精品解析：陕西西安市新城区西安理工大学附属中学2026-2027学年上学期九年级9月学情自测数学试题

西安理工大学附属中学2026年秋季学期九年级第二次统一 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分，时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将原方程二次项系数化为1后，用直接开平方法求解． 【详解】解：方程两边同除以2，得， 开平方，得， 即，． 2. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 正方体 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】根据常见几何体的三视图可得出答案． 【详解】解：根据主视图和俯视图是长方形可知，该几何体是柱体，左视图判断几何体的底面形状是圆，说明几何体是圆柱． 3. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线和作业纸的横格交于点、、．若线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等， ∴， ∵线段， ∴． 4. 如图，在中，再添加一个条件，仍不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各个选项，证明的对角线相等或有一个角为即可判断是矩形． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴为矩形，故A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∵，， ∵， ∴， ∴是矩形，故B不合题意． C、∵， ∴是矩形，故C不合题意． D、∵， ∴得到的一组邻边相等，无法判定是矩形，故D符合题意． 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 【详解】解：∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ． 6. 如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（ ） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即图中相似三角形的对数为6对． 7. 如图，在菱形中，，，连接，过点作，，连接交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形性质和判定为等边三角形，求出长，进而得长；由证得，利用相似比结合长求解．  【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∵，  ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 对于一元二次方程（、、为常数，且），下列判断正确的是（ ） A. 若，则关于的方程有一根为 B. 若是该方程的一个根，则一定有成立 C. 若，则关于的方程有两个不相等的实数根 D. 若该方程的解为和，则关于的方程的解是或 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，解方程得出，，可判断A错误，把代入，可得或，可判断B错误，计算判别式并配方得出，可判断C正确，利用根与系数的关系得到，，代入新方程求解即可判断D错误，综上即可得出答案． 【详解】解∵，即， ∴，即， 解得，， ∴关于的方程有一根为，故A选项错误，不符合题意， 将代入方程得，， 整理得， 解得或，并非一定有，故B选项错误，不符合题意， ∵， ∴ ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根，故C选项正确，符合题意， ∵原方程的解为和， ∴，。 ∴，， 将代入得，， ∵， ∴，解得或，故D选项错误，不符合题意． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若一个一元二次方程有一个根为，则这个一元二次方程可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴这个一元二次方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 靖边红砂岩峡谷在太阳光线下的影子是__________投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】平行 【解析】 【分析】此题考查投影的分类，由于太阳光线可视为平行光线，其形成的影子是平行投影，熟练掌握平行投影和中心投影的意义是解题的关键． 【详解】解：太阳光线可视为平行光线，根据投影的定义，平行光线形成的影子是平行投影， 故答案为：平行． 11. 一元二次方程的两根为、，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再由根与系数的关系得到，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， 整理得， ∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴． 12. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴， 即 解得：． 13. 如图是某校一块矩形劳动场地，长24米、宽16米，要求在场地内修两条宽度相等且互相垂直的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的面积为308平方米，则所修道路的宽度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】将种植区通过平移转化为长为、宽为的规则长方形，根据种植区面积列方程求解，舍去不符合实际的解． 【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意，得： ， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），， 即所修道路的宽为． 14. 如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上，且，点是的中点，过点的直线与正方形的一组对边分别交于点、（与点、不重合），点在或上．若，则的长为________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】分三种情况：如图1，当点在上，点在上时，如图2，当点在上，点在上时，如图3，当点在上，点在上时，分别求解即可． 【详解】解：如图1所示，当点在上，点在上时，连接， ∵四边形是正方形， ∴，与平行， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当点在上，点在上时，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作的平行线交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，与平行， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴； 同理可证明四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵点为的中点， ∴， ∴； ∵与平行，与平行， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∵， ∴与平行， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴，即， ∴， ∴； 如图3所示，当点在上，点在上时， 当图3中的与图2中的关于点对称时，此时在图3中一定满足， 故此时，则； 综上所述，的长为3或7或11． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ 解得，． 16. 若两个相似多边形的相似比为，较小的多边形面积为5，求较大的多边形面积． 【答案】 45 【解析】 【分析】根据相似多边形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知的较小多边形面积计算较大多边形面积． 【详解】解： ∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为， 设较大多边形的面积为， ∵较小多边形的面积为5， ∴， 解得， ∴较大的多边形面积为． 17. 如图是一块钢材的示意图，请画出它的三视图． 【答案】 【解析】 【详解】略 18. 如图，在菱形中，请用尺规作图法在射线上求作点、，连接、，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，四边形即为所求； 【解析】 【分析】过点D作，垂足为点P，以点P为圆心，为半径画弧，交射线于点Q，连接，则四边形即为所求． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 根据作图可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 19. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在的延长线上，且，连接，求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，再根据已知条件证明，，则可证明，进而可证明． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，画，使得与位似，且与的相似比是，点在轴下方． （2）在（1）的条件下，与的周长比为_______． 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到它们对应点的坐标，再描出，并顺次连接即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，，画图略； 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的周长比为， ∴与的周长比为． 21. 定义：如果关于的一元二次方程（、、为常数，）满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． （1）判断一元二次方程是否为“和谐方程”，并说明理由； （2）若是关于的“和谐方程”，且是该“和谐方程”的一个根，求的值． 【答案】（1）一元二次方程是“和谐方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，满足“和谐方程”的定义， ∴一元二次方程是“和谐方程”； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）将方程化为一般式，再结合“和谐方程”的定义计算即可得出结果； （2）由“和谐方程”的定义可得，由题意可得，再将代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵是关于的“和谐方程”， ∴， ∴， ∵是该“和谐方程”的一个根， ∴， 将代入得， 解得，； 综上所述，的值为或． 22. 汉武帝雕像是汉城湖的标志．某数学小组在数学实践活动中尝试测量汉武帝雕像的高度（如图），小林通过调整自己的位置，站在地面上的点处，使得自己在太阳光下影子的末端与雕像影子的末端在点处重合；小丽在雕像和自己所站位置之间的点处放置平面镜，她不断调整自己的位置，当站在点处时恰好在平面镜里看到雕像基座点的像，小组成员经测量得小林身高米，影长米，米，小丽眼睛到地面的距离米，小丽与小林之间的距离米，通过查找资料得知雕像基座的高度为7米（米）．已知，，，点、、在同一条直线上，点、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该小组计算汉武帝雕像的高度．（平面镜的大小厚度均忽略不计） 【答案】米 【解析】 【分析】证明，得出，求出米，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据光的反射定律可知：， ∴， ∴， ∴， 解得：米， ∴ （米）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 答：汉武帝雕像的高度米． 23. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若、是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入，得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，结合（1）中的取值范围，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵、是该方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 24. 如图，在四边形中，，，连接，平分，为边上一点，连接、，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明，即可证明结论； （2）证明，得出，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 【项目主题】水果店石榴促销方案设计 临潼石榴是陕西一大特产．它集全国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜，核软鲜美，籽肥渣少，品质优良等特点而著称． 【收集素材】 据了解：某水果店正常情况下，石榴的售价为每斤元时，每天可售出斤，通过市场调查发现，若每斤每降价元，每天可多售出斤．为尽量减少库存，现决定降价促销． 【任务解决】 （1）任务一：该水果店要使每天销售石榴的销售额为元，那么石榴每斤的定价应为多少元？ （2）任务二：该水果店每天销售石榴的销售额能否达到元？请计算说明． 【答案】（1）石榴每斤的定价应为元 （2）不能达到元， 理由：设石榴每斤降价元，若销售额为元， 根据题意可列方程：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程无实数根， ∴销售石榴每天的销售额不能达到元． 【解析】 【分析】（1）设石榴每斤降价元，根据销量售价销售额列方程，解方程即可得到答案． （2）设石榴每斤降价元，根据题意列方程，根据判别式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设石榴每斤降价元， 根据题意可列方程：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴定价为（元）， ∴石榴每斤的定价应为元； 【小问2详解】 略． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点是的中点，连接，若，则的长为_________； （2）如图2，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，，点、分别是边、上的动点，连接、、、，求四边形周长的最小值； 【问题解决】 （3）为推动优秀传统文化的传承与发展，某地计划举办一场“非遗迎中秋”的活动．如图3是一块正方形空地，其中，点、分别在、边上，且，、、是内部的三条小路，与相交于点，将区域规划为“非遗作品展示区”，将四边形区域规划为“非遗手工体验区”，管理人员计划取线段的中点，沿修建瓦片路，出入口设在边上，，沿修建卵石路，已知修建瓦片路的费用为300元，修建卵石路的费用为150元，为了节约成本，要求修建瓦片路和卵石路的总费用尽可能地小．请你求出修建瓦片路和卵石路所需总费用的最小值．（小路宽度及出入口的大小均忽略不计） 【答案】（1）4 （2） （3）60000元 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案； （2）作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可得，且三点共线，三点共线，，可推出当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即此时四边形的周长有最小值，据此利用勾股定理求解即可； （3）证明，得到，则可证明，得到；设修建瓦片路和卵石路所需总费用为元，则；作点关于直线的对称点，连接，可证明当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即此时修建瓦片路和卵石路所需总费用有最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，点是的中点，， ∴； 【小问2详解】 解：如图2所示，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 由题意得， 由轴对称的性质可得，且三点共线，三点共线， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴四边形的周长， ∵为定值， ∴当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即此时四边形的周长有最小值； ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形周长的最小值为； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点为线段的中点， ∴； 设修建瓦片路和卵石路所需总费用为元，则； 如图3所示，作点关于直线的对称点，连接， 则，三点共线， ∴； ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即此时修建瓦片路和卵石路所需总费用有最小值； 在中，由勾股定理得， ∴修建瓦片路和卵石路所需总费用的最小值为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安理工大学附属中学2026年秋季学期九年级第二次统一 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分，时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 正方体 D. 长方体 3. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线和作业纸的横格交于点、、．若线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，在中，再添加一个条件，仍不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（ ） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 7. 如图，在菱形中，，，连接，过点作，，连接交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程（、、为常数，且），下列判断正确的是（ ） A. 若，则关于的方程有一根为 B. 若是该方程的一个根，则一定有成立 C. 若，则关于的方程有两个不相等的实数根 D. 若该方程的解为和，则关于的方程的解是或 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若一个一元二次方程有一个根为，则这个一元二次方程可以是________．（写出一个即可） 10. 靖边红砂岩峡谷在太阳光线下的影子是__________投影．（填“中心”或“平行”） 11. 一元二次方程的两根为、，则的值为________． 12. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 13. 如图是某校一块矩形劳动场地，长24米、宽16米，要求在场地内修两条宽度相等且互相垂直的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的面积为308平方米，则所修道路的宽度为________米． 14. 如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上，且，点是的中点，过点的直线与正方形的一组对边分别交于点、（与点、不重合），点在或上．若，则的长为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 若两个相似多边形的相似比为，较小的多边形面积为5，求较大的多边形面积． 17. 如图是一块钢材的示意图，请画出它的三视图． 18. 如图，在菱形中，请用尺规作图法在射线上求作点、，连接、，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在的延长线上，且，连接，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，画，使得与位似，且与的相似比是，点在轴下方． （2）在（1）的条件下，与的周长比为_______． 21. 定义：如果关于的一元二次方程（、、为常数，）满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． （1）判断一元二次方程是否为“和谐方程”，并说明理由； （2）若是关于的“和谐方程”，且是该“和谐方程”的一个根，求的值． 22. 汉武帝雕像是汉城湖的标志．某数学小组在数学实践活动中尝试测量汉武帝雕像的高度（如图），小林通过调整自己的位置，站在地面上的点处，使得自己在太阳光下影子的末端与雕像影子的末端在点处重合；小丽在雕像和自己所站位置之间的点处放置平面镜，她不断调整自己的位置，当站在点处时恰好在平面镜里看到雕像基座点的像，小组成员经测量得小林身高米，影长米，米，小丽眼睛到地面的距离米，小丽与小林之间的距离米，通过查找资料得知雕像基座的高度为7米（米）．已知，，，点、、在同一条直线上，点、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该小组计算汉武帝雕像的高度．（平面镜的大小厚度均忽略不计） 23. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若、是该方程的两个根，且满足，求的值． 24. 如图，在四边形中，，，连接，平分，为边上一点，连接、，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：． 25. 【项目主题】水果店石榴促销方案设计 临潼石榴是陕西一大特产．它集全国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜，核软鲜美，籽肥渣少，品质优良等特点而著称． 【收集素材】 据了解：某水果店正常情况下，石榴的售价为每斤元时，每天可售出斤，通过市场调查发现，若每斤每降价元，每天可多售出斤．为尽量减少库存，现决定降价促销． 【任务解决】 （1）任务一：该水果店要使每天销售石榴的销售额为元，那么石榴每斤的定价应为多少元？ （2）任务二：该水果店每天销售石榴的销售额能否达到元？请计算说明． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点是的中点，连接，若，则的长为_________； （2）如图2，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，，点、分别是边、上的动点，连接、、、，求四边形周长的最小值； 【问题解决】 （3）为推动优秀传统文化的传承与发展，某地计划举办一场“非遗迎中秋”的活动．如图3是一块正方形空地，其中，点、分别在、边上，且，、、是内部的三条小路，与相交于点，将区域规划为“非遗作品展示区”，将四边形区域规划为“非遗手工体验区”，管理人员计划取线段的中点，沿修建瓦片路，出入口设在边上，，沿修建卵石路，已知修建瓦片路的费用为300元，修建卵石路的费用为150元，为了节约成本，要求修建瓦片路和卵石路的总费用尽可能地小．请你求出修建瓦片路和卵石路所需总费用的最小值．（小路宽度及出入口的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $