精品解析：陕西西安国际港务区铁一陆港初级中学2026-2027学年度第一学期九年级数学9月阶段学情自测

【初2027届】2026-2027学年度第一学期第一次学科成长足迹梳理 数学 满分：120分 时间：110分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了空间图形的三视图，三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线，正确把握三视图观察角度是解题的关键． 【详解】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线， 故选：． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 选项A的方程含、两个未知数， ∴ 不是一元二次方程； ∵ 选项B的方程左边展开得，移项合并后为，未知数最高次数为1， ∴ 不是一元二次方程； ∵ 选项C的方程分母含未知数，不是整式方程， ∴ 不是一元二次方程； ∵ 选项D的方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程， ∴ 是一元二次方程． 3. 小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出，即，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B 4. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定． 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形， ∴为矩形． 选项A：是平行四边形的对边相等性质，不能判定矩形； 选项B：是平行四边形的对角相等性质，不能判定矩形； 选项D：能判定平行四边形为菱形，不能判定矩形； 故选：C． 5. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A. 0.620 B. 0.618 C. 0.610 D. 1.000 【答案】B 【解析】 【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选B． 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，取的中点，连接、，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴． 8. 如图，在平行四边形中，E是的中点，连接交于点F，连接，若面积为2，则平行四边形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，先证明出，得到，从而推出，，即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵面积为2， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积， 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的等比性质代入即可得解． 【详解】∵=，b+d≠0，∴=． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例的等比性质，若a：b＝c：d＝…＝m：n，则（a+c+…+m）：（b+d+…+n）＝m：n（注意分母的和不为0），难度适中． 10. 古龙桥，又名崇仁桥，位于三原县清峪河上，是西北地区著名的古桥之一．古龙桥在路灯灯光下的影子为________投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的判断，投影分为中心投影和平行投影．中心投影的光线从一点（光源）发出，而平行投影的光线是平行的． 路灯灯光是点光源，光线从一点发出，呈放射状，因此影子是中心投影． 【详解】解：路灯灯光是点光源，光线从光源点向四周发散， 因此古龙桥在路灯灯光下形成的影子是中心投影． 故答案为：中心． 11. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得  因为  所以  12. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 【答案】6 【解析】 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 13. 已知关于x的一元二次方程，如果方程的两个实数根与满足，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系得到两根和与两根积的表达式，再将已知等式变形，得到关于的方程，求解后验证即可得到的值． 【详解】解： ∵原方程为关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴计算判别式得 ， ， ∴对任意实数，方程都有两个实数根， ∵，是原方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵， ∴通分变形得， 代入和的表达式得， 两边同乘，且， 得， 整理得， 解得， 经检验，得，符合条件． 14. 如图，在中，点D是边上的一点，且，连接并取的中点E，连接，若，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交的延长线于点F，过点D作垂足为G，先证明，从而可得，进而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，再在中求出，从而求出，的长，最后在中，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点B作交的延长线于点F，过点D作垂足为G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共6小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算法则分别计算即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） 原方程无解 （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，，则是增根， 原方程无解； 【小问2详解】 解：， 或， 解得，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ； 将代入，解得． 18. 如图，在中，，，，求的长，的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先在中由求出，再利用勾股定理求出，最后根据余弦定义求出的值即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． （1）在P、Q两个点中，位似中心是点______； （2）在网格中将补充完整，并写出点的坐标； （3）______． 【答案】（1） （2）如图， （3） 【解析】 【分析】（1）位似图形对应顶点连线交于位似中心，直线与交点即为位似中心； （2）按照位似放大倍数延长得到对应点； （3）先求对应边长得到位似比为，根据位似图形面积比等于位似比的平方，得到面积比值为． 【小问1详解】 解：如图， 与交于点， 位似中心是点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，，， ，， ， ． 20. 陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． （1）若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； （2）班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）利用列表法以及概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是； 【小问2详解】 解：分别用A，B，C，D表示陕北秧歌、秦腔、西安鼓乐和华阴老腔，用列表法把所有等可能结果表示出来如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学恰好选中同一种的有4种， ∴甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率为． 21. 如图，在ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F． (1) 求证：△ABE∽△ECF； (2) 若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长． 【答案】 （1）证明： ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC． ∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB． 又∵∠DAE＝∠F， ∴∠AEB＝∠F． ∴△ABE∽△ECF； (2) 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF； （2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC−BE＝8−2＝6，代入计算即可． 【详解】（1） 略 （2）∵△ABE∽△ECF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8． ∴EC＝BC−BE＝8−2＝6． ∴． ∴FC＝. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC． 22. 某果园种植的沃柑和皇帝柑品质优良，深受消费者喜爱．某游客第一次到果园购买，发现用720元购买沃柑的数量，比用相同金额购买皇帝柑的数量多12千克，且皇帝柑的单价是沃柑的1.25倍． （1）求沃柑、皇帝柑的单价． （2）因口感上佳，该游客第二次购买这两种水果．沃柑按原单价销售，皇帝柑的单价每千克降低元，皇帝柑的购买数量比第一次增加千克．若第二次一共购买两种水果70千克，共花费940元，求a的值． 【答案】（1）沃柑单价为12元/千克，皇帝柑单价为15元/千克． （2）的值为1． 【解析】 【分析】（1）设沃柑单价为未知数，根据单价倍数关系表示皇帝柑单价，利用数量差的条件列分式方程求解； （2）先计算第一次购买皇帝柑的数量，再结合第二次购买的总数量、总花费条件列一元二次方程，舍去不符合题意的根得到的值． 【小问1详解】 解：设沃柑的单价为元/千克，则皇帝柑的单价为元/千克． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：沃柑单价为12元/千克，皇帝柑单价为15元/千克． 【小问2详解】 解：第一次购买皇帝柑的数量为（千克）． 第二次购买皇帝柑的数量为千克， 第二次购买沃柑的数量为千克． 根据题意，得． 整理得． 解得（舍去）． 答：的值为1． 23. 某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，米，已知小明的目高米，，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树的高度． 【答案】树的高度为6米 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，从而等到与之间的等量关系式，由光的反射的性质可以得出，再结合和，可以证得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵米，米， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 答：树的高度为6米． 24. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，得出，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，由勾股定理可得，从而列方程求出，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 25. 【问题背景】 （1）①如图1，已知、分别是的边和边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形______； ②如图2，在中，，，，、分别是、中点，把绕着点逆时针方向旋转，写出旋转过程中和的位置和数量关系：______、______； 【迁移应用】 （2）在（1）的条件下，把绕着点逆时针方向旋转到如图3，连接和，取中点，的中点，连接，若，求的长． 【创新应用】 （3）如图4，，，是直角三角形，，将绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的最小值． 【答案】（1）① ；②； （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）①由已知得到边的比例式，结合旋转与等式性质得到，用两边成比例且夹角相等即可证明；②先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，再利用角的等量代换，证明与夹角是直角，得到垂直关系； （2）借助（1）中相关结论算出的长度，再运用三角形中位线定理求出即可； （3）过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求，用面积法求，勾股定理算出，通过两边对应成比例且夹角相等证明，进而求得，最后依据两点之间线段最短求出的最小值． 【小问1详解】 解：① ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵、分别是、中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 如图，延长交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值，是定点，，当，，三点共线，在线段之间时取等号， ∴最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【初2027届】2026-2027学年度第一学期第一次学科成长足迹梳理 数学 满分：120分 时间：110分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A. 0.620 B. 0.618 C. 0.610 D. 1.000 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 7. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，取的中点，连接、，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，E是的中点，连接交于点F，连接，若面积为2，则平行四边形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 12 D. 8 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则=______. 10. 古龙桥，又名崇仁桥，位于三原县清峪河上，是西北地区著名的古桥之一．古龙桥在路灯灯光下的影子为________投影．（填“中心”或“平行”） 11. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 12. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 13. 已知关于x的一元二次方程，如果方程的两个实数根与满足，则m的值是______． 14. 如图，在中，点D是边上的一点，且，连接并取的中点E，连接，若，且，则的长为______． 三、解答题（共6小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程： （1） （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，，，求的长，的值． 19. 如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． （1）在P、Q两个点中，位似中心是点______； （2）在网格中将补充完整，并写出点的坐标； （3）______． 20. 陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． （1）若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； （2）班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 21. 如图，在ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F． (1) 求证：△ABE∽△ECF； (2) 若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长． 22. 某果园种植的沃柑和皇帝柑品质优良，深受消费者喜爱．某游客第一次到果园购买，发现用720元购买沃柑的数量，比用相同金额购买皇帝柑的数量多12千克，且皇帝柑的单价是沃柑的1.25倍． （1）求沃柑、皇帝柑的单价． （2）因口感上佳，该游客第二次购买这两种水果．沃柑按原单价销售，皇帝柑的单价每千克降低元，皇帝柑的购买数量比第一次增加千克．若第二次一共购买两种水果70千克，共花费940元，求a的值． 23. 某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，米，已知小明的目高米，，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树的高度． 24. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 【问题背景】 （1）①如图1，已知、分别是的边和边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形______； ②如图2，在中，，，，、分别是、中点，把绕着点逆时针方向旋转，写出旋转过程中和的位置和数量关系：______、______； 【迁移应用】 （2）在（1）的条件下，把绕着点逆时针方向旋转到如图3，连接和，取中点，的中点，连接，若，求的长． 【创新应用】 （3）如图4，，，是直角三角形，，将绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $