第83讲概率统计多选专项讲义-2027届高考数学一轮复习

第83讲 概率统计多选专项 古典事件·正态分布·统计特征·回归检验 一、古典概型与事件关系 1. 事件关系四判. 互斥（）、对立（互斥且并为全集）、独立（）、条件概率——四条判据互不相干，逐一验证；独立可推"一方取对立仍独立". 2. 递推概率多选. 仓鼠/蚂蚁/传球类：按状态写递推 型，配不动点化等比，再逐项判断单调性、奇偶摆动与有界性. 【通法】四判据逐一验，独立验积公式. 【通法】递推配不动点化等比. 例1（多选·★★★★☆） 如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】A：起点在 A，1 次选择后必不在 A，对。递推 ，。B：通项 本身不成等比（公比正负摆动），错。C：奇数项递增 ，对。D：，对。选 ACD。 【关键】四区域等概率转移的递推 配不动点 ——通项一立，B 的等比、C 的单调、D 的奇偶配对全部瞬间可判；多选的四个选项就是同一通项的四次应用. 【答案】ACD 变式1（多选·★★★★☆） 如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】设 为落在 三点的概率：，，。，A 对； 化简 与 ，解得 ，故 （C 对）、（D 对）；，B 错。选 ACD。 【关键】对称结构 先给 ；二阶递推 用"常数列+差分等比"双解组装通项——与第82讲太原传球同一套. 【答案】ACD 变式2（多选·★★★★☆） 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件 = “试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ） A. B. C. D. 且 【切入点】A：，错。B：，对。C：，对。D：（归纳），，对。选 BCD。 【关键】递归取数按"本层被选数"分类写概率方程； 的不变性（ 逐层回代）是全题的钥匙——独立性（D）由"选中大数后才可能选小数"的结构保证. 【答案】BCD 变式3（多选·★★★★☆） 将1，2，3，…，这个连续正整数随机分成，两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则的概率为 B. 若，则的概率为 C. 的概率为 D. 【切入点】A： 即 A 组恰为 ，，错。B：枚举得 8 组，，对。C： 即 中恰 1 个在 B 组：，对。D：，用 型恒等式累加得 ，对。选 BCD。 【关键】"随机分组"的分布列与期望——大题级压轴压缩进多选；D 的期望求和用组合恒等式 与朱世杰斜线求和（回指第80讲）. 【答案】BCD 变式4（多选·★★★★☆） 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】、，A 对；递推 ，，，，C、D 对；传球次数 ，，B 错。选 ACD。 【关键】"传球+不传"的二支递推：对称性 先行减元， 的不动点 配平；传球计数 的方差 直接查表. 【答案】ACD 变式5（多选·★★★☆☆） 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 【切入点】A：互斥则 ，对。B：独立时 ，错。C：独立时 ，，对。D： 给 ，，对。选 ACD。 【关键】、 的"事件关系四问"模板——互斥/独立两假设各走一遍； 是拆分核心公式. 【答案】ACD 变式6（多选·★★★☆☆） 在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率为，事件发生的次数超过一半的概率为，下列叙述中正确的是（ ） A. 若为奇数时， B. 若为偶数时， C. 若为奇数时，随着的增大而增大 D. 若为偶数时，随着的增大而增大 【切入点】A：、 奇时无中项，由对称性 ，错。B： 偶时含中项概率为正，，对。C： 很小（如 0.01）时 反而比 小，错。D： 偶时 每项恒正， 随 增大而增大，对。选 BD。 【关键】伯努利"超过一半"的对称性分析—— 时中项配对； 时 D 的单调性对逐项 求导证明；反例只取 与 即可破 C. 【答案】BD 二、正态分布与切比雪夫 1. 正态多选五考点. 对称求概率、 与 、区间概率与 的关系、、正态新定义函数 的对称性. 2. 切比雪夫不等式（新定义）. ——按题给定义套公式估计；二项分布 的 代入得样本量估计. 【通法】对称轴两侧等距等概率. 【通法】切比雪夫按定义代入. 例2（多选·★★★★☆） 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，不等式成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部分作物的高度进行调研，所得数据统计如下：雄性作物50株，平均高度30，方差为256；雌性作物50株，平均高度20，方差为361．由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是（ ） A. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25 B. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5 C. 为了保证下一次种植实验中至少有的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株 D. 经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大 【切入点】A：两组加权均值 ，对。B：合并方差 ，错。C：，切比雪夫取 ： 得 ，最少 27 株，对。D： 最大在 处，对。选 ACD。 【关键】切比雪夫是"新定义送分"：按公式代 解 ；合并方差补组间偏离平方； 最值的相邻比值法（）定众数. 【答案】ACD 变式7（多选·★★★☆☆） 已知随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】A：对称 ，对。B：，对。C：，错。D：，对。选 ABD。 【关键】 中 4 是方差（）——对称区间 关于 3 对称；线性变换 、 一口算. 【答案】ABD 变式8（多选·★★★☆☆） 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【切入点】A：，对。