1.3.1公式法 同步作业 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

1.3.1公式法 同步作业 一、平方差公式直接分解（基础） 1．下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 3．若多项式 可以用平方差公式分解因式，则 m 的值可以为（　） A.6　　　B.−6　　　C.9　　　D.−9 4．下列因式分解中正确的是（　） A.=　　　B.= C.=　　　D.= 5． 是下列哪个多项式因式分解的结果（　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 6．分解因式： = ______ 7．把下列各式分解因式： （1）；（2）；（3）。 8．把下列各式分解因式： （1）；（2）；（3）。 二、先提公因式再平方差 9．把多项式 分解因式，结果正确的是（　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 10．下面是嘉淇同学把多项式 分解因式的过程： ＝（加法交换律） ＝（提取公因式）； （积的乘方） ＝（平方差公式）。 嘉淇的分解过程（　） A.正确　　　B.错误，公因式没有提完，正确结果应为 C.错误，平方差公式运用不正确　　　D.错误，第一步变形不正确 11．小明把多项式 分解因式，过程如下：==。小明的分解（　） A.正确　　　 B.错误，分解不彻底，应先提取公因式，正确结果应为 C.错误，完全平方公式运用不正确　　　 D.错误，该多项式不能用平方差公式分解 12．分解因式： = ______ 13．分解因式： = ______ 14．因式分解： （1）；（2）。 15．分解因式： （1）；（2）；（3）。 三、整体思想与连续分解 16．因式分解 的结果是（　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 17．已知多项式 的一个因式为 ，则另一个因式是（　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 18．分解因式： = ______ 19．分解因式： = ______ 20．分解因式：。 21．分解因式： （1）；（2）。 22．分解因式：。 四、应用与规律探究 23．若 =，=，则 的值为（　） A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 24．计算 的结果是（　） A.50　　　B.500　　　C.5000　　　D.7100 25．两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则 k 等于（　） A.4　　　B.8　　　C.4 或 −4　　　D.8 的倍数 26．已知 =，且 =，则 = ______ 27．利用因式分解简便计算： = ______ 28．圆形盘子外圆的半径是 ，内圆的半径是 ，现在要给盘子环形部分上釉（阴影部分）。如果 =，=，请求出阴影部分的面积。（结果保留 π） 29．先分解因式，再求值：，其中 =，=。 30．（2022·石家庄期中）认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： ① ===； ② ===； ③ ===； ④ ===；…… （1）请写出：算式⑤ = ______；算式⑥ = ______。 （2）上述算式的规律可用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被 8 整除”。如果设两个连续奇数分别为 和 （n 为整数），请说明这个规律是成立的。 （3）你认为“两个连续偶数的平方差能被 8 整除”这个说法是否也成立？请说明理由。 参考答案与解析 一、平方差公式直接分解（基础） 1．答案：C。解析：A、B 均为两平方项异号，可用平方差；D 项 =，可用；C 项 =，两平方项同号，不能用平方差公式分解。验算：C 项 已是最简形式，无法再写成两个整式乘积；而 A 项 =。 2．答案：D。解析：A 项 =，是提公因式，不是平方差；B 项 =，是完全平方公式；C 项 平方和，不可用；D 项 ==，可用平方差。验算：=，与原式一致。 3．答案：C。解析：平方差公式要求多项式为两项平方相减的形式，即 。 中 是正的平方项，故 m 必须是一个正数的平方（正的完全平方数），才能写成 减去一个正平方项的形式。逐项判断：A.6 是正数但不是完全平方数， 在有理数范围内不能分解；B.−6 时 =，两平方和，不能；C.9 是正的完全平方数，=，可以；D.−9 时 ，两平方和，不能。故选 C。验算：对 C 项 =，展开还原 =；A 项 无有理数一次因式；B、D 项为 、，均不能用平方差公式分解。 4．答案：C。解析：A 项 应 =，误作完全平方；B 项 应 =，误作完全平方；C 项 ==，正确；D 项 =，应为 ，系数 4 未开方，错误。验算：=，与原式一致。 5．答案：D。解析：先用平方差公式展开 ==；再添回负号：=。故选 D。验算：对 D 项作因式分解：==，还原为题干所给结果，一致。 6．答案：。解析：直接套用平方差公式：==。验算：==。 7．答案：（1）==；（2）==；（3）==。解析：两项、异号、均可写成平方，直接套平方差公式；第（3）题先交换成 再分解。验算：（1）=；（2）=；（3）==。 8．答案：（1）==；（2）==；（3）==。解析：先把每一项写成“某数（式）的平方”，确认是两项异号的平方差，再套公式；含小数时把小数系数也作为整体底数（0.1m、25n）。验算：（1）=；（2）=；（3）=。 二、先提公因式再平方差 9．答案：D。解析：先提公因式 4，得 ，再用平方差公式 =，故原式 =。A 项未分解彻底（括号内还可提 2）；B、C 项误用完全平方公式。验算：==，与原式一致。 10．答案：B。解析：原式系数 4 与 16 的最大公因数是 4，字母公因式是 m，公因式应为 4m；嘉淇只提取了 m，导致 中仍含公因数 2，未分解彻底。正确解法：==。验算：===。 11．答案：B。解析：小明直接做平方差分解，但结果 中每个因式仍含公因数 2，没有先提取公因式，分解不彻底。正确解法：==。验算：==。 12．答案：。解析：先提公因式 x：=，再对 用平方差公式：=。验算：==。 13．答案：。解析：先提公因式 ：=，再对 用平方差公式：=。验算：==。 14．答案：（1）==；（2）==。解析：多项式有公因式时必须先提公因式，再对余下的平方差套用公式，直到每个因式不能再分。验算：（1）==；（2）==。 15．答案：（1）==；（2）==；（3）==。解析：（1）（2）先提系数/字母公因式再平方差；（3）把 看作整体先提公因式，余下 再平方差。验算：（1）==；（2）==；（3）==，与原式一致。 三、整体思想与连续分解 16．答案：A。解析：把 看作整体，原式 =，用平方差公式得 =。验算：==；原式 ==，一致。 17．答案：D。解析：把 看作整体，===。已知一个因式为 ，故另一个为 。验算：=，与原式一致。 18．答案：。解析：把 看作整体，=，套用平方差公式：==。验算：==；原式 ==，一致。 19．答案：。解析：先提公因式 a：=；再连续用平方差公式：==； 仍可继续分解，最终 。注意 不能再分解。验算：===。 20．答案：分解因式过程如下： = = = ==。 解析：把 、 分别看作整体 a、b，套用平方差公式，再去括号合并同类项。验算：==；原式 ==，一致。 21．答案：（1）分解过程如下： = = ==； （2）== =。 解析：（1）把两个平方项的底数写成 、，整体套平方差，结果合并并整理符号；（2）连续两次用平方差：把 、 看作平方，再把 继续分解到不能再分。验算：（1）==；原式 ==，一致；（2）==。 22．答案：分解因式过程如下： = = = = = = =。 解析：把 、 各看作公式中的 a、b，整体套平方差；得到的两个一次式 、 仍各含公因数 2，须继续提取，最终合并为 ，才算分解彻底。验算：展开 ===；原式 ====，一致。 四、应用与规律探究 23．答案：A。解析：逆用平方差公式 =。代入 =、=，得 =，所以 =。验算：===，还原一致。 24．答案：C。解析：逆用平方差公式简便计算：===。验算：=，=，=，与公式法结果一致。 25．答案：B。解析：设两个连续奇数为 与 （n 为整数），则 ===。结果恒为 8 的倍数，故总可以被 8 整除。验算：=；原式 ==，一致。 26．答案：。解析：由平方差公式 =，代入已知条件：=，解得 ==。验算：===。 27．答案：2800。解析：先提取公因数 4，再逆用平方差公式：原式 ====。验算：直接算 =，=，==，一致。 28．答案：===。当 =，= 时：===（）。答：阴影部分的面积为 。解析：环形面积=外圆面积−内圆面积，逆用平方差公式 =，可避免分别算平方，使小数运算简便。验算：=，=，=；===。 29．答案：原式===。代入 =，=：原式 ===。解析：把 、 各看作整体，逆用平方差公式化积后再代入求值。验算：直接代入——=，=；=，=；===，一致。 30．答案：（1）算式⑤：===；算式⑥：===。（2）证明：===。∵n 为整数，∴ 能被 8 整除，故“两个连续奇数的平方差能被 8 整除”成立。（3）不成立。举反例：==，而 12 不是 8 的倍数，所以该说法不成立。解析：用平方差公式把 分解成“和×差”的形式，再判断整除性；对偶数情形用反例法即可。验算： 展开 ==；反例 ==，= 非整数。 学科网（北京）股份有限公司 $