精品解析：江苏扬州苏东坡中学2026-2027学年九年级上学期第一次数学阶段限时作业

初三数学学科单元限时作业 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，请选出正确的答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根的情况是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 3. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C. 直径是弦 D. 过圆心的线段是直径 5. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为． 将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. 均不正确 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 10. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 11. 若反比例函数（）的图象位于第二、第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 12. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为____________． 13. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是_________． 14. 如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 15. 如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 16. 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：若正方形的边长为10丈，的半径为2丈，则点到的最短距离为______丈． 17. 如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，点E是上任意一点，连接，，则的度数为_____________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限轴，，．过点A作，垂足为E，．反比例函数的图像经过点E，与边交于点F，连接．若，则k的值为 ___________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 20. 反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2万元，今年投入图书购置经费2.42万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 22. 北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； （2）直接写出卡槽所在圆的半径的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求k的值； （2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集； 24. 如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 1．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 2．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 3．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 4．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 （1）根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； （2）在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； （3）设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 26. 如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F． （1）求证：AE=BE； （2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由； （3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式． 27. 如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． （1）______． （2）如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． （3）如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． （4）如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 28. 在和中，，，，固定，将绕点A旋转一周，连接，相交于点H，经过C，E，H三点作． （1）如图1，求证：是的直径． （2）若，，连接，在的旋转过程中： ①若点A恰好是的内心，如图2，求的长； ②当最大时，四边形的面积为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学学科单元限时作业 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，请选出正确的答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．若添加，是一元一次方程； B．若添加，是一元一次方程； C．若添加，是一元二次方程； D．若添加，含2个未知数，不是是一元二次方程； 故选C． 2. 方程的根的情况是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，把常数项移到右边，再直接开平方，求出两个根． 【详解】解：移项得， 开平方得， 即，． 3. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C. 直径是弦 D. 过圆心的线段是直径 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 5. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 6. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合． 时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 7. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 8. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为． 将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. 均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． ①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得； ②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论． 【详解】解：①当点C第一次落在上时， 连接， ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 三点共线， ， ， ， ， ，故①正确； 当与相切时，连接并延长与交于点M，连接， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②错误， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地形如，其中a、b、c是常数且的方程叫做一元二次方程，其中c叫做常数项． 10. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 11. 若反比例函数（）的图象位于第二、第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象的位置确定的符号，再通过一元二次方程根的判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 对于一元二次方程，， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 12. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握等弧所对的圆周角相等、圆内接四边形对角互补是解题关键． 本题根据圆内接四边形对角互补可得度数，结合圆周角定理即可解决的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴，即：， ∵ ∴． 故答案为： ． 13. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系得到关于的方程，求解即可得到结果. 【详解】解：设该方程的另一个根为，对于方程，二次项系数为，一次项系数为， 根据根与系数的关系可得， 解得，即该方程的另一个根为. 14. 如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积为，结合图象所在象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵点B在反比例函数图象上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象的一支在第二象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． 15. 如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 16. 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：若正方形的边长为10丈，的半径为2丈，则点到的最短距离为______丈． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，勾股定理等．如图，先根据正方形的性质得出在同一直线上，得到的长是点到的最短距离，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 设与正方形的边的切点为点，连接， ∴， 由正方形的性质知，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴在同一直线上， 设与的交点，的长是点到的最短距离， 则（丈），， ∴（丈），（丈）， ∴（丈）， 故答案为：． 17. 如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，点E是上任意一点，连接，，则的度数为_____________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的角是直角得出的度数，结合已知得出的度数，再根据圆周角定理即可求出最终结果． 【详解】如下图所示，连接 为直径 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对圆周角相等是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限轴，，．过点A作，垂足为E，．反比例函数的图像经过点E，与边交于点F，连接．若，则k的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，证明，得到，．根据四边形是菱形，，得到，即可求出，设，则，根据勾股定理求出，求出点，即可求出，证四边形为矩形，得到，求出点，根据，，，即可求出的值，则可以得出点的坐标，根据点F在反比例函数图像上，即可得到答案． 【详解】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图所示， ∵轴，，， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点E， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点F在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ， 解得：， ∵， ∴， ∴点， ∵点F在反比例函数的图像上， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，求角的三角函数值，勾股定理，反比例函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点，根据点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段长度表示出相应点的坐标是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）提取公因式，因式分解求解． （2）十字相乘法因式分解或公式法解方程． 【小问1详解】 因式分解法： ， ， ∴或， 、． 【小问2详解】 因式分解法： ， ， ∴或， 、． 公式法： 在中、、， 判别式：， ∴， 、． 20. 反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点在这个反比例函数的图象上． 理由：∵反比例函数解析式是， 当时，， ∴点在这个反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）设反比例函数的解析式是，只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式是， 把点代入则， 得． 则这个函数的解析式是； 【小问2详解】 略 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2万元，今年投入图书购置经费2.42万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 【答案】该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为x，利用该校今年投入图书购置经费该校前年投入图书购置经费（该校这两年投入图书购置经费的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为． 22. 北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； （2）直接写出卡槽所在圆的半径的长． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）圆的半径的长为． 【解析】 【分析】本题考查确定圆心的位置，垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，即可得； （2）利用垂径定理得出，在中，利用勾股定理求出的长，即可得答案． 【小问1详解】 解：在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，以点O为圆心，以为为半径画圆，则即为所求． 【小问2详解】 解：设的垂直平分线交于，交于，连接， ∴ ∵弓形高（即弧的中点到弦的距离）为，即，， ∴， ∴， 解得：， ∴圆的半径的长为． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求k的值； （2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入求出k的值即可； （2）利用函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象的下方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得； 【小问2详解】 解：由可知，反比例函数图象在一次函数图象的下方， ∴不等式的解集为或． 24. 如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 25. 综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 1．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 2．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 3．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 4．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 （1）根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； （2）在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； （3）设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 【答案】（1）500；50 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将设备A的数据代入求出M的值，进而将设备B的数据代入即可求出a的值； （2）将分别代入，，进而求出总效率，根据即可求出所需时间； （3）根据题意列不等式求解，结合作答即可． 【小问1详解】 解：将设备A的数据代入得：，解得：； 进而将设备B的数据代入得：； 【小问2详解】 解：当时，，， 总效率（件）， 所需时间． 答：所需时间为； 【小问3详解】 解：由题意，得， 解不等式，得， 结合，得． 答：环境温度（）的取值范围是． 26. 如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F． （1）求证：AE=BE； （2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由； （3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式． 【答案】（1）见解析；（2）BE=EF，理由见解析；（3）小李的发现是正确的，理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论； （2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案； （3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案． 【详解】（1）如图1，连接AP， ∵BC是半⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB=90°， ∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠ACB=∠BAD， ∵点A是弧BP的中点， ∴∠P=∠ACB=∠ABP， ∴∠ABE=∠BAE， ∴AE=BE； （2）BE=EF， 理由是：∵BC是直径，AD⊥BC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴∠BAD=∠ACB， ∵A为弧BP中点， ∴∠ABP=∠ACB， ∴∠BAD=∠ABP， ∴BE=AE，∠FAD=∠AFB， ∴EF=AE， ∴BE=EF； （3）小李的发现是正确的， 理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G， ∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点， ∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC， 在△PCF和△PBG中， ， ∴△PCF≌△PBG（ASA）， ∴CF=BG， ∵BC为直径， ∴∠BAC=90°， ∵A为弧BP中点， ∴∠GCA=∠BCA， 在△BAC和△GAC中，  ∴△BAC≌△GAC（ASA）， ∴AG=AB=BG， ∴CF=2AB． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 27. 如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． （1）______． （2）如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． （3）如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． （4）如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）5 （2） （3）， （4）或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角一部分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，求出，，再利用勾股定理即可求的值； （4）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围． 【小问1详解】 解：，即， 解得：， ∵边长，，其中分别是方程的两个根， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图，过点作垂足为点, ∵是的平分线， 又在矩形中， ， ∴ ∴ ∴是的切线，即与相切； 又， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：， ∴， 点O在运动过程中， ∵的长度和的长度是固定不变的，如图， ∵， ∴当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，， 过点P作垂足为F点，于点T，如图， 所以，四边形是矩形， ∴ 由（1）知， 由（2）知， ∴， ∴，， 又 ∴ ∴, ∴； 在中，， ∴， 在中，． 故答案为：，； 【小问4详解】 解：如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接，   由（2）知，； 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ∵， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 28. 在和中，，，，固定，将绕点A旋转一周，连接，相交于点H，经过C，E，H三点作． （1）如图1，求证：是的直径． （2）若，，连接，在的旋转过程中： ①若点A恰好是的内心，如图2，求的长； ②当最大时，四边形的面积为_________． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴点A、H、B、C共圆， ∴， ∴， ∴是的直径； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，从而，进而命题得证； （2）①在基础上，点A是的内心时，推出，从而得出，解即可； ②连接并延长至点F，连接，证明，得出，再在证明，得出，作，为半径，当与相切时，最大，此时求得的长，根据，得出，进而解，求得上的高，从而求出的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2， 由（1）知：， ∴， ∵点A是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过D作于G， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接并延长至点F，使，连接， 又，， ∴， ∴，，， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 以A为圆心，为半径作， 当与相切时，最大， 此时， ∴， 作于P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $