【教案】数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该教案聚焦方程有公共解的条件探究及线段分割的数量关系与尺规作图。导入通过“方程公共解规律”“线段分割巧合”任务引导猜想，搭建问题到探究的学习支架，连接方程与几何知识。 亮点是“猜想—验证—推导”探究过程，方程公共解通过设解代入、相加消元结合非负性推导条件，培养逻辑推理；线段分割从数量关系到尺规作图，发展几何直观与创新意识。助力学生提升数形结合能力，为教师提供探究式教学范例。

数学活动　探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割 1.通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割． 2.经历“猜想—验证—推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力．在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣． 1.方程公共解的条件探究，线段分割的数量关系转化．（重点） 2.从“问题”到“数学模型”的转化，尺规作图的思路生成．（难点） 知识链接：教师展示两个任务：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解，背后藏着什么规律？”“线段分三段，既要‘最长段=另两段和’，又要满足分式等式，是巧合还是必然？” 学生自由猜想，教师引导：“今天我们通过‘探究＋推导’来解开这两个谜题．” 　探究点一：探究方程有公共解的条件 活动1：已知abc≠0，下列方程：①ax2＋bx＋c=0，②bx2＋cx＋a=0，③cx2＋ax＋b=0，恰有一个公共解．给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解． 第1步：先设公共解，代入找线索． 小组交流：既然三个方程有公共解，咱们先假设这个公共解是x=k，把它代入三个方程，会得到什么？谁来写一写？ 第2步：相加消元，找系数关系． 三个式子加起来（a＋b＋c）（k2＋k＋1）=0. 追问：k2＋k＋1能等于0吗？为什么？ 引导学生得出a＋b＋c=0. 第3步：验证公共解，求其他解． 把c=－a－b代入第一个方程，化简得ax2＋bx－a－b=a（x2－1）＋b（x－1）=（x－1）［a（x＋1）＋b］=0.解得x1=1，x2=．同理，可求出方程②③的解，得出上述方程的公共解为x=1. 归纳总结：通过“设公共解→代入方程→相加消元”，结合完全平方式的非负性，得出方程有唯一公共解的条件是a＋b＋c=0，公共解为x=1；各方程的另一个解可通过因式分解求得． 　探究点二：神奇的线段分割 活动2：教材P25活动2. 王芳提出的问题： 依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为L=a＋b＋c，当a=b＋c时，只需在原线段上先截取长为b的线段，再截取长为c的线段，剩余部分即为a（a=L－b－c=b＋c），可实现共线的三段分割． 李明提出的问题： 把a=b＋c代入＋=，得＋=→=→c（2b＋c）=b（b＋c）．化简后得到c2＋bc－b2=0，两边除以b2，得（）2＋－1=0.设t=，解得t=（负值已舍去）．比如取b=2，那c=－1，a=b＋c=＋1，这样就满足条件． 思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？ 画图步骤：画水平线段BP=2（即b），过点B作垂线截取BD=1；连接DP，以点D为圆心、1为半径画弧截DP得点E，则PE=－1（即c）；以点P为圆心、PE长为半径画弧，在BP的延长线上截得点F，则BF=BP＋PF=2＋－1=＋1（即a），完成分割． 归纳总结：这个过程看成“先定已知数，再凑总数”． 1.已知三个一元二次方程：x2＋bx＋c=0，bx2＋cx＋1=0，cx2＋x＋b=0有唯一公共解，且b=2，则c=　－3　． 2.将一条长为10 cm的线段分成三段m，n，p（p为最长段），满足p=m＋n且＋=．则n与m的数量关系为　n=m　． （其他课堂拓展题，见配套PPT） 1.探究方程的公共解：a＋b＋c=0→求公共解 2.神奇的线段分割：联立条件→求a，b，c的长度 　　 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $