26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程 教学设计 课题 二次函数与一元二次方程（第2课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1. 复习巩固用函数 y=ax2+bx+c 的图象求方程 ax2+bx+c=0 的解；2. 让学生体验函数 y=x2 和 y=bx+c 的交点的横坐标是方程 x2=bx+c 的解的探索过程，掌握用函数 y=x2 和 y=bx+c 的图象交点的方法求方程 ax2=bx+c 的解。 教学重点 用函数图象法求方程的解，以及提高学生综合解题能力。 教学难点 提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。 教学方法 复习巩固、探究发现、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸 课后练习 图象法求根、两图象交点法、交点与解析式综合题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习巩固 温故知新 一、复习巩固，温故知新 【问题】1. 如何运用函数 的图象求方程 的解？ 2. 完成以下两道题： （1）画出函数 的图象，求方程 的解（精确到 0.1）； （2）画出函数 的图象，求方程 的解。 提示：（1）图象与 x 轴公共点的横坐标约为 −1.6 和 0.6，所以方程的解为 ，；（2）图象与 x 轴公共点的横坐标为 −0.5 和 2，所以方程的解为 ，。 学生独立画图求解，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；老师提问，引导学生思考。 复习第1课时内容，加深对二次函数与一元二次方程（不等式）关系的理解，为探索两图象交点法作铺垫。 二、典例精讲 探索新知 二、典例精讲，探索新知 【例】利用函数图象求方程 的实数根（精确到 0.1）。 解：如图，作 的图象，它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 −0.7，2.7。所以方程 的实数根为 ，。 【归纳】由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。 学生在坐标纸上描点作图，找出抛物线与 x 轴的公共点，读出横坐标；教师利用课件准确求出方程的解，引导学生对比估计值与准确值，体会其中的差异。 利用二次函数与一元二次方程的关系解决问题；课件作图与准确求根相对照，让学生理解图象法所得的根一般是近似的。 三、合作探究 深化理解 三、合作探究，深化理解 【探究】育才中学九年级（3）班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程 的解时，几乎所有学生都是将方程化为 ，画出函数 的图象，观察它与 x 轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数 和 的图象，如图所示，认为它们的交点 A、B 的横坐标 和 2 就是原方程的解。 【思考·讨论】 1. 这两种解法的结果一样吗？ 2. 小刘解法的理由是什么？ 3. 函数 和 的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？ 4. 函数 和 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程 的解吗？ 5. 如果函数 和 的图象没有交点，一元二次方程 的解怎样？ 解答：1. 一样。方程 即 ，也就是 ，解得 ，，与交点 A、B 的横坐标一致。 2. 交点 A、B 同时在两个函数的图象上，其坐标同时满足 与 ，消去 y 便得 ，所以交点的横坐标就是原方程的解。 3. 不一定。如 与 ：由 即 ，判别式小于 0，方程无实数解，两图象没有交点；又如 与 只有一个公共点（0，0）。 4. 一定。只要两图象有交点，交点的横坐标就同时满足两个函数解析式，消去 y 后必满足 。 5. 方程 没有实数解。 【做一做】利用图象，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。 （1）（精确到 0.1）；（2）。 解答：（1）将方程化为 ，画 与 的图象，交点的横坐标约为 0.6 和 −1.6，所以方程的解为 ，，方法合理； （2）将方程化为 ，即 ，画 与 的图象，交点的横坐标为 −0.5 和 2，所以方程的解为 ，，方法合理。 【综合运用】已知抛物线 和直线 相交于点 P（3，4m）。 （1）求这两个函数的关系式； （2）当 x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。 解：（1）因为点 P（3，4m）在直线 上，所以 ，解得 m＝1。所以 ，P（3，4）。 因为点 P（3，4）在抛物线 上，所以 ，解得 k＝2。所以 。 （2）依题意，得 ，即 ，解得 ，。代入 ，得对应的函数值分别为 2.5 和 4。所以当 x＝1.5 或 x＝3 时，抛物线与直线相交，交点坐标分别是（3，4）和（1.5，2.5）。 学生分组讨论、交流合作，围绕五个问题展开辨析；各组选派代表发表意见，尝试举例说明；教师点拨“交点坐标同时满足两条解析式”这一本质。 让学生体验函数 y=x2 和 y=bx+c 的交点的横坐标是方程 x2=bx+c 的解的探索过程，经历“争论—辨析—验证”，理解两图象交点法的合理性及其与图象法的联系。 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 利用函数的图象求下列方程的解： （1）；（2）。 答案：（1）画 的图象，与 x 轴公共点的横坐标为 −3 和 2，所以 ，； （2）画 的图象，与 x 轴公共点的横坐标为 −1 和 2.5，所以 ，。 2. 利用函数的图象求下列方程的解： （1）；（2）。 答案：（1）画 的图象，与 x 轴公共点的横坐标为 1 和 3，所以 ，； （2）画 的图象，与 x 轴公共点的横坐标为 −2 和 1，所以 ，。 3. 填空。 （1）抛物线 与 x 轴的交点坐标是　　　　　　　　　　，与 y 轴的交点坐标是　　　　　　　　　　。 （2）抛物线 与 y 轴的交点坐标是　　　　　　　　　　，与 x 轴的交点坐标是　　　　　　　　　　。 答案：（1）（−1，0），（2，0）；（0，−2）。（2）（0，3）；（1，0），（1.5，0）。 4. 已知抛物线 与直线 的交点的纵坐标为 3。 （1）求抛物线的关系式； （2）求抛物线与直线的另一个交点坐标。 解：（1）由交点的纵坐标为 3，得 ，解得 x＝−1，所以交点为（−1，3）。代入 ，得 ，解得 k＝−3。所以抛物线的关系式为 。 （2）联立两解析式，得 ，即 ，也就是 ，解得 ，。x＝−1 是已知交点，当 x＝−2 时，y＝5。所以另一个交点的坐标为（−2，5）。 5. 已知抛物线 与直线 相交于（m，−2），（n，3）两点，且抛物线的对称轴为直线 x＝3，求函数的关系式。 解：由点（m，−2）在直线 上，得 ，解得 m＝0，即该点为（0，−2）；由点（n，3）在直线上，得 ，解得 n＝5，即该点为（5，3）。 抛物线过（0，−2），得 c＝−2；由对称轴 ，得 ；又过（5，3），得 ，即 。联立解得 a＝−1，b＝6。所以抛物线的关系式为 。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；填空题先定交点再写坐标，综合题抓住“交点坐标满足两条解析式”列方程。 五道题从图象法求根、两图象交点法，到交点坐标与解析式互求，覆盖“数”与“形”的双向转化，全面检验本课目标的达成，提高综合解题能力。 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 1. 如何用画函数图象的方法求方程的解？一是画抛物线 ，由其与 x 轴交点的横坐标得方程 的解；二是将方程变形后，画 与相应直线的图象，由交点的横坐标得方程的解。 2. 你能根据方程组 与 的解的情况，来判定函数 与 图象交点的个数吗？ 可以。消去 y 得 ，即 ：判别式大于 0 时有两个交点，等于 0 时有一个交点，小于 0 时没有交点。方程组的解与图象的交点一一对应。 学生自主梳理图象法求根的两种途径，尝试用方程组的解与图象交点的对应关系说理，教师补充完善。 复习过程中，通过观察二次函数与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系，体会数形结合思想的运用。 六、布置作业 六、布置作业 1. 利用函数图象，求方程 的实数根（精确到 0.1）。 参考答案：画 的图象，它与 x 轴公共点的横坐标约为 0.6 和 3.4，所以方程的实数根为 ，。 2. 仿照小刘的方法，画 与相应直线的图象，求方程 的解。 参考答案：画 与 的图象，两图象只有一个公共点（1，1），所以方程的解为 。此时直线与抛物线相切。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，画图取点要准确，读数按题目要求保留，并用方程检验图象法所得的解。 作业覆盖“图象法求近似根”与“两图象交点法求精确根（含相切情形）”，巩固图象法与方程法的联系，发展数形结合能力。 板书设计 二次函数与一元二次方程（第2课时） 一、图象法求方程的解 画 的图象，与 x 轴交点的横坐标即 的根（近似） 二、两图象交点法 与 的交点横坐标 = 的解 三、注意 图象法所得的根一般是近似的；没有交点 对应 没有实数解 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $