1.1.1因式分解 同步作业 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

1.1.1 因式分解　同步作业 一、因式分解的概念辨析 （判断的关键：左边是多项式，右边是几个整式的乘积形式。整式乘法的展开不是因式分解；结果是”乘积+常数”的和差形式不是因式分解；左边是单项式不在因式分解范围内；每个因式必须是整式；提公因式不彻底、符号或系数错误的变形不是因式分解。检验因式分解是否正确的方法是：把分解结果再展开，看能否还原原多项式。） 1.　下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 2.　下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.　下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.　下列变形是因式分解的是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 5.　下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 6.　对于 ① ，② 从左到右的变形，表述正确的是（　　） 　　A. 都是因式分解 　　B. 都是乘法运算 　　C. ①是乘法运算，②是因式分解 　　D. ①是因式分解，②是乘法运算 7.　下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解，并且正确的是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 8.　检验下列因式分解是否正确。（1）（2）只判断（正确的打”√“，不正确的打”ד）；（3）（4）判断并说明理由。 　　（1）　　（2） 　　（3）　　（4） 二、因式分解与整式乘法的关系 （因式分解与整式乘法互为逆变形：因式分解的结果再展开（做整式乘法），应还原得到原多项式，据此可检验分解是否正确、求待定系数、还原多项式、求另一因式，并把相等的因式乘积形式与多项式形式对应起来；把算式化成几个数（整式）乘积的形式，还可揭示整除性、奇偶性等代数性质。） 1.　若 和 均是 的因式，则 的值为（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 8 　　D. 2 2.　已知多项式 可分解为 ，则 的值为（　　） 　　A. 1 　　B. 　　C. 5 　　D. 3.　如果把多项式 分解因式为 ，那么 的值为（　　） 　　A. 　　B. 2 　　C. 12 　　D. 4.　根据因式分解的意义填空： 　　（1）由 可得： 的因式分解是______； 　　（2）由______可得： 的因式分解是 ； 　　（3）由 可得：______的因式分解是 ； 　　（4）由______可得： 的因式分解是 。 5.　填空： 　　（1），这种从左到右的变形是______； 　　（2），这种从左到右的变形是______； 　　（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是______。 6.　若 ，则 ______，______。 7.　若代数式 可因式分解为 ，并且 、 为整数，则整数 ______。（只需填写一个答案） 8.　如果 是多项式 的一个因式，则 的值是______。 9.　已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值。 10.　判断 （ 为整数）是奇数还是偶数？请利用因式分解说明理由。 11.　利用因式分解说明： 能被 120 整除。 12.　已知 ，， 为正整数。利用因式分解说明： 能被 24 整除。 13.　 能被 2026 整除吗？能被 4046 整除吗？请说明理由。 14.　分解因式 时，一人看错了常数项 ，分解的结果是 ；另一人看错了一次项系数 ，分解的结果是 。请分别求出 、 的值。 15.　甲、乙两人完成因式分解 时，甲看错了 的值，因式分解的结果是 ；乙看错了 的值，因式分解的结果为 。求 因式分解的正确结果。 参考答案与解析 一、因式分解的概念辨析 1.　【答案】 D 【解析】 A 是单项式乘多项式，属于整式乘法，方向反了；B 的右边是”乘积+常数”的形式，不是几个整式的积；C 是多项式乘多项式，属于整式乘法；D 先提公因式 再用平方差公式，把多项式化成了几个整式乘积的形式。验算：，与左边一致。 2.　【答案】 B 【解析】 A 的左边是单项式，因式分解的对象是多项式；B 提公因式 4 把多项式化为整式乘积，符合定义；C 是多项式乘多项式，属于整式乘法；D 的右边是 ，整体不是积的形式。验算：。 3.　【答案】 A 【解析】 A 用平方差公式把多项式化为整式乘积，符合定义；B 变形错误，，而不是 ；C 右边是”乘积“，不是纯积的形式；D 右边含 ，不是整式。验算：。 4.　【答案】 C 【解析】 A 是平方差公式展开，属于整式乘法；B 右边含 ，不是整式，因式分解要求每个因式都是整式；C 用完全平方公式化为整式乘积，符合定义；D 右边是”乘积“，不是积的形式。验算：。 5.　【答案】 D 【解析】 A 变形错误，，而不是 ；B 右边是”乘积“，不是纯积的形式；C 是平方差公式展开，属于整式乘法；D 提公因式 化为整式乘积，符合定义。验算：。 6.　【答案】 D 【解析】 ① 左边是多项式 ，右边提公因式 得整式乘积 ，属于因式分解；② 左边是整式乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法。二者方向相反，互为逆变形。验算：，。 7.　【答案】 B 【解析】 A 提公因式不彻底，应为 ，变形错误；B 用平方差公式化为整式乘积，正确且属于因式分解；C 是完全平方公式展开，属于整式乘法；D 右边是”乘积+常数”，不是积的形式。验算：。 8.　【答案】 （1）×；（2）√ 　　（3）×；（4）× 【解析】 检验方法是把右边的分解结果再展开（做整式乘法），看能否还原左边的多项式。按设问，（1）（2）只给出判断结果，不写理由。（3）不正确。，漏掉常数项 3，正确应为 。（4）不正确。，系数错误，正确应为 。 二、因式分解与整式乘法的关系 1.　【答案】 D 【解析】 由题意 。把分解结果展开：。与原式比较对应项的系数，得 。这正是”因式分解的结果再展开应还原原多项式”的互逆验证。 2.　【答案】 C 【解析】 把分解结果展开：。与原式 比较对应项的系数，得 。 3.　【答案】 A 【解析】 把分解结果展开：。与左边 比较对应项系数，得 ，即 。验算：，还原原多项式。 4.　【答案】 （1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 由整式乘法与因式分解的互逆关系，把每个等式反过来读：（1）（平方差）；（2）（提公因式）；（3）（完全平方）；（4）（提公因式）。验算：，，，，均还原原多项式。 5.　【答案】 （1）因式分解；（2）整式乘法；（3） 【解析】 （1）左边是多项式（和差形式），右边是整式乘积，方向为”和差化积”，是因式分解；（2）左边是整式乘积，右边是多项式（和差形式），方向为”积化和差”，是整式乘法；（3）由互逆关系，把等式反过来写即得 。验算：。 6.　【答案】 ， 【解析】 利用互逆关系，把右边的因式乘积展开：。与左边 比较对应项：由 得 ；由 得 。验证：，还原原多项式。（注：本题答案经独立验算得出，原书答案为 有误，本作业按验算结果修正。） 7.　【答案】 5（答案不唯一） 【解析】 把 写成整数因数对并展开还原：，；，；，；，。故 可取 、，填写其中一个即可。验算：，还原原多项式。 8.　【答案】 【解析】 因为 是 的一个因式，由常数项 可知另一个因式为 ，即 。展开右边：。比较一次项系数，得 。 9.　【答案】 另一个因式为 ， 【解析】 设另一个因式为 ，则 。展开右边：。与左边比较对应项：由 得 ；由 得 。验算：，还原原多项式。 10.　【答案】 偶数 【解析】 把 因式分解，化成乘积形式：。因为 是整数， 与 是两个连续整数，其中必有一个是偶数，所以它们的乘积 一定是偶数，即 一定是偶数。例如 时，，是偶数。这与课本 P2 引入”把算式化成几个数乘积的形式来揭示性质”的思想一致。 11.　【答案】 能被 120 整除 【解析】 先统一底数，再化成乘积形式：因为 ，所以 ，于是 。乘积中含有因数 120，所以 能被 120 整除。 12.　【答案】 能被 24 整除 【解析】 因为 ，，所以 。因为 为正整数， 为正整数，乘积中含有因数 24，所以 能被 24 整除。例如 时，，能被 24 整除。 13.　【答案】 能被 2026 整除，也能被 4046 整除 【解析】 化成乘积形式：。乘积中分别含有因数 2026 和 4046，所以 既能被 2026 整除，也能被 4046 整除。 14.　【答案】 ， 【解析】 看错常数项 时，一次项系数 正确。把结果展开：，故 。看错一次项系数 时，常数项 正确。把结果展开：，故 。验算：原多项式为 ，分解正确。 15.　【答案】 【解析】 甲看错一次项系数 ，则常数项 正确。把甲的结果展开：，故 。乙看错常数项 ，则一次项系数 正确。把乙的结果展开：，故 。所以正确多项式为 。验算：，分解正确。 1 学科网（北京）股份有限公司 $