B： 增大 减小， 递减，错。C：，非偶函数，错。D：（对称性 ），关于 中心对称，对。选 AD。 【关键】"存活函数" 单调递减、关于 中心对称——两条性质覆盖全部选项；对称验证写 . 【答案】AD 变式9（多选·★★★☆☆） 若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】A：，对。B：，错。C：（对称轴 0），对。D：，而 在对称轴 左侧，小于 ，对。选 ACD。 【关键】双正态比较：先各自定 ； 对 X 是 、对 Y 偏在左侧——3σ 原则的标准数据（0.6827）直接引用. 【答案】ACD 三、统计数字特征 1. 线性变换与合并. 各特征账目分明；两组合并均值加权、方差补组间偏离；去极值后均值不变是常见隐藏条件. 2. 直方图+事件. 直方图读频率→估概率→事件 的交并计算——概率乘法用独立性，互斥看交事件是否为空. 【通法】合并方差补组间偏离. 【通法】直方图频率估概率→乘. 变式10（多选·★★★★☆） 若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（ ） A. 若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列 B. 若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列 C. 数列的极差数列可能为等比数列 D. 数列的极差数列的极差数列仍是 【切入点】A：等差数列的极差数列公差 或 0，是等差，对。B：反例 极差数列恰为 ，等差但原数列非等差，错。C：，不可能为等比，错。D： 单调不减，其极差数列就是 本身，对。选 AD。 【关键】"极差数列"单调不减（）是 D 的证明核心；B 的反例"奇减偶加"交错数列是经典构造，记住. 【答案】AD 变式11（多选·★★★★☆） 将容量为的总体分为两层，第一、二层的容量分别为，．现从这个总体中抽取容量为的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为，，，，且．记简单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为；记按比例分层随机抽样下，同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为，，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】，， 同理，。A：代入 化简两边同为 ，对。B：同法对称成立，对。C：反例 时 不成立，错。D： 放缩，对。选 ABD。 【关键】分层抽样"两特定个体同被抽中"概率：简单随机 、层内 、分属两层 ——四个公式先立，四个选项全是恒等变形与反例. 【答案】ABD 变式12（多选·★★★☆☆） 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件 = “高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件 = “高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 【切入点】由两版直方图分别算 、、：A 对、B 对；两事件交集非空，C 错；，D 错。选 AB。 【关键】直方图读三数（均值加权、中位数累积 0.5）再进入概率——事件 的概率用独立性乘（高一频率×高二频率）；互斥看交集是否空集. 【答案】AB 四、回归检验小题 1. 相关系数小题. 新增样本点 不改变 与回归方程——分子分母同加 0； 越接近 越强（比绝对值不比符号）. 2. 列联表反推. 已知边缘概率（如抗病虫害 0.8）反推格内数据，再算 与临界值比较；样本量 是反推的桥梁. 【通法】加中心点 r、b 不变. 【通法】列联表反推靠边缘合计. 变式13（多选·★★★☆☆） 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ）参考公式：， A. 当时，成对样本数据成线性正相关； B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； C. ，时，成对样本数据的相关系数满足； D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足； 【切入点】A： 正相关，对。B： 比 相关性更强（比绝对值），错。C：新增 分子分母同加 0，，对。D：同理 ，对。选 ACD。 【关键】"新增中心点"两个不变量—— 与回归斜率都不变，因为中心点的偏差全为 0；B 的陷阱在用 本身比较而不是 . 【答案】ACD 变式14（多选·★★★☆☆） 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ）其中经该药处理的种子中抗病虫害的有60粒，未经该药处理的种子中不抗病虫害的有14粒附：．当为时，临界值依次为 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 【切入点】任取 1 粒抗病虫害概率 0.8 给抗病合计 80；经处理合计 66、其中抗病 60，经处理且不抗病 粒——补表：经处理 66（抗 60、不抗 6）、未处理 34（抗 20、不抗 14）。处理且不抗病 6 粒，A 对，B 错（抗病 80 粒而非 84 粒）。，C 的 13.428 错，D 对。选 AD。 【关键】列联表反推从"边缘概率"入手（0.8×100=80）；χ² 计算分子 的交叉乘——格内数据补全后再算，顺序不能乱. 【答案】AD 学科网（北京）股份有限公司 $ 第83讲 概率统计多选专项 古典事件·正态分布·统计特征·回归检验 一、古典概型与事件关系 1. 事件关系四判. 互斥（）、对立（互斥且并为全集）、独立（）、条件概率——四条判据互不相干，逐一验证；独立可推"一方取对立仍独立". 2. 递推概率多选. 仓鼠/蚂蚁/传球类：按状态写递推 型，配不动点化等比，再逐项判断单调性、奇偶摆动与有界性. 例1（多选·★★★★☆） 如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（ ） A. B. C. D. 变式1（多选·★★★★☆） 如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（ ） A. B. C. D. 变式2（多选·★★★★☆） 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件 = “试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ） A. B. C. D. 且 变式3（多选·★★★★☆） 将1，2，3，…，这个连续正整数随机分成，两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则的概率为 B. 若，则的概率为 C. 的概率为 D. 变式4（多选·★★★★☆） 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 变式5（多选·★★★☆☆） 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 变式6（多选·★★★☆☆） 在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率为，事件发生的次数超过一半的概率为，下列叙述中正确的是（ ） A. 若为奇数时， B. 若为偶数时， C. 若为奇数时，随着的增大而增大 D. 若为偶数时，随着的增大而增大 二、正态分布与切比雪夫 1. 正态多选五考点. 对称求概率、 与 、区间概率与 的关系、、正态新定义函数 的对称性. 2. 切比雪夫不等式（新定义）. ——按题给定义套公式估计；二项分布 的 代入得样本量估计. 例2（多选·★★★★☆） 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，不等式成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部分作物的高度进行调研，所得数据统计如下：雄性作物50株，平均高度30，方差为256；雌性作物50株，平均高度20，方差为361．由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是（ ） A. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25 B. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5 C. 为了保证下一次种植实验中至少有的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株 D. 经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大 变式7（多选·★★★☆☆） 已知随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 变式8（多选·★★★☆☆） 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 变式9（多选·★★★☆☆） 若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 三、统计数字特征 1. 线性变换与合并. 各特征账目分明；两组合并均值加权、方差补组间偏离；去极值后均值不变是常见隐藏条件. 2. 直方图+事件. 直方图读频率→估概率→事件 的交并计算——概率乘法用独立性，互斥看交事件是否为空. 变式10（多选·★★★★☆） 若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（ ） A. 若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列 B. 若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列 C. 数列的极差数列可能为等比数列 D. 数列的极差数列的极差数列仍是 变式11（多选·★★★★☆） 将容量为的总体分为两层，第一、二层的容量分别为，．现从这个总体中抽取容量为的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为，，，，且．记简单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为；记按比例分层随机抽样下，同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为，，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 变式12（多选·★★★☆☆） 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件 = “高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件 = “高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 四、回归检验小题 1. 相关系数小题. 新增样本点 不改变 与回归方程——分子分母同加 0； 越接近 越强（比绝对值不比符号）. 2. 列联表反推. 已知边缘概率（如抗病虫害 0.8）反推格内数据，再算 与临界值比较；样本量 是反推的桥梁. 变式13（多选·★★★☆☆） 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ）参考公式：， A. 当时，成对样本数据成线性正相关； B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； C. ，时，成对样本数据的相关系数满足； D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足； 变式14（多选·★★★☆☆） 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ）其中经该药处理的种子中抗病虫害的有60粒，未经该药处理的种子中不抗病虫害的有14粒附：．当为时，临界值依次为 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 学科网（北京）股份有限公司 $