26.4 第3课时 抛物线形问题 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

26.4 第3课时 抛物线形问题 教学设计 课题 抛物线形问题 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第3课时 课型 新授课 教学目标 1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；2. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题；3. 能运用二次函数的图象与性质进行决策。 教学重点 建坐标系解决拱桥问题。 教学难点 建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题。 教学方法 情境教学、建模探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸 课后练习 拱桥水面宽题、隧道通行题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 引入课题 一、创设情境，引入课题 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥（如图）吧？二次函数在拱桥等抛物线形问题中的应用也十分广泛。能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ 学生观察生活中的抛物线形建筑，感受二次函数与实际生活的密切联系。 从生活实景引入，让学生体会“数学建模”的对象就在身边，激发学习兴趣。 二、探索新知 归纳知识 二、探索新知，归纳知识 【探究】一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m。突降暴雨，水面上升 1 m 时，此时水面宽度为多少？ 【分析】解决抛物线形实际问题，通常的步骤是：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）将实际建筑数学化、数字化，把实际数量转化为点的坐标；（3）明确具体的数量关系，设出函数解析式并求解；（4）分析所求问题，代入解析式求解。 教师提出问题：（1）水面上升 1 m 的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？（2）你还有其他的解决方法吗？ 解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系。 设抛物线解析式为 。将点 (5，−4) 代入解析式，得 ，解得 。因此，这条抛物线对应的二次函数为 。 当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为 −3。所以当 时，。因此，此时水面宽度为 m。 【归纳】1. 将线段长度转化为点的坐标问题；2. 利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解；3. 利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度。 学生讨论建系方案（不同建系方式得出不同解析式），完成计算并交流展示；教师引导学生体会“以拱顶为原点”设 y=ax2 的简洁性。 在解决呈抛物线形状的实际问题时，经历“建系—转化坐标—求解析式—回归实际”的全过程，体会坐标法化实际为数学的威力。 三、学以致用 应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米。水面下降 1 米时，水面的宽度为　　　　　　米。 解析：以拱顶为原点建立直角坐标系，设这条抛物线为 。把点 (2，−2) 代入，得 ，解得 ，∴。当水面下降 1 米时，水面的纵坐标为 −3，令 ，得 。故水面的宽度为 米。 答案：（约 4.9）。 【例2】如图，小明的父亲在相距 2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方 A，B 距地面高都是 2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状。身高 1 m 的小明距较近的那棵树 0.5 m 时，头部刚好接触到绳子 C 处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 解：建立如图所示的平面直角坐标系（原点 O 在绳子最低点正下方的地面上，x 轴沿地面，y 轴竖直向上），可设它的函数解析式为 。把 B(1，2.5)，C(−0.5，1) 代入，得 ，。两式相减得 ，解得 a＝2，k＝0.5。∴抛物线的解析式为 。∵a＝2＞0，∴y 有最小值，∴当 x＝0 时，。 答：绳子的最低点距地面的距离为 0.5 m。 学生独立建系、设解析式、代入求解；教师适时指点，引导学生对比不同建系方式下计算的繁简。 例1 巩固拱桥模型（注意所求为宽度而非横坐标）；例2 展示“顶点不在原点”的抛物线设式（y=ax2+k），体会建系方式对简化运算的作用。 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数 （t 的单位：s，h 的单位：m）可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是　　　　　　 s。 答案：（≈0.36）。（当 时，h 最大。） 2. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮。已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为 7 m；当球出手后水平距离为 4 m 时到达最大高度 4 m。设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 m。 ①建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ ②此时，若对方队员乙在甲面前 1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 m，则他能否获得成功？ 答案：①以出手点正下方地面处为原点 O 建系。由顶点 (4，4)，可设 。把出手点 (0，) 代入，得 ，解得 。∴。当 x＝7 时，，恰好等于篮圈高度，∴此球能准确投中； ②当 x＝1 时，＜3.1，乙的最大摸高 3.1 m 高于球在此处的高度 3 m，∴乙能拦截成功。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；提醒学生先建系、明确点的坐标，再代入求解。 第1题回归最值模型求时间；第2题综合建系、顶点式设解析式与“代入检验作决策”，训练运用二次函数的图象与性质进行决策的能力。 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题（回归实际意义作答）。 注意：建系方式不唯一，选择恰当的坐标系（如以拱顶、最低点为原点）可使运算更简洁；所得结果要检验是否符合实际意义。 学生自主梳理五步流程，对比不同建系方式的优劣，教师补充完善。 把拱桥、秋千、投篮等问题统一到“建系—坐标—解析式—求解—作答”的坐标法模型下，形成方法体系，发展建模与决策能力。 六、布置作业 六、布置作业 1. 一座抛物线形拱桥，当水面宽为 6 m 时，拱顶离水面 3 m。以拱顶为原点、水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；若水面下降 1 m，此时水面宽为多少米？（结果保留小数点后两位） 参考答案：设 ，把点 (3，−3) 代入，得 ，∴。水面下降 1 m 后，水面纵坐标为 −4，令 ，得 ，所以此时水面宽为 米。 2. 某隧道的横断面为抛物线形，以底部两端点所在直线为 x 轴、底端连线的中点为原点建立坐标系，隧道底面宽 8 m，拱高 4 m，横断面满足 （单位：m）。一辆宽 2.4 m、高 3 m 的卡车（车顶视为水平，沿隧道中线行驶）能否通过该隧道？请说明理由。 参考答案：沿中线行驶时，车身两侧距中线 1.2 m，即 x＝±1.2。当 x＝1.2 时，＞3，隧道在车宽范围内的高度均大于车高 3 m，所以这辆卡车能通过该隧道。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，先建系并写出关键点坐标，再求解析式求解，最后结合实际意义作答。 作业覆盖“拱桥水面宽”与“隧道通行决策”两类模型，巩固坐标法建模与运用函数性质进行决策的能力。 板书设计 抛物线形问题 一、一般步骤 建立坐标系 → 写关键点坐标 → 待定系数求解析式 → 求解 → 回归实际作答 二、常见设法 拱顶为原点：；已知顶点非原点： 或 三、注意 线段长度与坐标的互化；结果须符合实际意义 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $