第1章 三角形（B卷·综合能力培优卷）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第1章 三角形（B卷·综合能力培优卷） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2025八上·红花岗月考）下列各组中的两个图形，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026八上·邵阳期末）线段a、b、c首尾顺次相接组成三角形，若a=1，b=3，则c的长度可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025八上·曲阳期中）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（　　） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 4．（2025八上·魏县期中）在下列条件中：①，②，③三个外角的度数之比为，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025八上·红花岗月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 6．（2025八上·绍兴期中）将一副三角尺如图摆放，其中∠DFB的度数为（　　） A．15° B．75° C．105° D．135° 7．（2025·长春模拟）下列命题中是假命题的为（　　） A．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数 B．一个有理数与一个无理数的差一定是无理数 C．一个有理数与一个无理数的积一定是无理数 D．一个无理数的倒数一定是无理数 8．（2025八上·嵊州月期中） 如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（2025八上·温州期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．（2025八上·临澧期末）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②③④ 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2026·合江模拟）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为　 　． 12．（2026八上·杭州月考）如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是　 　． 13．（2025八上·镇原县期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，若∠BOC=116°，则∠BPC=　 　°. 14．（2025八上·宁波期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为　 　． 15．（2025八上·义乌月考）如图，点在同一条直线上，，已知，，则的长为　 　． 16．（2024八上·荔湾期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填写正确的序号） 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025八上·温州期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命题，请举出反例加以说明. （1） 若k>0， AB=3k， BC=4k， AC=6k， 则△ABC是直角三角形； （2） 若a>4， 则代数式(a+2)(a-2)-a(a-1)是正数. 18．（2025八上·杭州月考）如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A。 （1）作∠BDC 的平分线DE，交BC于点E (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC 的位置关系，并说明理由。 19．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知平分，点为上一点，连接，． （1）请从，中任选一个作为条件，使得结论“”成立 （2）在（）的条件下，若，，求的度数． 20．（2025八上·南湖期中）如图，AB∥CD，BP和CP 分别平分∠ABC和∠DCB，AD 过点P，且与AB 垂直. （1） 若AD=8， 求点 P到BC的距离； （2）直接写出线段AB、BC、CD存在的数量关系. 21．（2025八上·固安期中）如图，在中，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，求的长； （2）若，求的大小． 22．（2025八上·东阳月考）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． （1）若，，求与； （2）若时，则____________，____________． 23．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，BD，CE相交于点O，连接ED，DE>CD。 （1）求∠BOC 的度数； （2）求证：BC-BE>DE-CD； （3）若，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 第2章 三角形（B卷·综合能力培优卷） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2025八上·红花岗月考）下列各组中的两个图形，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、A选项图形大小不一，不全等，故A错误. B、B选项图形形状不一，不全等，故B错误. C、C选项图形形状、大小一样，全等，故C正确. D、D选项图形形状不一，不全等，故D错误. 故答案为：C. 【分析】根据大小、形状都相同的两个图形全等，再结合A、B、C、D 各选项的图形即可得答案. 2．（2026八上·邵阳期末）线段a、b、c首尾顺次相接组成三角形，若a=1，b=3，则c的长度可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， 即： ， ∴c的长度可能为3． 故答案为：A 【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边列不等式，可得到c的取值范围，再观察各选项中的数据，可得c的长度. 3．（2025八上·曲阳期中）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（　　） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【解析】【解答】解：方案一：如图1所示， ， ，， ， 是对应边，由判定两个小三角形全等， 故方案一：√； 方案二：如图2所示， ， ，， ，所以其对应边应该是和， 而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等， 故方案二：×； 综上所述，方案一：√、方案二：×． 故答案为：D． 【分析】利用三角形外角定理推导两个小三角形内部的一组角相等；再结合已知∠B=∠C=α，得到两组角相等；接着重点观察题目给出长度为 3 的线段，判断该边是否为两组角所对应的对应边；最后对照 AAS 全等判定：两组角及其中一组角的对边对应相等才可以判定全等，如果是 SSA 的情况，则不能保证一定全等. 4．（2025八上·魏县期中）在下列条件中：①，②，③三个外角的度数之比为，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】【解答】解：①∵，且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确. ②∵，且， ∴最大角， ∴是直角三角形，故②正确. ③∵三个外角的度数之比为， ∴最小外角度数为， ∴三角形最大内角是， ∴是直角三角形，故③正确. ④∵，且， ∴， ∴ ∴是直角三角形，故④正确. ⑤∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故⑤不正确. 综上所述，能确定是直角三角形的条件有4个. 故答案为：C． 【分析】根据三角形内角和定理，结合条件 ①，②， ④，⑤分别求出每个三角形的最大内角即 可判断①②③④正确，⑤错误，再根据③三个外角的度数之比为，得最小外角度数为，进而得 三角形最大内角是， 即可判断③正确，综合即可得答案. 5．（2025八上·红花岗月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 由题意得：，，， ， ，， ， ， 在和中， ∵， ， ，， ， . 故答案为：C． 【分析】根据题意得，，，根据和为90度，和为90度，推出相等，再根据可判定全等，根据全等三角形的性质得等于，等于，再根据，求出等于0.5米，从而根据，计算得即可得 小丽距离地面的高度 . 6．（2025八上·绍兴期中）将一副三角尺如图摆放，其中∠DFB的度数为（　　） A．15° B．75° C．105° D．135° 【答案】C 【解析】【解答】解：∵∠AFB=∠EAD+∠ACB=30°+45°=75°， ∴∠DFB=180°-∠AFB=105°. 故答案为：C. 【分析】根据三角形外角的性质可得∠AFB的度数，再根据邻补角点的定义即可得出答案. 7．（2025·长春模拟）下列命题中是假命题的为（　　） A．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数 B．一个有理数与一个无理数的差一定是无理数 C．一个有理数与一个无理数的积一定是无理数 D．一个无理数的倒数一定是无理数 【答案】C 【解析】【解答】解：C． 一个有理数与一个无理数的积不一定是无理数， 例如：，故此命题是假命题； 其余选项都是真命题， 故选：C． 【分析】本题以命题的真假判断为背景，考查了有理数与无理数的运算性质。0乘以无理数结果为0（有理数），故“有理数与无理数的积一定是无理数”是假命题. 8．（2025八上·嵊州月期中） 如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'， ∴∠ACB＝∠A'CB'， ∴∠BCB'＝∠A'CB'﹣∠A'CB＝70°． 故答案为：C . 【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A'CB'，所以∠BCB'＝∠BCB'，再根据角的和差关系代入数据计算即可． 9．（2025八上·温州期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵点是的中点， ∴是三角形中线， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点，同理， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴阴影部分面积． 故选：B． 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，从大三角形开始，利用”三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，依次通过中线（D、E、F是中点）将面积平分，逐步计算阴影部分面积. 10．（2025八上·临澧期末）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】【解答】解：①是的高， ， ， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ②是的高，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，故②正确； ③，， ，， ，故③正确； ④如图，延长交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③， 故答案为：B． 【分析】①根据三角形的高以及角平分线的定义求出，利用三角形内角和定理求出，判断①正确；②证明，得到，再证明，判断②正确；③由①②的全等三角形的性质可得，，结合，等量代换可得，判断③正确；④延长交于点，证明，得到，从而得到，再说明得出，判断④错误. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2026·合江模拟）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：3． 【分析】利用全等三角形的对应边相等可得，由CF=EF-CE即可求解． 12．（2026八上·杭州月考）如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∵， ∴， ∵的面积为18， ∴， ， 故答案为：3． 【分析】延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可． 13．（2025八上·镇原县期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，若∠BOC=116°，则∠BPC=　 　°. 【答案】124 【解析】【解答】解：∵点O是三边垂直平分线交点， ∴O为△ABC外心， ∴∠BOC=2∠A， ∵∠BOC=116°， ∴， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°， ∵点P是内角平分线交点， ∴P为△ABC内心， ∴，， ∴， ∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-61°=124°． 故答案为：124． 【分析】先根据外心性质∠BOC=2∠A求出∠A=58°；再利用三角形内角和算出∠ABC+∠ACB=122°；接着由内心性质得到∠PBC+∠PCB等于两角和的一半61°；最后再次使用三角形内角和求出∠BPC=124°． 14．（2025八上·宁波期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为　 　． 【答案】26 【解析】【解答】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 【分析】 根据作图可得，直线是线段的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质，可得点到线段两个端点的距离相等，即；把三角形周长中的线段进行等量替换，将未知线段转化为已知长度的线段，代入计算即可求得周长． 15．（2025八上·义乌月考）如图，点在同一条直线上，，已知，，则的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【分析】根据全等三角形的性质得到，再据此推导出CD的长度，最后利用线段和差关系求出AD的长，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等的性质． 16．（2024八上·荔湾期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【解析】【解答】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义推理判断①正确；在上截取，根据角平分线的定义证明，即可得到，然后推理得到，即可得到判断②；作于于，连接，根据角平分线的性质得到，然后根据计算判断③解答即可． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025八上·温州期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命题，请举出反例加以说明. （1） 若k>0， AB=3k， BC=4k， AC=6k， 则△ABC是直角三角形； （2） 若a>4， 则代数式(a+2)(a-2)-a(a-1)是正数. 【答案】（1）解：假命题 反例： 当k=1时， AB=3， BC=4， AC=6. 所以 所以 所以△ABC不是直角三角形. （2）解：真命题 (a+2)(a-2)-a(a-1) =a-4 因为a>4 所以a-4>0 即(a+2)(a-2)-a(a-1)>0 所以(a+2)(a-2)-a(a-1)是正数. 【解析】【分析】(1)先利用勾股定理的逆定理，判断命题类型为假命题；再举反例验证一组边不满足勾股定理，同理可验证其他两组边也不满足勾股定理；最后得出结论，△ABC不是直角三角形，即该命题是假命题； (2)先判断命题类型为真命题；再化简代数式，并结合条件分析不等号方向不变；最后得出结论，代数式的值为正数，即该命题是真命题。 18．（2025八上·杭州月考）如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A。 （1）作∠BDC 的平分线DE，交BC于点E (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC 的位置关系，并说明理由。 【答案】（1）如图所示，DE即为所求. （2）解：DE∥AC， 理由如下：∵∠BDC=∠A+∠ACD， ∠ACD=∠A ， ∴∠BDC=2∠ACD， ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDC=2∠CDE， ∴∠ACD=∠CDE， ∴DE∥AC. 【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图. （2）根据外角定义及角平分线定义，得∠ACD=∠CDE，从而得DE∥AC. 19．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知平分，点为上一点，连接，． （1）请从，中任选一个作为条件，使得结论“”成立 （2）在（）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 选择①AB=AC作为条件： 在△ABD和△CBD中， ， ∴ （SAS）； 选择②∠A=∠C作为条件： 在△ABD和△CBD中， ， ∴ （AAS）. （2）解：由（1）可知，， ∴∠ADB=∠CDB， ∵， ∴∠ABD=∠CBD=20°， ∵ ， ∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=130°， ∴∠ADE=180°-∠ADB=50°， 同理可得，∠CDE=50°， ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE= ． 【解析】【分析】（）根据全等三角形的判定定理SAS或AAS，选择条件进行求证即可； （）由三角形全等的性质可知，∠ADB=∠CDB，根据角平分线定义及三角形外角性质求出，进而即可得出答案. （1）解：（1）∵平分， ∴， 选择， 在和中， ， ∴； 选择， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2025八上·南湖期中）如图，AB∥CD，BP和CP 分别平分∠ABC和∠DCB，AD 过点P，且与AB 垂直. （1） 若AD=8， 求点 P到BC的距离； （2）直接写出线段AB、BC、CD存在的数量关系. 【答案】（1）解：过P作 交BC于 E，由CP平分 可得 AD⊥AB， ， 又∵CP=CP， ，CD=CE， 同理可证PE=PB，BE=BA， 即PE=PA=PD，PA+PD=8. 即点 P到 BC的距离为4 （2）BC=CD+AB 【解析】【解答】（2）解：∵BE=BA，CD=CE， ∴BC=CE+BE=CD+AB； 故答案为：BC=CD+AB. 【分析】（1）过P作 交BC于 E，根据AAS证明，即可得到PE=PD，CD=CE，同理可得 PE=PB，BE=BA即可求出PE长解答即可； （2）根据线段的和差解答即可. 21．（2025八上·固安期中）如图，在中，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，求的长； （2）若，求的大小． 【答案】（1）解：∵是的中线且， ∴． ∵， ∴， 解得：． （2）解：在中，为它的一个外角，且， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， 在中， ． ∴． 【解析】【分析】（1）利用中线定义得出BC的长度，再结合三角形面积公式建立方程求解AF即可； （2）通过三角形外角性质求出∠ABE，然后根据角平分线定义得到∠ABC，再结合直角三角形两锐角互余及角度差计算∠DAF。 （1）解：∵是的中线，， ∴． ∵， ∴，解得：． （2）解：在中，为它的一个外角，且， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， 在中，． ∴． 22．（2025八上·东阳月考）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． （1）若，，求与； （2）若时，则____________，____________． 【答案】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，． 平分， ， ； ， 平分，平分， ，， ， ，即， ； ； （2）， 【解析】【解答】（2）， ， ， ，． 平分，平分， ，， ， ， 由（1）可知不变， ； ，； 故答案为：，． 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算出的度数；结合平行线的性质，得到的度数；结合角平分线的定义，算出相关角的度数，最终推导出和的度数。 （2）根据三角形内角和定理计算出的度数；结合平行线的性质，得到的度数；结合角平分线的定义，算出相关角的度数，最终推导出和的度数。 （1）解：，， ， 平分， ， ， ，． 平分， ， ； ， 平分，平分， ，， ， ，即， ； ；； （2）， ， ， ，． 平分，平分， ，， ， ， 由（1）可知不变， ； ，； 故答案为：，． 23．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，BD，CE相交于点O，连接ED，DE>CD。 （1）求∠BOC 的度数； （2）求证：BC-BE>DE-CD； （3）若，求的值。 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∴， ∴ （2）证明：如图，在BC上取点H，使，连接OH，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， 在中 ∴， ∴，， ∴， 在中 ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：如图，过作于，过作于， ∴， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】 （1）根据三角形内角和知∠ABC+∠ACB的和，再利用角平分线性质知 ，最后再根据三角形内角和求 ∠BOC 的度数 . （2）通过构造辅助线BH=BE，结合角平分线定义易证，从而证明，结合全等三角形性质比较线段差； （3）利用面积比及全等三角形性质推导线段比值. 学科网（北京）股份有限公司 $