第1章三角形单元测试2026-2027学年浙教版数学八年级上册

第1章三角形单元测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等形的识别．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 2．到三角形三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键．根据线段垂直平分线的判定求解． 【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上， ∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点． 故选：C． 3．以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，3，5 C．15，7，7 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系 ；根据三角形的两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边判断即可． 【详解】解：A．，故1，2，3不能构成三角形，不符合题意； B．，故1，3，5不能构成三角形，不符合题意； C．，故15，7，7不能构成三角形，不符合题意； D．，故6，8，10能构成三角形，符合题意； 故选：D． 4．如图，在△ABC中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有△ABC、、、、，一共5个， 故选：C． 5．将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的求解，根据题意得：，，，根据平行线的性质和邻补角可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， ， ， 故选：B． 6．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 7．如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵在△ABC中，，， ， ∵平分， ， ， 故选：C． 8．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 9．如图，在△ABC中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出与的关系，并能找出与的关系规律成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得到再根据三角形的内角和定理可得：的度数，再根据与的角平分线交于点，可得，进而求出，，以此类推可得到： ，然后整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C． 10．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示： 则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故选：B． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，是△ABC的中线，，，若的周长比的周长小4，则△ABC的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为△ABC的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长小4， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴△ABC的周长为， 故答案为：22． 12．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，   根据直角三角形两锐角之和为，得：   ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 13．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 14．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手 次． 【答案】2 【分析】本题考查了逻辑推理能力，根据握手次数进行推导是解题的关键．共有5个人，A同学握手4次，则A与B、C、D、E每人握手一次，则B、C握手一定不是与D握手，依此类推即可确定． 【详解】解：共有5个人，A同学握手4次， A与B、 C、 D、 E每人握手一次， D同学握手1次， B、C握手一定不是与D握手， B握手3次，D握手1次， B握手3次一定是与A、 C、 E的握手， C握手2次， C是与A和B握手， E一共握手2次，是与A和B握手． 故答案为：2． 15．如图，在△ABC中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与△ABC的一条边平行，若，则的度数为 °．（结果用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．分两种情况：当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和折叠的性质，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 16．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故答案为：8，8． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用两直线平行同位角相等得到，由此根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 18．（6分）如图，已知D、E是△ABC内的两点，问成立吗？请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明． 【详解】解：，理由如下： 延长交于点F、延长交于G， 在中：①， 在中：②， 在中：③， ∵， ∴①②③得： ， 即：， ， ∴． 19．（8分）如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据得出,根据，问题得证； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， ，即， ； （2）， ， ， ， 平分， ， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 20．（8分）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确记忆线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 21．（10分）已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 22．（10分）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 23．（12分）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先根据线段中点的定义可得，再利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 24．（12分）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理． （1）利用即可证明出； （2）先得到是等边三角形，利用全等性质可得，后利用即可计算出； （3）过点作于点，于点，利用全等性质可得 再证明出，继而得到； （4）分三种情况讨论：当在线段上，点在的右侧或左侧时，证明，继而得到，当在的延长线上时，证明，继而得到，后即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：， ， 又，， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，于点， ， ， ， ， ， ， ， 又， 平分． （4）解：如图所示，当在线段上，点在的右侧时， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 又，， ， ， ， ，， ， 如图所示，当在线段上，点在的左侧时，连接， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴,， 又∵,, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴,， ∴， ∵,， ∴; 在直角三角形中，根据勾股定理可得，即 解得， 如图所示，当在的延长线上时， ， 同理， ， ，， ， 综上所述，或或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章三角形单元测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．到三角形三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点 3．以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，3，5 C．15，7，7 D．6，8，10 4．如图，在△ABC中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 6．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 10．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，是△ABC的中线，，，若的周长比的周长小4，则△ABC的周长为 ． 12．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 13．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 14．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手 次． 15．如图，在△ABC中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与△ABC的一条边平行，若，则的度数为 °．（结果用含的代数式表示） 16．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，，，，求证：． 18．（6分）如图，已知D、E是△ABC内的两点，问成立吗？请说明理由． 19．（8分）如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 20．（8分）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 21．（10分）已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 22．（10分）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 23．（12分）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 24．（12分）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $