精品解析：湖北武汉市黄陂区第七高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册（约80%）+选择性必修第一册第一章第1~2节（约20%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6 3. 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是5cm，则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为单位向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在平行四边形ABCD中，，，点E满足，点F是DE的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一组样本数据共有8个数，其平均数为5，方差为16，将这组样本数据增加两个数据构成一组新的样本数据，且新的样本数据的平均数为6，则新的样本数据的方差最小值为（ ） A. 16.2 B. 16.4 C. 16.6 D. 16.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若空间向量满足，则 B. 若空间向量满足，则 C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 小陈同学记录了次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：、、、、、、、、、，则这组数据的第70百分位数为___________. 13. 在四棱锥中，平面，底面是正方形.若，则直线与平面所成的角的大小为___________. 14. 在中，，，为的外心，若，、，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共2000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 18. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 19. 在中，，点E满足. （1）若，求证：是直角三角形； （2）已知点D满足. （i）若，求AD的值； （ii）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册（约80%）+选择性必修第一册第一章第1~2节（约20%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直，其数量积为零，再根据数量积的坐标表示，列式求出即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 3. 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是5cm，则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设该正三棱台的高为h，则， 且上底面面积，下底面面积， 所以该正三棱台的体积. 5. 已知为单位向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，，，解得， 则向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 6. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定和性质分析判断即可. 【详解】，，，得不到， 因为，可能相交，只要，和，的交线平行即可得到，； 反过来，若，，，则，和没有公共点， 所以，，即能得到，， 故“，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 在平行四边形ABCD中，，，点E满足，点F是DE的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，用，作为基底表示出，，再由数量积的运算律及定义计算即可. 【详解】因点E满足，点F是DE的中点，则，， 则 . 8. 已知一组样本数据共有8个数，其平均数为5，方差为16，将这组样本数据增加两个数据构成一组新的样本数据，且新的样本数据的平均数为6，则新的样本数据的方差最小值为（ ） A. 16.2 B. 16.4 C. 16.6 D. 16.8 【答案】D 【解析】 【详解】设增加的数为x，y，原来的8个数分别为， 则，，所以， 又因为，即， 新的样本数据的方差为 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以新的样本数据方差的最小值为16.8. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若空间向量满足，则 B. 若空间向量满足，则 C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，当，不共线时，满足，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，即，三点共线，C正确； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定共面， 则存在实数，使得，于是，此方程组无解， 即不共面，因此也是空间的一个基底，D正确. 10. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】将两个红球编号为、，三个黄球编号为、、，列举出样本空间以及事件、，结合古典概型的概率公式可判断AB选项；利用互斥事件的定义可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】将两个红球编号为、，三个黄球编号为、、， 则样本空间为 ， 事件， ， 对于AB选项，由古典概型的概率公式可得，，A对，B对； 对于C选项，，故与不互斥，C错； 对于D选项，，故与不独立，D错. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出正方体外接球半径计算判断A；利用空间位置的向量证明判断B；求出轨迹并求出其长度判断C；利用线线角的向量法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图： 则，设， 对于A，正方体的外接球半径，表面积，A正确； 对于B，，当P与B重合时，，，则，B正确； 对于C，，，由，得， 即，点P运动的轨迹为线段，其长度为，C错误； 对于D，，由，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 小陈同学记录了次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：、、、、、、、、、，则这组数据的第70百分位数为___________. 【答案】 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列为：、、、、、、、、、共个数据， 因为，所以这组数据的第百分位数为. 13. 在四棱锥中，平面，底面是正方形.若，则直线与平面所成的角的大小为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】将四棱锥放入正方体内，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，并找到直线与平面所成的角，最后求出. 【详解】如图，将四棱锥放入正方体内，不妨设，连接，相交于， 易知，，平面， 故平面，则为直线与平面所成的角， 在中，，，则， 即直线与平面所成的角为. 14. 在中，，，为的外心，若，、，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】将利用正弦定理得到，将的每一项都乘以，结合为的外心得到，将的每一项都乘以，结合为的外心得到，通过联立方程组求出、，从而得出的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 取线段的中点，连接，因为为的外心，则， 所以，同理可得， 因为，所以， 则，即， 因为，所以， 因为，所以， 则，所以， 联立，解得，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共2000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 【答案】（1），平均数为73 （2） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积和为求出，利用求平均数公式即可求出平均数； （2）利用概率的乘法公式求出甲乙均没有满分的概率，再根据对立事件求出答案. 【小问1详解】 由题意知， 解得， 估计这次体能测试成绩的平均数 . 即这次体能测试成绩的平均数为73. 【小问2详解】 记“至少有一人的体能测试成绩为满分”为事件A，所以， 所以， 即至少有一人的体能测试成绩为满分的概率为. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和正弦公式、三角形内角关系化简等式，求解角. （2）先用三角形面积公式求出，再借助余弦定理，整体代换求出，进而算出周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，，， ， ， 又，所以，所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，得， 由余弦定理得，即， 所以， 所以， 所以的周长为. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）如图，连接，交于点，连接. 在直四棱柱中，四边形是矩形，因为对角线与交于点， 所以为的中点， 又点是棱的中点，所以， 又平面平面， 所以平面. （2）连接. 因为底面是矩形，所以， 因为点分别是棱的中点，， 所以， 所以四边形是正方形，所以. 在直四棱柱中，平面， 又平面，所以. 因为平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质可证明，再由线面平行判定定理可得出证明； （2）根据正方形性质可证明，再由线面垂直性质可得，结合线面垂直判定定理证明可得平面，可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 【答案】（1）由题意知，， 因为， 则， 所以 ， 所以即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理用来表示，利用向量的数量积公式证明，即可证明； （2）利用模长公式计算即可求出答案. （3）利用向量的夹角公式求出，即可得答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以 . 又 ， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 19. 在中，，点E满足. （1）若，求证：是直角三角形； （2）已知点D满足. （i）若，求AD的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】（1）证明：因为，点E满足，所以， ， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 在中，由余弦定理得. 又因为，所以， 则，故是直角三角形. （2）（i）；（ii）最大值为27. 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理求出，从而得到结论； （2）（i）设，求出，在和中，分别利用正弦定理结合已知条件得到，得到 ，结合得到，在中，由余弦定理求出.（ii）利用三角形的面积公式求出，，通过计算得到，设，得到，解得的范围，在中，由余弦定理得，计算，求出，结合二次函数的图像和性质求出面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为点D满足，所以， 又， 设，则. 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 又，所以， 即， 解得，又，所以，解得， 所以， 在中，由余弦定理得， 即. （ii）由， 所以， ， 两式相乘得，则. 设，则，由，解得， 在中，由余弦定理得， 则， ， 由，得，当时，面积的最大值为27. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $