11.2整式的乘法（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版 数学八年级上册

11.2整式的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。 如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)=[(-5)×(-4)×(-)]·(a2·a)·(b2·b2)·c =-30a3b4c 二、单项式与多项式相乘 法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 如：(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1= 三、多项式与多项式相乘 法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。 如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。 如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb 型 习 练 题 单项式乘单项式 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 利用单项式求值 6．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 10．若，则（   ） A． B． C． D． 利用单项式乘多项式求值 11．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 12．若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 13．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 14．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 15．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 单项式乘多项式的应用 16．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 17．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 18．如图，在长方形土地的内部围出一个长方形区域，尺寸如图所示（单位：），则用含有a，b，x的式子表示图中阴影部分的面积（   ）． A． B． C． D． 19．如果长方体的长为，宽为，高为，则它的体积是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 计算多项式乘多项式 21．若，则m的值为（ ） A．2 B． C．8 D． 22．设是五次多项式，是六次多项式，下列说法正确的是（   ） A．是五次整式 B．是六次整式 C．是五次整式 D．是六次整式 23．若等式对任意恒成立，为常数，则的值为（   ） A． B．22 C． D．14 24．下列多项式相乘结果为的是（    ） A． B． C． D． 25．如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是三次 B．一定是四次 C．一定是七次 D．无法确定． 化简求值 26．先化简，再求值：其中 27．先化简，再求值：，其中，． 28．先化简，再求值：已知，求的值． 29．先化简，再求值：求，其中． 30．先化简，再求值：，其中． 整式乘法混合运算 31．计算：． 32．计算： (1) (2) (3) 33．计算： (1)； (2)； 34．计算： (1) (2) 35．计算： 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2整式的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。 如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)=[(-5)×(-4)×(-)]·(a2·a)·(b2·b2)·c =-30a3b4c 二、单项式与多项式相乘 法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 如：(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1= 三、多项式与多项式相乘 法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。 如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。 如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb 型 习 练 题 单项式乘单项式 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 【详解】 解：∵，原计算错误， ∴A不符合题意． ∵，原计算错误， 故B不符合题意． ∵，原计算正确， ∴C符合题意． ∵，原计算错误， ∴D不符合题意． 故选：C． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算和单项式乘法的规则，需根据同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方的性质判断各选项是否正确． 【详解】解：A选项：根据单项式乘以单项式的法则，可得：，故A选项计算正确； B选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故B选项计算错误； C选项：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：，故C选项计算错误； D选项：根据积的乘方等于各因式乘方的积，可得：，故D选项计算错误． 故选：A． 3．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 直接计算每个选项的表达式，根据幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘）和同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）进行判断． 【详解】解：选项A：，符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意 故选：A． 4．下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及单项式与单项式的乘法等知识． 根据运算规则逐项判断即可． 【详解】A．与指数不同，不是同类项，不能合并，故 A错误； B．，故 B错误； C．，故 C错误； D．，故D正确． 故选D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 【详解】解：， 故选：C． 利用单项式求值 6．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 7．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘单项式，找到关键信息：等式两边的同底数幂相等，且底数分别为和，需保证对应底数的指数相等；以及通过指数相等建立方程的等量关系思想． 根据单项式乘法法则将所给式子的左边化简，进而结合右边建立方程组，解方程组即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 8．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 9．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 10．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 利用单项式乘多项式求值 11．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 12．若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 13．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 14．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 15．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 单项式乘多项式的应用 16．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 17．观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 18．如图，在长方形土地的内部围出一个长方形区域，尺寸如图所示（单位：），则用含有a，b，x的式子表示图中阴影部分的面积（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形的面积，掌握整式的混合运算规则是解题的关键． 根据大长方形的面积减去中间长方形的面积，运用整式的运算得到结果即可． 【详解】解： ， 故选：B ． 19．如果长方体的长为，宽为，高为，则它的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式， 根据长方体的体积等于长乘宽乘高，再根据单项式乘以多项式法则计算即可. 【详解】解：∵长方体的长为，宽为，高为a， ∴它的体积是. 故选：C. 20．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，整式的乘法运算．根据平移，可得路的宽度，根据长方形的面积，可得答案． 【详解】解：由题意得这块草地的绿地面积为， 故选：B． 计算多项式乘多项式 21．若，则m的值为（ ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式法则展开后得到关于m，n的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 比较系数，得：，， ∴；， 因此，m 的值为， 故选：B． 22．设是五次多项式，是六次多项式，下列说法正确的是（   ） A．是五次整式 B．是六次整式 C．是五次整式 D．是六次整式 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的加法．根据整式的乘法，整式的加法运算解答即可． 【详解】解：∵是五次多项式，是六次多项式， ∴ M的最高次项为五次项，N的最高次项为六次项， ∴ 的最高次项为N的六次项，次数为6，即是六次整式，故A选项错误，B选项正确； 的最高次项为十一次项，即是十一次整式，故C，D选项错误． 故选：B 23．若等式对任意恒成立，为常数，则的值为（   ） A． B．22 C． D．14 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故选D． 24．下列多项式相乘结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式法则计算各个选项，即可解答． 【详解】解：A． ，不合题意； B．，不合题意； C．，符合题意； D．，不合题意． 故选：C． 25．如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是三次 B．一定是四次 C．一定是七次 D．无法确定． 【答案】B 【分析】本题考查整式的次数．根据多项式的次数概念即可求出答案． 【详解】解：由于是一个四次整式，A、B都是关于的单项式， ∴A、B的次数都不能超过四次的单项式， ∵是一个七次单项式， ∴A与B中必定有一个是四次单项式，另外一个是三次单项式， ∴一定是四次多项式， 故选：B． 化简求值 26．先化简，再求值：其中 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值以及算术平方根、绝对值的非负性，解题关键是先根据非负数的性质求出的值，再化简整式后代入计算． 先通过多项式乘法、去括号、合并同类项化简整式；再利用算术平方根与绝对值的非负性，求出的值；最后将的值代入化简后的式子计算结果． 【详解】 将代入得： 原式= 27．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解决此题的关键是正确的计算；先根据多项式乘多项式的法和单项式乘多项式的法则把整式化简，再代入求值即可； 【详解】解： ， ， ， 把，代入原式． 28．先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据多项式乘以多项式的法则，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 29．先化简，再求值：求，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，化简求值．先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 30．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，将代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 整式乘法混合运算 31．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 32．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 33．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，然后合并同类项（本题无同类项合并，但格式上需明确运算步骤）． （2）根据多项式乘多项式法则以及同底数幂的除法法则分别计算乘法与除法部分，再将所得结果相加． 本题主要考查了整式的乘法运算，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式以及同底数幂的除法．熟练掌握乘法分配律以及同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先利用多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则求解，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 35．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用单项式乘多项式，以及积的乘方的运算法则去括号，再合并同类项，即可解题． 【详解】解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $