拼一个长为m+3训），宽为2m+网 的长方形，通过计算说明需要A, B,C三种卡片各多少张？ m+n)2=m2+2mn+n2 (3)请你利用图1中的三种卡片各若干张，拼出一个正方形来解释 画出你的正方形示意图. 变式练习 17 1.现有足够多如图所示的长方形卡片和正方形卡片，分别选取1张1号卡片、3张2号卡 片、4张3号卡片拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运 用拼图前后图形面积之间的关系说明这个长方形的代数意义， 0 1号 2号 c↓ 3号 一b -a- Q 2.分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片. (1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积： 2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为(20+3b) 的长方形 18 题型五：多项式乘法中的规律性问题 例1.【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与 多项式的加、减、乘、除的运算方法.如图①②③④ 3x+2 3x2+2x+1 +2x-5 -x2-0x-5 5x-3 2x2+2x+6 所以(3x+2)+(2x-5)=5x-3o 所以（3x+2x+-(r-)=2x+2x+6② x+2 2x+3 ×x-3 x-32x2-3x-9 -3x-6 2x2-6x x2+2x 3x-9 3x-9 x2-x-6 0 所以+2x-3)=2--6@ 所以2x-3x-列(x-3列=2x+3④ x-2 ←x+2 -8 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算： (3x+10(x-4) (2)若两个多项式的积为 6r+-2）,其中一个多项式为3x+2),请用竖式的运算方法求 出另一个多项式： 19 (3)如图，一个长为 x+2),宽为x-2列 的长方形A,将它的长增加8，宽增加“得到一个新 长方形B,且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍， (i)求a的值；（用含x的代数式表示） (）长方形B的面积和另一个边长为x-2） 的长方形C的面积相等，求长方形C已知边长 的邻边长.（用含x的代数式表示） 20 变式练习 1.阅读材料：类比是数学中常用的数学思想比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、 除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法 例： 2x+3 3x2-4x+1 @+3x-5 ②-r+0-5 5x-2 2x2-4x+6 ∴.(2x+3)+(3x-5)=5x-2 (3x2-4x+1-(（x2-5）=2x2-4x+6 2x+3 x+3 x-32x2-3x-9 ×)2x+5 ③ ④ 2x2-6.x 5x+15 3x-9 2x2+6x 3x-9 2x2+11x+15 0 .(x+3)(2x+5)=2x2+11x+15 ∴(2x2-3x-9÷(x-3)=2x+3 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：(2x+3)x-5): (2②)已如两个多项式的和为3一子x+5。其中一个多项式为，-2·访用驱式的方达求出 另一个多项式 (3)己知一个长为(x+2),宽为x-2)的矩形A,将它的长增加8，宽增加a得到一个新矩 形B,且矩形B的周长是矩形A周长的3倍（如图）同时，矩形B的面积和另一个边长为 (x-m) 的矩形C的面积相等，求m的值和矩形C的另一边长 21 x-2 x+2 米一8 2.两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多 位数相除的计算方法，用竖式进行计算.例如7x+2+6)+(x+),仿照672÷21计算如 图①所示. 32 3x+2 21672 2x+16x2+7x+2 63 6x2+3x a B 42 4x+2 42 4x+2 x-2 A 0 0 -x+2K6习 ① ② 因此(7x+2+6r）÷(2x+1)=3x+2 (1)阅读上述材料后，试判断x-x2-5x-3能否被x+1整除，并说明理由： (2)若多项式2x-3x+m2+7x+b能被x2+x-2整除，求6的值： (3)有一个长为x+2,宽为x-2的长方形A,若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长 方形B,此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C,它的一边长为 x+10,且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C己知边长的邻边长 22 3.我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排 列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余 式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算(8r+6x+)÷(2x+ ,可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算.因此 (8x2+6x+1)÷(2x+1)=4x+1 32 4x+1 21672 2x+18x2+6x+1 /63 a /8x2+4x B 42 2x+1 x-2 A 42 2x+1 0 0 x+26 图1 图2 图3 a2+3x-9）÷(x+3)= 2+4r+5x-6)(x+2列的商是 一一，余式是 B已知一个长为x+2),宽为x-2 的长方形A,若将它的长增加6，宽增加“就得到一 个新长方形B,此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图3）.另有长方形C的一边长为 (K+10,若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长（用只含有*的代数 23 式表示)· 例2.观察下列等式： (a-b)(a+b)=a2-b2 (a-b)(a2+ab+b2)=a-b (a-b)(a+ab+ab2+b)=a"-b" (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： (a-b)(a+a"-2b+…+abm-2+b"-）= (其中n为正整数，且n≥2)； (3)利用(1)的结论计算：2+2+2+…+23+22+2+1. 变式练习 1.观察下列等式： 24 (x-10(x+1)=x2-1 (x-10(x2+x+1)=x2-1 (x-10(x3+x2+x+1=x4-1 … 利用你发现的规律解决下列问题： 计算：(x-x+x+2+x+）= 2计算：(x-(x1+r2+x3++x+1）= (3)利用(2)中结论，求3203+322+3201++3+1的值. 2.你会求a-a+。+a“+?-+d+a+川的值吗？这个问题看上去很复杂，我们 可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： (a-1)(a+l)=a2-1 (a-l0(a2+a+l)=d2-1 (a-l)a3+a2+a+1=a-1 （1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a-la+a0+a7+…+a+a+) (2)利用上面的结论求2019+2018+22017+…+22+2+1的值. (3)求52019+52018+52017+…+52+4的值 25 3.观察下列各式的规律，解答下列问题. 第1个等式： (a-b)(a+b)=a2-b2 第2个等式：(a-b(d+b+b)=a-b 第3个等式：(a-bd+ab+ab2+b)=a-b 第4个等式：(a-ba+ab+ab2+ab+6)=a-b (1)根据上述规律，请写出第5个等式： 2猜想，(a-ba+a产b++ab+b)= (3)利用(2)中的结论，求22025+2224+…+2+1的值. 题型六：整式除法 例1.计算： -3x°(x）(-x 2(2x+y2x-y-(x-2y+(6x-10r2y）(-2x2）) 26 LZ (-)(6+9-2) 2P÷(b,P6-9,g)0 点1‘z (*-en-j（)）片[s--++园 (a）-m-o-）a （o-）÷9-（p沉)tp(0 点‘工 区羏年年 87 .7=9·￡_=D中并‘(9-)÷[9-(9-pg)D5+9)-2（q+D9)]:p￥址￥（Z) D÷,p+(-)(t)b ；=9是n啡foo-片[+8--o+p]a :=x中并(x--(-）(-) :平县性半‘ε (uh-)）小÷(4，w-4,uoz+,-）(例 5.先化简，再求值：[2a+b2a-b)-(2a-b](2a-b),其中a≠1，b=2. 29 第4讲 整式的运算 1.单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 2.单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 3.多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4. 单项式除以单项式或者多项式除以单项式 运算性质：单项式（多项式）与单项式相除，把他们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，商的系数等于各因式系数的商；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相除仍然成立． 题型一：整式运算 例1．计算： (1)； (2)． (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．计算： (1) (2) （1）；（2） 【分析】（1）先算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先算括号里的乘法，再算幂的乘方，最后算同底数幂的除法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式练习 1． 计算： 【详解】 解： 原式 ． 2． 计算：． 【详解】解： 3．计算： (1) (2) (1)； (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．计算： (1)； (2)． (1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再依次进行同底数幂的乘除法运算； （2）先计算多项式乘多项式，单项式乘以多项式，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算 (1) (2) (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)； (3)． (1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 7．计算： (1)； (2) (1) (2) 【分析】（1）先根据幂的乘方法则计算，再计算同底数幂相乘，即可求解； （2）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 8．计算： (1)； (2)． (1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 9．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． (1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 10．计算： (1)； (2)； (4) ； (4)； (5) ； (6)． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是： （1）先多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）先多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可； （3）先多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可； （4）先多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可； （5）先多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可； （6）先多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解∶原式 ． 题型二：整式中的化简求值 例1． 先化简再求值：，其中，． ， 【分析】利用单项式乘多项式的法则将原式展开，然后合并同类项进行化简，最后将 、 代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵，， ∴， ， ， ． 例2． 先化简，再求值：，其中，． ， 【详解】解：原式               当，时，     原式 ． 变式练习 1． 先化简，再求值： ，其中，． 化简结果为，值为. 【详解】解： ． 当，时， 原式． 2． 先化简后求值：，其中， ， 【分析】先计算完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将，代入得：原式． 3． 先化简，再求值：，其中，． ， 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先利用去括号和合并同类项法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 4． 先化简，再求值：，其中． ，14 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 5． 先化简，再求值：，其中、满足． 化简得，值为 【分析】根据得，求出、值，化简代入、值即可． 【详解】解：化简 ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ． 6．先化简，再求值：，其中． 化简结果为，值为 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 题型三：已知多项式乘积不含某项求字母的值 例1． 若的结果中不含有的一次项，求的值． 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据题意得一次项的系数为0，列出方程，求解即可． 【详解】解：原式， 不含有的一次项， ， ， 则的值为． 例2． 如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 【分析】本题考查多项式乘多项式．计算，然后结合已知条件即可求得答案． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 变式练习 1． 若与的乘积中不含有x的一次项，求m． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，可得，再根据乘积中不含有x的一次项，得到，即可求解． 【详解】解：， ∵不含有x的一次项， ∴， ∴． 2． 已知关于的代数式与的乘积中，不含有项，求的值． 【分析】根据多项式乘以多项式的乘法法则可知，再根据乘积中不含有有项即可解答． 【详解】解：∵， ∴根据题意得， ∴． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的乘法法则，一元一次方程，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 3． 若(x2－3x－2)(x2＋px＋q)展开后不含x3和x2项，求p，q的值． p＝3，q＝11 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则先把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令其为0，可求出p，q的值． 【详解】解：∵(x2－3x－2)(x2＋px＋q)＝x4＋(p－3)x3＋(q－3p－2)x2－(3q＋2p)x－2q. 又∵乘积中不含x3和x2项， ∴p－3＝0，q－3p－2＝0， ∴p＝3，q＝11. 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 4． 已知计算的结果中不含项，求的值． 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题关键．首先根据单项式乘多项式的法则进行运算，然后根据“结果中不含项”易得，求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得． 即的值为． 5． 设是常数，如果多项式的计算结果中不含的二次项，求的值． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式化简，然后令x的二次项的系数为，即可求解． 【详解】解： 由题意 解得 6．的积中不含x的二次项，求m的值． ． 【分析】利用多项式乘法把原式括号去掉，并按照x降幂排列，令x的二次项系数为0，得到关于m的方程，解之即可得到解答． 【详解】解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12， ∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项， ∴2+3m＝0， 解得，m＝， 【点睛】本题考查多项式的概念及运算，正确运算多项式乘法及区别多项式各项的概念是解题关键． 例3．我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． (1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据题干提示列式计算即可； （3）根据给定的方法可得出一次项系数为，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 的一次项系数计算如下： ， 即的一次项系数为3． （2）的二次项系数计算如下： ， 即的二次项系数是5． （3）的一次项系数计算如下： ， 因为所得多项式中不含一次项，所以，解得． 例4．若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． (1)， (2)12 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 变式练习 1．若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． (1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式 积中不含项与项， ，， 解得：，； （2）解：， 原式 2．若的积中不含x项与项， (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． (1)， (2)33 【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与项可知x项与项的系数均等于0，解方程即可； （2）由（1）中p、q的值得，将原式整理变形成，再将p、的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵积中不含x项与项， ∴， 解得，； （2）解：由（1）得， ∴ ． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p，q的值． 3．已知（x2＋mx）（x2﹣3x＋n）的乘积中不含x3项和x项． (1)求m，n的值； (2)求代数式（﹣2m2n）2＋3（mn）0﹣m2022n2023 (1)， (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则对已知式子进行整理，再利用其积中不含x与x3项，则相应的系数为0，则可求m、n的值； （2）利用积的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： ． ∵原式不含x与x3项， ∴，， 解得，； （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，积的乘方，负整数指数幂，代数式求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型四：多项式乘多项式与图形面积 例1．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数0，即原式为，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； (2)已知，且的值与x取值无关，求y的值； (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系？ (1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）先展开，再将含x的项合并，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （2）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （3）设，由图可知，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与x的值无关，即有，则问题得解． 【详解】（1）由， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ， 解得： （2）， ∵的值与x取值无关， 解得：， （3）设， 由图可知 则 ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与x的值无关， ， 例2．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． （1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 变式练习 1．【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问题：“已知代数式的值与的取值无关，求的值．”通常的解题方法是：把看作字母，看作系数进行合并同类项，∵代数式的值与的取值无关，∴含的项的系数为0．∵原式，∴，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为、宽为）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为，左下角阴影部分的面积为．当的长度变化时，若的值始终保持不变，则之间有怎样的数量关系？ （1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式运算中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）计算得，即可求解； （3）设，则．计算，即可求解； 【详解】解：（1）． ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得． （2） ． ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． （3）设，则． ∴． ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 2．【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，其中，则． 【方法应用】 （1）当______，______时，关于x的多项式不含项和项． （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值． 【拓展延伸】 （3）淇淇用6张长为b，宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． （1），1；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值： （1）根据多项式不含项和项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，进而求出，进行即可得到答案． 解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． 【详解】（1）∵关于x的多项式不含项和项， ∴，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 3．准备若干张如图一所示边长为､的正方形和边长分别为､的长方形卡片，用这些卡片拼出新的图形，用不同的方法计算它的面积，可以得到一些等式．请解答下列问题： （1）由图二，可得等式______． （2）圆圆同学用x张边长为a的正方形､y张边长为b的正方形和z张边长分别为a､b的长方形纸片，拼出一个面积为长方形，求的值． （3）已知这两个边长为a､b的正方形面积和为60，边长为a､b的长方形面积为20．点点同学将这两个正方形拼成图三形状，B､C､G三点在同一直线上，连接和．求阴影部分的面积． （1）；（2）32；（3）20． 【分析】（1）根据大长方形的面积等于三个正方形的面积与三个长方形的面积之和即可得； （2）先根据所有卡片的面积之和等于建立等式，再根据整式的乘法可得x、y、z的值，然后代入求值即可得； （3）先根据正方形和长方形的面积公式可得，再根据即可得． 【详解】（1）由图可知，大长方形的面积等于三个正方形的面积与三个长方形的面积之和， 则， 故答案为：； （2）由题意得：， ， ∴， 则； （3）由题意得：， 则， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为20． 【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 例3．有若干张如图1所示的A，B，C三种卡片，A表示边长为的正方形，B表示边长为的正方形，C表示长为、宽为的长方形． (1)小明和小亮玩卡片拼图游戏，发现可以用图1中的若干张卡片拼出长方形来解释某些等式，如图2可以解释等式，则图3可以解释的等式是__________． (2)要用这三种卡片拼一个长为，宽为的长方形，通过计算说明需要A，B，C三种卡片各多少张？ (3)请你利用图1中的三种卡片各若干张，拼出一个正方形来解释，画出你的正方形示意图． (1) (2)需要A卡片2张，B卡片3张，C卡片7张； (3) 拼图如下： 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）图3中长方形的长为，宽为，面积为．图 3 中A卡片有2张，B卡片有2张，C卡片有5张，所以面积也可表示为．即可得出答案； （2）先求出，进而可得出答案； （3）A卡片1张，B卡片1张，C卡片2张，可以拼成边长为，面积为的正方形，画出图形即可． 【详解】（1）解：图3中长方形的长为，宽为，面积为． 图 3 中A卡片有2张，B卡片有2张，C卡片有5张，所以面积也可表示为． 所以图3可以解释的等式是， 故答案为： （2）解：， ∵A卡片面积为，B卡片面积为，C卡片面积为， ∴需要A卡片2张，B卡片3张，C卡片7张； （3）A卡片1张，B卡片1张，C卡片2张，可以拼成边长为，面积为的正方形． 变式练习 1．现有足够多如图所示的长方形卡片和正方形卡片，分别选取1张1号卡片、3张2号卡片、4张3号卡片拼成一个长方形（不重叠、无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后图形面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． 画出草图如下， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，列代数式，画出相应的图形，如图所示，正方形的面积有两种求法，边长的平方或四个面积之和，列出关系式即可． 【详解】解：长方形面积为：． 2．分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片． (1)用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； (2)从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形． ．(1)如图， 长方形的面积为； 如图， 长方形的面积为；（答案不唯一） (2)如图， 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则画图，然后计算面积即可； （2）首先得到选择2张卡片，3张卡片，然后画图即可． 【详解】（1）解：如图，标记卡片为、、三种， 用3张卡片、1张卡片、2张卡片，它们拼出一个长为，宽为的新长方形，如图所示； ∵，故符合题意； ∴长方形的面积为； 用4张卡片、3张卡片、1张卡片，它们拼出一个长为，宽为的新长方形，如图所示； ∵，故符合题意； ∴长方形的面积为；（答案不唯一） （2）解：∵ ∴选择2张卡片，3张卡片，拼成长为，宽为a的长方形，图略． 题型五：多项式乘法中的规律性问题 例1．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1) 请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2) 若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长．（用含的代数式表示） (1)根据题意得，   ； (2) (3)（i）；（ii） 【分析】（1）仿照题干的竖式运算方法进行计算即可； （2）仿照题干的竖式运算方法进行计算即可； （3）（i）根据长方形和正方形的周长公式，并结合长方形B的周长是长方形A的周长的3倍，计算即可得出结果；（ii）先求出长方形B的面积，再结合长方形的面积公式，仿照题干的竖式运算方法进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， ∴另一个多项式为； （3）解：（i）根据题意得，， 解得； （ii）长方形B的长为，宽为， 长方形B的面积， ∵长方形C的一个边长为， ∴长方形C已知边长的邻边长为． 变式练习 1．阅读材料：类比是数学中常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法. 例： ①                            ②          ③                        ④           理解应用： （1）请仿照上面的竖式方法计算：； （2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式. （3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的倍（如图）.同时，矩形的面积和另一个边长为的矩形的面积相等，求的值和矩形的另一边长. （1）；（2）；（3）m=-8,矩形C的另一边长为5x-10. 【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解； （2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解； （3）根据已知条件，求出面积，然后分解多项式即可． 【详解】解：（1） （2x＋3）（x−5）＝2x2−7x−15 （2） 另一个多项式为：2x2−x＋7 （3）∵矩形B的周长是A周长的3倍 ∴2×（x＋2＋x−2）×3＝2×（x＋10＋x−2＋a） ∴a＝4x−8 所以矩形B的面积为：（x＋8）（5x−10）＝5x2＋30x−80 矩形C的面积与B的面积相等，5x2＋30x−80＝（x＋8）（5x−10）， 故m＝−8，矩形C的另一边为5x−10． 【点睛】本题考查了整式的乘除法，熟练法则是解答此题的关键． 2．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． (1) 能，理由如下： 列竖式如下： (2) (3) 【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方法，并能灵活运用方法解决问题． （1）按照材料中的竖式方法进行即可； （2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b的值，最后求得结果． （3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得，再分别求解长方形，的面积，结合多项式除以多项式可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：列竖式如下： 由题意得： ∴且 ∴，， ∴． （3）解：∵长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 而长方形B的周长是A周长的2倍， ∴， ∴， ∴长方形的面积为： ； ∵长方形B的面积比C的面积大76， 长方形的面积为：， ∴， ∴长方形C已知边长的邻边长为：． 3．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． (1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式乘法和除法；根据题意找出规律是解决此题的关键． （1）根据题意，结合法则找规律计算即可； （2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可； （3）利用面积关系求长方形的边长即可． 【详解】（1）解：， 用竖式计算如下： 故答案为：； （2）解：．用竖式计算如下， 的商是，余式是， 故答案为：； （3）长方形的周长为：， 长方形的周长为：， ∵长方形的周长是周长的2倍， ， ， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的另一边长为：， ∴长方形的另一边长为：． 例2．观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (3) 利用（1）的结论计算：． (1) (2) 【分析】（1）通过观察已知等式的结果指数和结构，总结规律即可得到猜想结论； （2） 将所求算式变形为符合（1）结论的形式，根据（1）中规律即可求解； 【详解】（1）解：观察已知等式可得时，； 时，； 时，； ...， 因此可得猜想：（其中为正整数，且）； （2）解：根据（1）中规律可得： ． 变式练习 1．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． (1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （2）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （3）利用（2）中的规律进行变形，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵； ； ； … ∴； （3）解： ． 2．你会求的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到_____； （2）利用上面的结论求的值． （3）求的值 （1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据已知算式得出的规律得出即可； （2）将得出的规律中的a换为2，计算即可得到结果； （3）将得出的规律中的a换为5，计算即可得到结果． 【详解】（1）由题可以得到 （2）由结论得： （3） 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，能根据题目中的算式得出规律是解此题的关键． 3．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：．………… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键： （1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）根据（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． 题型六：整式除法 例1．计算： (1) (2) (1) (2) 【分析】（1）按单项式乘除混合运算的法则进行计算． （2）结合平方差，完全平方公式以及多项式除以单项式进行计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式练习 1．计算 (1)； (2)； (3) ； (4)． (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (4) ； (4)． (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 3．求下列各式的值： (1)，其中； (2) ，其中． (1) (2) 【分析】（1）先通过整式的乘除运算去掉括号，再合并同类项化简，然后代入计算得出结果； （2）先用整式的乘法去掉小括号，合并同类项后，进行整式的除法运算，再代入的值计算得出结果． 【详解】（1）解： ． 将代入得： 原式． （2） ． 将代入得： 原式． 4．（1）计算： （2）先化简再求值：，其中，． （1）  （2）， 【分析】本题考查幂的混合运算和正式乘除法的化简求值； （1）先利用积的乘方，同底数幂的除法运算，然后合并解题； （2）先利用完全平方公式和平方差公式，结合整式的加减法法则，将中括号化简，再根据除法法则得出化简结果，最后将字母的值代入即可求解． 【详解】解：（1） （2） ， 当，时，原式． 6． 先化简，再求值：，其中． 【分析】将原式拆分为两项分别除以，然后化简，再代入的值计算． 【详解】解： 由，得， ， 将代入得，原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $