26.3 二次函数与一元二次方程第一课时教学设计 2026～2027 学年人教版数学九年级上册

2026—2027 学年人教版九年级数学上册 26.3 二次函数与一元二次方程第一课时教学设计 课 型：新授课（1 课时） 授课教师：__________ 班级：__________ 日期：__________ 一、教学基本信息 项目 内容 项目 内容 教材版本 人教版（2024）九年级数学上册 课 型 新授课（1 课时） 课 题 26.3 二次函数与一元二次方程（第 1 课时 · 关系） 授课时长 45 分钟 课时编号 本章第 6 课时（26.3 第 1 课时） 前 接 26.2 二次函数的图象和性质 后 继 26.3 第 2 课时（用图象求近似根）、26.4 实际问题与二次函数 单 元 第二十六章 二次函数 二、教材与学情分析 （一）教材分析 本节是二次函数图象与性质的「应用性收束」：把一元二次方程 ax²+bx+c=0 的代数求解问题转化为抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的几何问题，用判别式 Δ=b²-4ac 把「交点个数」与「根的情况」一一对应。 1. 地位：横向打通代数与几何，是「数形结合」的集中载体，也是 26.3 第 2 课时（图象求近似根）、二次函数与一元二次不等式的基础。 1. 新教材变化：人教版（2024）调整了顺序——先由图象直观建立「交点横坐标即根」的认知，再解决实际问题，让学生经历「数与形双向互动」。 （二）学情分析 已有基础：学生已掌握二次函数图象与性质（含配方求顶点）、一元二次方程的解法与判别式。 主要障碍（两列对比）： 学生已有基础 学生主要障碍 教学对策 会解一元二次方程、会算Δ=b²-4ac ① 不理解”方程的根 ⇔ 图象交点横坐标”的双向转化 从三个具体函数画图入手，逐个对应交点与根 会画抛物线草图 ② Δ>0/Δ=0/Δ<0 与”两个/一个/无交点”对应混乱 三行对照表 + 几何画板动态演示 知道顶点、对称轴 ③ 由图象交点反求方程根、或由根定交点位置不熟练 双向例题（由式求交点 + 由交点写根） 具备数形结合经验 ④ 易忽略 a≠0 与”交点在 x 轴上”的前提 反复强调定义前提，规范书写 三、教学目标与重难点 （一）教学目标（核心素养导向） 目标维度 具体内容 知识与技能 理解一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 的根就是二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0) 图象与 x 轴交点的横坐标；会用判别式 Δ=b²-4ac 判断抛物线与 x 轴的交点个数，并说出对应方程根的情况；能借助图象求一元二次方程的根。 过程与方法 经历「具体函数 → 图象观察 → 归纳对应 → 一般结论」的过程，在几何画板动态演示中体会 Δ 连续变化时交点个数如何变化，发展几何直观与逻辑推理。 情感态度 在”解方程”与”看图象”的双向转化中感受数形结合的统一美，增强探究与合作意识。 核心素养 几何直观、逻辑推理、数学抽象、运算能力 （二）重点与难点 【重点】抛物线与 x 轴交点横坐标与一元二次方程根的对应关系；用判别式判断交点个数与方程根的情况。 【难点】Δ=0 时「两个相等实数根」与「一个交点」的对应关系理解；由图象位置反推方程根的范围；数形双向转化的灵活运用。 四、教学方法与准备 项目 内容 教学方法 情境探究法、讲练结合、数智赋能（几何画板动态演示 Δ 变化）、类比归纳 学习方法 自主画图 + 小组填对照表 + 双向变式训练 教学准备 多媒体课件、几何画板动态课件（y=ax²+bx+c 随b²-4ac 变化）、学案（含三个函数描点表） 五、教学过程（45 分钟 · 六环节详案） 环节一 情境导入（4 分钟） 活动 教师活动 学生活动 时间 问题驱动 ① 提问：如何求 y=x²+x-2 与 x 轴的交点？ ② 引导令 y=0 得到 x²+x-2=0，解方程得 x=1 或 x=-2 ③ 追问：交点 (1,0)、(-2,0) 与方程的根有何关系？ 令 y=0 解方程，观察交点横坐标与根相同，产生认知冲突 4′ 设计意图 由熟悉的一元二次方程求解入手，自然引出「交点横坐标即根」的核心结论。 环节二 探究新知 · 三个函数图象对比（12 分钟） 在同一坐标系中画出三个函数（几何画板辅助）： 1. ① y=x²+x-2：与 x 轴有两个交点 (-2,0)、(1,0)，对应方程 x²+x-2=0 有两个不相等实数根 x₁=-2, x₂=1；Δ=1+8=9>0 1. ② y=x²-8x+16：与 x 轴有一个交点 (4,0)（相切），对应方程 x²-8x+16=0 有两个相等实数根 x₁=x₂=4；Δ=64-64=0 1. ③ y=x²-x+1：与 x 轴无交点，对应方程 x²-x+1=0 没有实数根；Δ=1-4=-3<0 师生共同归纳「对应关系」并完成三行对照表（见第六部分）。 环节三 归纳结论（8 分钟） 一般结论（板书强调）：一般地，如果抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标为 x₀，那么当 x=x₀ 时函数值 y=0，因此 x₀ 是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的一个根。 三种情况：无交点 ⇔ 无实数根；一个交点（相切）⇔ 两个相等实数根；两个交点 ⇔ 两个不相等实数根。 环节四 例题精讲（13 分钟 · 重心环节） 例题 题目 解答要点 时间 例1 判断 y=2x²+x+3 与 x 轴交点个数，并说出对应方程根的情况 a=2,b=1,c=3；Δ=1-24=-23<0；无交点，方程无实数根 13′ 例2 已知抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于 (-3,0)、(1,0)，写出对应方程并求 a、b、c 关系 方程 ax²+bx+c=0 的两根为 -3、1；由根与系数的关系 x₁+x₂=-=-2、x₁x₂==-3 例3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图所示（开口向上、与 x 轴两交点在原点两侧），判断 Δ 与 a、b、c 的符号 两交点 → Δ>0；交 y 轴负半轴 → c<0；结合开口向上 a>0、对称轴位置定 b 设计意图 由式求交点 → 由交点写根 → 由图象判符号，三层递进，落实数形双向转化。 环节五 巩固练习（5 分钟） ① 判断 y=x²-4x+5 与 x 轴交点个数；② 已知抛物线与 x 轴交于 (2,0)、(-1,0)，写出对应一元二次方程；③ 若抛物线 y=x²-2x+m 与 x 轴只有一个交点，求 m 的值。 环节六 课堂小结与作业（3 分钟） 小结口诀：令 y=0 化方程，Δ 定交点个数，交点横坐标即根；Δ>0 两根不等、Δ=0 两根相等、Δ<0 无实根。 作业布置（见第八部分）。 六、核心概念辨析 （一）Δ 与交点个数、根的情况对照表 判别式 Δ 抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴 一元二次方程 ax²+bx+c=0 交点名称 Δ=b²-4ac >0 有两个交点 有两个不相等的实数根 相交 Δ=b²-4ac =0 有一个交点（相切） 有两个相等的实数根 相切 Δ=b²-4ac <0 没有交点 没有实数根 相离 （二）两条口诀 ① 求交点：令 y=0 得方程，解方程得横坐标； ② 判个数：算 Δ 定交点，Δ 正负零对应两根不等、相等、无实根。 （三）四大易错点 序号 易错点 正解提醒 1 把”一个交点”说成”方程只有一个根” Δ=0 时是”两个相等的实数根”，仍是两个根（重根） 2 由图象判断交点个数时凭印象、不计算 Δ 必算 Δ=b²-4ac 验证，尤其含参题先讨论 Δ 3 忘记 a≠0 的前提，把一次函数情形混入 二次函数要求 a≠0，否则退化为一次方程 4 混淆「交点横坐标」与「交点坐标」的表述 根是横坐标（一个数），交点是点 (x₀,0) 七、板书设计（左中右三区） 左区 · 三个函数 中区 · 例题板演 右区 · 方法总结 y=x²+x-2 → Δ=9>0 两交点 y=x²-8x+16 → Δ=0 一切点 y=x²-x+1 → Δ<0 无交点 例1 y=2x²+x+3 Δ=1-24=-23<0 无交点 → 无实根 例2 两根 -3、1 -b/a=-2, c/a=-3 口诀： ① 令 y=0 化方程 ② Δ 定交点个数 ③ 交点横坐标即根 八、作业设计（分层） 层次 内容 设计意图 基础 判断 y=x²-2x-3、y=x²+4x+4、y=2x²-x+5 与 x 轴交点个数及对应方程根的情况 巩固 Δ 三类判断 提高 抛物线 y=x²+bx-3 与 x 轴交于 (3,0)，求 b 及另一交点 由交点反求系数 拓展 若抛物线 y=x²-2x+m 与 x 轴有交点，求 m 的取值范围（为第 2 课时近似根铺垫） 含参讨论，衔接下课时 九、时间分配表 环节 内容 时间 一 情境导入（令 y=0 解方程 → 引出交点与根的关系） 4′ 二 探究新知 · 三个函数图象对比（Δ>0 / Δ=0 / Δ<0） 12′ 三 归纳结论 · 填对照表 8′ 四 例题精讲（由式求交点 / 由交点写根 / 由图象判符号） 13′ 五 巩固练习 5′ 六 课堂小结 + 作业布置 3′ 合计 45′ 十、教学反思 本节课的成功之处（课后填写）： 仍需改进之处（课后填写）： 学生易错点反馈（课后填写）： 学科网（北京）股份有限公司 $