【教案】数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

数学活动　探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割

1.通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割．

2.经历“猜想—验证—推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力．在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣．

1.方程公共解的条件探究，线段分割的数量关系转化．（重点）

2.从“问题”到“数学模型”的转化，尺规作图的思路生成．（难点）

知识链接：教师展示两个任务：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解，背后藏着什么规律？”“线段分三段，既要‘最长段=另两段和’，又要满足分式等式，是巧合还是必然？”

学生自由猜想，教师引导：“今天我们通过‘探究＋推导’来解开这两个谜题．”

　探究点一：探究方程有公共解的条件

活动1：已知abc≠0，下列方程：①ax2＋bx＋c=0，②bx2＋cx＋a=0，③cx2＋ax＋b=0，恰有一个公共解．给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解．

第1步：先设公共解，代入找线索．

小组交流：既然三个方程有公共解，咱们先假设这个公共解是x=k，把它代入三个方程，会得到什么？谁来写一写？

第2步：相加消元，找系数关系．

三个式子加起来（a＋b＋c）（k2＋k＋1）=0.

追问：k2＋k＋1能等于0吗？为什么？

引导学生得出a＋b＋c=0.

第3步：验证公共解，求其他解．

把c=－a－b代入第一个方程，化简得ax2＋bx－a－b=a（x2－1）＋b（x－1）=（x－1）［a（x＋1）＋b］=0.解得x1=1，x2=．同理，可求出方程②③的解，得出上述方程的公共解为x=1.

归纳总结：通过“设公共解→代入方程→相加消元”，结合完全平方式的非负性，得出方程有唯一公共解的条件是a＋b＋c=0，公共解为x=1；各方程的另一个解可通过因式分解求得．

　探究点二：神奇的线段分割

活动2：教材P25活动2.

王芳提出的问题：