专题04有理数的加法与减法同步培优讲义(重点知识梳理+10大核心题型+分层练习) 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题04有理数的加法与减法同步培优讲义 ✺知识框架 本节在绝对值、相反数概念基础上，学习有理数加减运算。整体知识结构逻辑清晰、层层递进： 1.有理数加法：加法法则（同号、异号、一个数与0相加）→加法运算律→简便运算方法 2.有理数减法：减法法则（减法转化为加法）→加减混合运算统一为代数和 3.综合运用：省略加号和括号的代数和、加减混合简便运算、实际问题应用 核心思路：有理数加减运算，先定符号，再算绝对值。 ✺知识梳理 知识点一、有理数的加法 1.有理数加法法则 运算原则：先确定和的符号，再计算绝对值的和或差。 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8 （2）异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 特例：互为相反数的两个数相加得0。 示例：(+7)+(-4)=+3，(+4)+(-7)=-3，(+5)+(-5)=0 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 示例：0+(-6)=-6，(+9)+0=+9 2.加法运算律 在有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立，可调整运算顺序，简化计算。 （1）加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.加法简便运算常用方法 （1）相反数结合：互为相反数的数优先结合，和为0；（2）同号结合：正数、负数分别合并计算；（3）凑整结合：能够凑成整数的数优先结合；（4）同分母结合：分数计算时，同分母分数优先相加。 知识点二、有理数的减法 1.减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：a-b=a+(-b) 运算本质：将减法转化为加法，统一运算形式。 2.减法运算步骤 第一步：转化，减号变为加号，减数换成它的相反数； 第二步：计算，依据有理数加法法则求值。 示例：3-5=3+(-5)=-2，-3-5=-3+(-5)=-8，-3-(-5)=-3+5=2 知识点三、有理数加减混合运算 1.统一为代数和 加减混合运算中，所有减法均可转化为加法，式子化为若干有理数相加的形式，称为代数和。 2.省略加号与括号的形式 化为代数和后，可省略式子中的加号与括号，仅保留各数前面的性质符号。 示例：(+3)+(-4)+(+5)+(-2)，简写为(3-4+5-2) 3.代数和的两种读法 以(3-4+5-2）为例： （1）运算读法：3减4加5减 2； （2）代数和读法：正 3、负 4、正 5、负 2 的和。 4.加减混合运算步骤 （1）转化：全部减法改写为加法； （2）化简：整理为省略加号的代数和； （3）简算：利用加法运算律分组计算； （4）求值：按照加法法则算出结果。 易错点梳理 易错点1：异号两数相加符号判断错误。 误区：随意确定结果符号。正解：和的符号由绝对值较大的加数决定。 易错点2：减法转化加法时符号出错。 误区：仅改动运算符号，未改变减数符号。正解：减号变加号，同时减数变为相反数，两处同步变化。 易错点3：混淆运算符号与性质符号。 误区：混合式中分不清加减号和正负号。正解：统一写成代数和后，所有符号均为数字的性质符号。 易错点4：0 参与减法运算出错。 误区：0减去一个数，结果等于原数。正解：0-a=-a，0 减去一个数，结果是这个数的相反数。 易错点5：简便运算移动数字丢符号。 误区：移动加数时遗漏前面的符号。正解：移动数字，必须连带数字前面的符号一起移动。 速记口诀 加法：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加看绝对值，大数定符号；相反数相加得 0，数加0不变。 减法：减变加，减数取反，再用加法法则算。 混合运算：减法统一成加法，代数和中巧分组，符号紧跟数字走。 ✺题型精讲 题型1.有理数加法运算 1．关于“三个有理数的和为0”这个话题，甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列看法： 甲：这三个有理数可能都是0； 乙：这三个有理数中最多有两个正数； 丙：这三个有理数中最少有两个负数； 丁：这三个有理数中一定有两个数互为相反数． 其中看法正确的是（     ） A．甲、乙 B．甲、乙、丙 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【答案】A 【分析】结合有理数加法法则，用举反例的方法判断错误说法． 【详解】解：甲：，三个有理数可能都是0，甲正确； 乙：若三个数均为正数，和必为正，不可能为0，故最多有两个正数，乙正确； 丙：反例：，仅1个负数，丙错误； 丁：反例：，无两数互为相反数，丁错误． 2．写出小于4且大于的所有整数的和_________． 【答案】 【分析】先找出所有满足大于且小于的整数，再计算它们的和． 【详解】解：大于且小于的整数为：，，，，，， ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0.6 (3) 【分析】（1）本题为异号两数相加，依据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （2）本题为异号两数相加，依据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）本题为同号两数相加，依据有理数加法法则：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 题型2.有理数加法中的符号问题 1．在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 【详解】解：． 2．若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 3．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示． 数轴上原点O居中，点A位于原点左侧，距离原点约2个单位长度（对应数a）；点B位于原点右侧，距离原点约3个单位长度（对应数b）． (1)判断下列各式的正负：a________0，b________0，________0（填“”或“”）． (2)化简：________，________，________． (3)比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】(1)，， (2)，b， (3) 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，进行判断即可； （2）根据绝对值的意义，化简即可； （3）根据绝对值的几何意义，借助数轴比较大小即可. 【详解】（1）解：由数轴可知，，且点到原点的距离小于点到原点的距离， ∴； （2）解：∵，， ∴，，． （3）解：∵点到原点的距离小于点到原点的距离， ∴． 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．兴仁市一天早晨的气温是，中午上升，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则计算即可得出结果． 【详解】解：． 2.道路检修人员在检修一盏路灯时，搭云梯先下降，再上升，然后再下降，此时检修人员距离初始位置______． 【答案】 【分析】规定上升为正，下降为负，计算最终位置相对于初始位置的变化，取绝对值可得到初始位置的距离． 【详解】解：设上升为正，下降为负，初始位置记为， 计算最终位置对应的数值为， 距离为位置变化的绝对值，即， ∴检修人员距离初始位置． 3．随着互联网的迅速发展，直播带货作为一种新型销售方式逐渐兴起，小李把自家工厂生产的茶干带到了直播间．9月15日小李团队在直播间卖了茶干，接下来7天中小李用表格记录销售情况，用正数表示比前一天多的销售量，用负数表示比前一天少的销售量．下表是这7天的销量变化情况（单位：kg）： 日期 9月16日 9月17日 9月18日 9月19日 9月20日 9月21日 9月22日 实际销售量比前一天的变化量 (1)这7天中销售量最多和最少的分别是哪一天？ (2)求这7天小李直播间茶干的总销售量． 【答案】(1)销售量最多的是9月17日，最少的是9月21日 (2)这7天小李直播间茶干的总销售量为． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算出这7天每天的销量，再比较即可； （2）根据（1）中的结果，再求和计算即可． 【详解】（1）解：9月16日：， 9月17日：， 9月18日：， 9月19日：， 9月20日：， 9月21日：， 9月22日：， ∴销售量最多的是9月17日，最少的是9月21日； （2）解：， 答：这7天小李直播间茶干的总销售量为． 题型4.有理数加法运算律 1．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 2．银行储蓄所办理了5件储蓄业务：取出9500元，存入5000元，取出8000元，存入12000元，存入25000元，这时银行存款增加或减少了多少元？ 完成下面的解答过程： 解：记取出为负，存入为正，则取出9500元为元，存入5000元为元，取出8000元为______元，存入12000元为______元，存入25000元为______元． 所以（______）（______）（______） ＝（______）（______）（______）＝______， 所以______． 【答案】 24500 银行存款增加了24500元 【分析】本题考查的是正负数的意义及有理数的加法运算，解题关键是有理数加法法则及加法运算律，根据正负数表示的意义及有理数加法运算律及法则计算即可． 【详解】解：记取出为负，存入为正，则取出9500元为元，存入5000元为元，取出8000元为元，存入12000元为元，存入25000元为元． 所以 ＝， 所以银行存款增加了24500元． 故答案为：；；；；；；；；；24500；银行存款增加了24500元． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据加法的交换律和结合律把变形为，再根据有理数加减法则求解即可． 【详解】解： 题型5.有理数的减法运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误． 2．在体育课的分钟跳绳比赛中，以每分钟个为标准，小明跳了个，记作个，若小红跳了个，则可记作_______个． 【答案】 【分析】以每分钟个为标准，低于标准记为负，高于标准记为正，计算小红跳绳个数与标准的差值即可得到结果． 【详解】解：∵标准为每分钟个，小红实际跳了个， ∴计算实际与标准的差值为， ∵高于标准的个数记为正数， ∴可记作个． 3．已知，， (1)则_________，_________； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据绝对值的定义可得答案； （2）根据，结合（1）所求确定的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴或， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或． 题型6.有理数减法的实际应用 1．某市有一天的最高气温为5，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高（     ） A．13℃ B． C．3℃ D． 【答案】A 【分析】根据题意，用最高气温减去最低气温，求解即可． 【详解】解：由题意得． 2．如图所示，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最低气温比最高气温低_________． 【答案】 【详解】解：由图可知，最高气温为，最低气温为， ∴那么这天的最低气温比最高气温低. 3．某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：68万元，万元，万元，145万元． (1)盈利最多的季度与盈利最少的季度相差多少？ (2)全年盈亏情况如何？ 【答案】(1)盈利最多的季度与最少的季度相差285万元 (2)全年亏损22万元 【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）计算四个季度盈亏总和即可解决． 【详解】（1）解：由题意知，盈利最多的季度盈利了145万元，最少的季度盈利了万元， 所以（万元）． 答：盈利最多的季度与最少的季度相差285万元． （2）解：由题意，得（万元）． 答：全年亏损22万元． 题型7.有理数的加减混合运算 1．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】将加减混合运算转化为加法形式，对比变形前后项的位置与分组方式，判断所用运算律． 【详解】解：原式可化为． ∵变形后与的位置发生交换， ∴运用了加法交换律． ∵同分母的两组数被分别结合优先计算， ∴运用了加法结合律． 2．已知表示不超过x的最大整数，如：，．现定义：，如，则：__________． 【答案】 【分析】根据题目给出的新定义，分别计算出每一项的值，再代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数，， ∴不超过的最大整数为，即， ∵，不超过的最大整数为， ∴， 计算得：， 将各项代入原式：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型8.有理数加减中的简便运算 1．计算的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察算式正负交替的特点，采用分组法求和． 【详解】解：将原式前100项两两分组，得 ∵每组和为，共组， ∴前100项的和为， ∴原式． 2．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 3．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型9.有理数加减混合运算的应用 1．纽约与北京的时差为小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月29日9时，纽约的时间是（     ） A．9月28日4时 B．9月28日20时 C．9月29日22时 D．9月29日20时 【答案】B 【详解】解：∵纽约与北京的时差为小时， ∴当北京9月29日9时，纽约的时间是9月28日时， 即纽约的时间是9月28日20时． 2．某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点．当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如下表： … 甲 32 50 乙 28 48 66 82 96 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）． （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向________分拣点分配2车包裹．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为________分． 【答案】 乙 【分析】（1）5车分配给四个分拣点，每个分拣点至少分配1车，因此仅一个分拣点分配2车，其余各分配1车，通过比较不同分配的总得分即可得到结果； （2）按分配车数分类讨论所有符合条件的分配，计算各分配的总得分，即可得到最大值． 【详解】（1）由题意，四个分拣点每个至少分配1车，总车数为5，因此分配形式为，即一个分拣点分配2车，其余各分配1车， 分别计算总得分：若甲分配2车，总得分； 若乙分配2车，总得分； 若丙分配2车，总得分； 若丁分配2车，总得分； ∵，即为最大值， ∴应向乙分拣点分配2车； （2）由题意，各分拣点最大容量为甲最多2车，乙，丙，丁最多5车，总分配车数为6，每个分拣点分配车数不超过5， 分类讨论得：①分配为，最大总得分：； ②分配为，最大总得分：； ③分配为，最大总得分：； ④分配为，最大总得分：； ⑤分配为，最大总得分：； ⑥分配为，最大总得分：； ⑦分配为，最大总得分：； ⑧分配为，最大总得分：； 因此总得分最大值为． 3．某地的国际标准时间（）是指该地区与格林尼治（）的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）： 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 (1)伦敦时间中午，求东京和多伦多的当地时间？ (2)小明在北京时间给纽约的姑姑打电话，此时纽约是几点？是否合适？ 【答案】(1)东京的当地时间是点，多伦多的当地时间是点 (2)纽约的当地时间是前一天时，此时打给姑姑合适 【分析】（1）伦敦和格林尼治时间一样，用格林尼治时间加上时间差即可求解； （2）北京时间比格林尼治时间早，格林尼治时间比纽约早，所以北京时间比纽约早，先算出北京和纽约的时间差，再用北京时间减去时间差即可． 【详解】【小题1】解：依据表格可知，格林尼治时间与伦敦时间一样，为中午， （时；（时， 答：东京的当地时间是点，多伦多的当地时间是点； 【小题2】解：（时， 结果是负数，表示前一天的时间， ， 答：纽约的当地时间是前一天时，此时打给姑姑合适． 题型10.省略加法和括号的形式 1．将式子写成省略加号的和的形式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将减法运算统一转化为加法运算，再省略所有加号，得到省略加号的和的形式． 【详解】解：. 2．将算式写成省略括号和加号的形式是____________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据去括号法则进行化简，省略加号和括号，熟练掌握有理数运算中的去括号法则是解题的关键． 根据有理数的加减法法则，省略加号和括号即可． 【详解】解：，，， 原式． 故答案为：． 3．（1）把下面式子写成省略括号和加号的形式 （2）计算． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查有理数的加减法，把式子写成省略括号和加号的形式，掌握算理的解决问题的关键． （1）根据减法法则将减法转化为加法，然后写成省略括号和加号的形式； （2）将同号两数先相加，再进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． ✺分层练习 一、单选题 1．某地白天的最高气温是，到了晚上10时，气温下降了，则该地当晚10时的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 答：该地当晚10时的气温是． 2．下列运算正确的个数为（     ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先明确有理数加法的运算法则，作为判断每个式子运算是否正确的依据．逐个分析三个运算式子：如果是同号两数相加，那么按照同号有理数加法规则计算结果并对比原式结论；如果是异号两数相加，那么按照异号有理数加法规则计算结果并对比原式结论；如果是0加一个数，那么依据0的加法性质判断结果是否正确．统计运算正确的式子个数，对应选项选出答案． 【详解】①，错误． ②，错误． ③，正确． 综上，正确的运算有1个． 3．为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 4．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题主要考查了加法交换律和加法结合律，熟练掌握这两种运算律的定义是解题的关键．分析式子变形过程，判断所运用的运算律． 【详解】解：∵ 原式可化为， 小磊将项重新排列并分组为， 其中交换加数顺序使用了加法交换律，改变分组方式使用了加法结合律， ∴ 小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 5．下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数． 纽约 伦敦 东京 中国乒乓球运动员在年伦敦世界乒乓球团体锦标赛中奋力拼搏．男团决赛是在北京时间月日举行的，此刻的伦敦时间为（     ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【答案】B 【分析】根据伦敦与北京的时差为，可知伦敦时间比北京时间晚，所以北京时间为月日时，伦敦时间为月日． 【详解】解：伦敦与北京的时差为， 伦敦时间比北京时间晚， 北京时间为月日， ， 伦敦时间为月日． 二、填空题 6．把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是_____． 【答案】﹣8﹣5+2． 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】原式＝﹣8﹣5+2， 故答案为﹣8﹣5+2． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 7．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 【答案】或 【分析】根据题意，得到，再化简绝对值，求出，，再利用减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∴，， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 8．利用公式计算： （1）______________________；（直接写答案） （2）______________________．（直接写答案） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键： （1）利用公式拆项进行计算即可； （2）拆项，套用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式1； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． 三、解答题 9．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 10．某仓库一周内货物的进、出情况如下表（进库为正，出库为负，单位：吨）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这周内哪一天进库的货物最多？哪一天出库的货物最多？ (2)这周结束时，仓库的货物总量比上周结束时增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (3)若上周结束时仓库存货为200吨，则本周结束时存货为多少吨？ 【答案】(1)进库最多的是星期四（吨），出库最多的是星期三（吨） (2)减少了1吨 (3)本周结束时存货为199吨 【详解】（1）解：观察表格知：进库最多的是星期四（吨），出库最多的是星期三（吨）； （2）解：， 即减少了1吨； （3）解：（吨）． 答：本周结束时存货为199吨． 11．某日，一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东行驶了到达小明家，继续向东走了到达小红家，然后向西行驶了到达小刚家，最后返回百货大楼． (1)以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示，请你在如图所示的数轴上标出小明、小红、小刚家的位置；（小明家用点表示，小红家用点表示，小刚家用点表示） (2)根据（1）中数轴上小明、小红和小刚家的位置，判断哪位同学的家离百货大楼最近？ 【答案】(1) (2)小刚家离百货大楼的距离最近 【分析】（1）分别求出小明家、小红家，小刚家所表示的数，进而在数轴上表示即可； （2）利用绝对值的意义求出小明家、小红家，小刚家到百货大楼的距离，比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，小明家在百货大楼东边处，则小明家（点A）表示的数为4； 小红家在百货大楼东边处，则小红家（点B）表示的数为； 小刚家距离百货大楼，则小刚家在百货大楼的西边，小刚家（点C）表示的数为． 作图略． （2）解：小明家离百货大楼的距离为， 小红家离百货大楼的距离为， 小刚家离百货大楼的距离为， ∵， ∴小刚家离百货大楼的距离最近． 12．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的加法与减法同步培优讲义 ✺知识框架 本节在绝对值、相反数概念基础上，学习有理数加减运算。整体知识结构逻辑清晰、层层递进： 1.有理数加法：加法法则（同号、异号、一个数与0相加）→加法运算律→简便运算方法 2.有理数减法：减法法则（减法转化为加法）→加减混合运算统一为代数和 3.综合运用：省略加号和括号的代数和、加减混合简便运算、实际问题应用 核心思路：有理数加减运算，先定符号，再算绝对值。 ✺知识梳理 知识点一、有理数的加法 1.有理数加法法则 运算原则：先确定和的符号，再计算绝对值的和或差。 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 示例：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8 （2）异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 特例：互为相反数的两个数相加得0。 示例：(+7)+(-4)=+3，(+4)+(-7)=-3，(+5)+(-5)=0 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 示例：0+(-6)=-6，(+9)+0=+9 2.加法运算律 在有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立，可调整运算顺序，简化计算。 （1）加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.加法简便运算常用方法 （1）相反数结合：互为相反数的数优先结合，和为0；（2）同号结合：正数、负数分别合并计算；（3）凑整结合：能够凑成整数的数优先结合；（4）同分母结合：分数计算时，同分母分数优先相加。 知识点二、有理数的减法 1.减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：a-b=a+(-b) 运算本质：将减法转化为加法，统一运算形式。 2.减法运算步骤 第一步：转化，减号变为加号，减数换成它的相反数； 第二步：计算，依据有理数加法法则求值。 示例：3-5=3+(-5)=-2，-3-5=-3+(-5)=-8，-3-(-5)=-3+5=2 知识点三、有理数加减混合运算 1.统一为代数和 加减混合运算中，所有减法均可转化为加法，式子化为若干有理数相加的形式，称为代数和。 2.省略加号与括号的形式 化为代数和后，可省略式子中的加号与括号，仅保留各数前面的性质符号。 示例：(+3)+(-4)+(+5)+(-2)，简写为(3-4+5-2) 3.代数和的两种读法 以(3-4+5-2）为例： （1）运算读法：3减4加5减 2； （2）代数和读法：正 3、负 4、正 5、负 2 的和。 4.加减混合运算步骤 （1）转化：全部减法改写为加法； （2）化简：整理为省略加号的代数和； （3）简算：利用加法运算律分组计算； （4）求值：按照加法法则算出结果。 易错点梳理 易错点1：异号两数相加符号判断错误。 误区：随意确定结果符号。正解：和的符号由绝对值较大的加数决定。 易错点2：减法转化加法时符号出错。 误区：仅改动运算符号，未改变减数符号。正解：减号变加号，同时减数变为相反数，两处同步变化。 易错点3：混淆运算符号与性质符号。 误区：混合式中分不清加减号和正负号。正解：统一写成代数和后，所有符号均为数字的性质符号。 易错点4：0 参与减法运算出错。 误区：0减去一个数，结果等于原数。正解：0-a=-a，0 减去一个数，结果是这个数的相反数。 易错点5：简便运算移动数字丢符号。 误区：移动加数时遗漏前面的符号。正解：移动数字，必须连带数字前面的符号一起移动。 速记口诀 加法：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加看绝对值，大数定符号；相反数相加得 0，数加0不变。 减法：减变加，减数取反，再用加法法则算。 混合运算：减法统一成加法，代数和中巧分组，符号紧跟数字走。 ✺题型精讲 题型1.有理数加法运算 1．关于“三个有理数的和为0”这个话题，甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列看法： 甲：这三个有理数可能都是0； 乙：这三个有理数中最多有两个正数； 丙：这三个有理数中最少有两个负数； 丁：这三个有理数中一定有两个数互为相反数． 其中看法正确的是（     ） A．甲、乙 B．甲、乙、丙 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 2．写出小于4且大于的所有整数的和_________． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型2.有理数加法中的符号问题 1．在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（     ） A． B． C． D． 2．若且a，b异号，，则a_______0． 3．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示． 数轴上原点O居中，点A位于原点左侧，距离原点约2个单位长度（对应数a）；点B位于原点右侧，距离原点约3个单位长度（对应数b）． (1)判断下列各式的正负：a________0，b________0，________0（填“”或“”）． (2)化简：________，________，________． (3)比较大小：________（填“”“”或“”）． 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．兴仁市一天早晨的气温是，中午上升，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 2.道路检修人员在检修一盏路灯时，搭云梯先下降，再上升，然后再下降，此时检修人员距离初始位置______． 3．随着互联网的迅速发展，直播带货作为一种新型销售方式逐渐兴起，小李把自家工厂生产的茶干带到了直播间．9月15日小李团队在直播间卖了茶干，接下来7天中小李用表格记录销售情况，用正数表示比前一天多的销售量，用负数表示比前一天少的销售量．下表是这7天的销量变化情况（单位：kg）： 日期 9月16日 9月17日 9月18日 9月19日 9月20日 9月21日 9月22日 实际销售量比前一天的变化量 (1)这7天中销售量最多和最少的分别是哪一天？ (2)求这7天小李直播间茶干的总销售量． 题型4.有理数加法运算律 1．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 2．银行储蓄所办理了5件储蓄业务：取出9500元，存入5000元，取出8000元，存入12000元，存入25000元，这时银行存款增加或减少了多少元？ 完成下面的解答过程： 解：记取出为负，存入为正，则取出9500元为元，存入5000元为元，取出8000元为______元，存入12000元为______元，存入25000元为______元． 所以（______）（______）（______） ＝（______）（______）（______）＝______， 所以______． 3．计算：． 题型5.有理数的减法运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在体育课的分钟跳绳比赛中，以每分钟个为标准，小明跳了个，记作个，若小红跳了个，则可记作_______个． 3．已知，， (1)则_________，_________； (2)若，求的值． 题型6.有理数减法的实际应用 1．某市有一天的最高气温为5，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高（     ） A．13℃ B． C．3℃ D． 2．如图所示，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最低气温比最高气温低_________． 3．某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：68万元，万元，万元，145万元． (1)盈利最多的季度与盈利最少的季度相差多少？ (2)全年盈亏情况如何？ 题型7.有理数的加减混合运算 1．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．分配律 2．已知表示不超过x的最大整数，如：，．现定义：，如，则：__________． 3．计算： (1)； (2)． 题型8.有理数加减中的简便运算 1．计算的值等于（     ） A． B． C． D． 2．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 3．用简便方法计算： (1)； (2)． 题型9.有理数加减混合运算的应用 1．纽约与北京的时差为小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月29日9时，纽约的时间是（     ） A．9月28日4时 B．9月28日20时 C．9月29日22时 D．9月29日20时 2．某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点．当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如下表： … 甲 32 50 乙 28 48 66 82 96 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）． （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向________分拣点分配2车包裹．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为________分． 3．某地的国际标准时间（）是指该地区与格林尼治（）的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）： 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 (1)伦敦时间中午，求东京和多伦多的当地时间？ (2)小明在北京时间给纽约的姑姑打电话，此时纽约是几点？是否合适？ 题型10.省略加法和括号的形式 1．将式子写成省略加号的和的形式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．将算式写成省略括号和加号的形式是____________． 3．（1）把下面式子写成省略括号和加号的形式 （2）计算． ✺分层练习 一、单选题 1．某地白天的最高气温是，到了晚上10时，气温下降了，则该地当晚10时的气温是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的个数为（     ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 3．为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 4．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法结合律 5．下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数． 纽约 伦敦 东京 中国乒乓球运动员在年伦敦世界乒乓球团体锦标赛中奋力拼搏．男团决赛是在北京时间月日举行的，此刻的伦敦时间为（     ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 二、填空题 6．把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是_____． 7．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 8．利用公式计算： （1）______________________；（直接写答案） （2）______________________．（直接写答案） 三、解答题 9．计算： (1) (2) (3) (4) 10．某仓库一周内货物的进、出情况如下表（进库为正，出库为负，单位：吨）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这周内哪一天进库的货物最多？哪一天出库的货物最多？ (2)这周结束时，仓库的货物总量比上周结束时增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (3)若上周结束时仓库存货为200吨，则本周结束时存货为多少吨？ 11．某日，一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东行驶了到达小明家，继续向东走了到达小红家，然后向西行驶了到达小刚家，最后返回百货大楼． (1)以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示，请你在如图所示的数轴上标出小明、小红、小刚家的位置；（小明家用点表示，小红家用点表示，小刚家用点表示） (2)根据（1）中数轴上小明、小红和小刚家的位置，判断哪位同学的家离百货大楼最近？ 12．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $