精品解析：浙江慈溪市文锦书院2026-2027学年第一学期月度素养测试八年级数学试题卷

2026学年第一学期月度素养测试八年级数学试题卷 （总分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么 C. 同位角相等，两直线平行 D. 若，则或 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. “a的5倍与b的差是负数”用不等式表示为______． 12. 请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______． 13. 在等腰中，，则的度数是________． 14. 如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 15. 如图，点D在的边上，已知，则的面积为________． 16. 如图，，是射线上一点，且，是射线上一点，连接，将沿着直线翻折，得到． 点到的距离为 ______； 如果线段与射线有交点，设交点为，则的取值范围为 ______． 三、解答题（本大题共8题，17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分） 17. 解下列不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 18. 如图，在中，，，，三点在同一直线上，， （1）求证：； （2）猜想线段，，之间的数量关系并证明． 19. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点D作交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 如图，将放置在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均为格点，在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹，标出字母）． （1）作边上的中线； （2）在上找一格点，使得线段平分； （3）找一格点，连接，使 ． 21. 对于实数、我们定义一种新运算（其中、均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算．由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对．若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则 . （2）已知,若正格线性数，求满足不等式组的所有的值. 22. 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点． （1）求证：． （2）求证：平分． （3）若，求的度数． 23. 为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：    A型  B型  价格（万元/台）  a  b  处理污水量（吨/月）  220  180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元． （1）求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 24. 如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． （1）求的度数． （2）当点B是的中点时，求证：． （3）取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期月度素养测试八年级数学试题卷 （总分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列长度的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】比较较短两边长度之和与最长边长度，判断能否构成三角形． 【详解】解：A.∵，∴能构成三角形； B.∵，∴不能构成三角形； C.∵，∴不能构成三角形； D.∵，∴不能构成三角形． 3. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么 C. 同位角相等，两直线平行 D. 若，则或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、对顶角、等式的性质以及有理数的乘法等知识．利用平行线的判定、对顶角、等式的性质以及有理数的乘法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，是假命题，符合题意； B、如果，那么，故原说法正确，是真命题，不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，故原说法正确，是真命题，不符合题意； D、若，则或，故原说法正确，是真命题，不符合题意； 故选：A． 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 5. 如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， 故选：D． 6. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的定义及勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， ， ， ， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、设，则，， ，， ， 是直角三角形，不符合题意； D、， ， 是直角三角形，不符合题意． 7. 关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，关键是熟悉不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先解不等式得到，再根据，由不等式组解集的规律即可得解． 【详解】解：解不等式得到， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴． 故选：B． 8. 如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 9. 如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的余角相等即可证明①正确；由角平分线定义可得，再结合三角形外角的性质推出，进而证得，故②正确；若，可推出，但题中无条件限定一定等于，故③错误；由平分，且，得，，，因此，结合，，可证，得到，，即垂直平分，进而得，因此，代换可得，从而证明，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∵， ∴， ∴，但题中无条件限定一定等于，故③错误； ∵平分，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故选：C． 10. 如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图1中，作，使得，连接，．证明，推出，由，可知，，共线时，的值最小，求出此时即可解决问题． 【详解】解：如图1中，作，使得，连接，． 是等边三角形，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 如图2中，当，，共线时， ， ， ， ， ， 当的值最小时，， 故选：． 【点睛】本题考查轴对称、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. “a的5倍与b的差是负数”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】的5倍表示为，与的差为，负数小于，据此列出不等式． 【详解】解：根据题意，列得不等式为. 12. 请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______． 【答案】“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 【解析】 【分析】本题考查了逆定理，解题关键是掌握逆定理是通过交换原定理的题设和结论得到的．原定理的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，因此逆定理的题设应为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【详解】解：原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”， 则交换题设和结论后，得到逆定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故答案为：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 13. 在等腰中，，则的度数是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】为顶角、为顶角和为底角，再根据三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】解：当为顶角时，则； 当为顶角时，则； 当为底角时，则； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 14. 如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 15. 如图，点D在的边上，已知，则的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角形中线的性质等知识，掌握这些知识是关键． 过点C作于点E，由勾股定理及等腰三角形的性质求得，进而求得的面积，再由三角形中线平分三角形面积即可求得的面积． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24． 16. 如图，，是射线上一点，且，是射线上一点，连接，将沿着直线翻折，得到． 点到的距离为 ______； 如果线段与射线有交点，设交点为，则的取值范围为 ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （）过点作于，由等腰三角形的判定和勾股定理可求； （）当点落在上时，通过勾股定理求出与的交点为时，的值，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图：当点落在上时， ∵将沿着直线翻折， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴当时，线段与射线有交点， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分） 17. 解下列不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤求解即可． （2）需要分别求出每个不等式的解集，然后取交集． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项：， 合并同类项得：， 解得：. 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 18. 如图，在中，，，，三点在同一直线上，， （1）求证：； （2）猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ，， ， ． 19. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点D作交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）30° （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、平行线的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质、平行线的性质、直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，然后根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论； （2）根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据等边三角形的判定可证是等边三角形，从而即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴． 20. 如图，将放置在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均为格点，在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹，标出字母）． （1）作边上的中线； （2）在上找一格点，使得线段平分； （3）找一格点，连接，使 ． 【答案】（1） 如图，线段即为所求， （2） 如图，线段即为所求， （3） 如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了仅用无刻度的直尺作图问题，三角形的中线，角平分线和高线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （）取格点，连接交于点，线段即为所求； （）取格点，连接，线段即为所求； （）取格点，连接，线段即为所求． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于点，线段即为所求， 理由：由网格可知， ∴线段即为所求； 【小问2详解】 解：取格点，连接，线段即为所求， 理由：，， ∴， ∴线段即为所求； 【小问3详解】 解：取格点，连接，线段即为所求． 21. 对于实数、我们定义一种新运算（其中、均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算．由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对．若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则 . （2）已知,若正格线性数，求满足不等式组的所有的值. 【答案】（1）5,；3（2）m为3，4，5，6 【解析】 【详解】分析：（1）利用题意计算进而求出答案； （2）根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论． 详解：(1)∵L(x,y)=x+3y， ∴L(2,1)=2+3×1=5, 故答案为5，3； (2)∵L(x,y)=3x+2y， ∴L(m,m−2)=3m+2(m−2)=5m−4， ∴ 解得： ∵m和m−2均为为正整数， ∴m的值有3，4，5，6. 点睛：属于新定义题目，考查解一元一次不等式组，实数的运算，读懂正格线性数的概念是解题的关键. 22. 如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点． （1）求证：． （2）求证：平分． （3）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 和为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ； （2） 证明：， ， ， ， ， 即平分； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形底边三线合一的性质；证明三角形全等是解题的关键． 由等腰三角形，等边三角形的性质得出，进而利用证明≌； 由可得，根据等边三角形性质即可解题； 根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由可得， ， ， ， 在中，，， 23. 为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：    A型  B型  价格（万元/台）  a  b  处理污水量（吨/月）  220  180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元． （1）求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1）；（2）有四种购买方案：①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台；④A型设备3台，B型设备7台；（3）为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台． 【解析】 【分析】（1）购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型号设备少3万元，可列方程组求解． （2）设购买A型号设备x台，则B型为（10-x）台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，进而得出不等式． （3）利用每月要求处理污水量不低于1880吨，可列不等式求解． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得：； （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10-x）台，根据题意得， 12x+9（10-x）≤100， ∴x≤， ∵x取非负整数， ∴x=0，1，2，3 ∴10-x=10，9，8，7 ∴有四种购买方案： ①A型设备0台，B型设备10台； ②A型设备1台，B型设备9台； ③A型设备2台，B型设备8台． ④A型设备3台，B型设备7台； （3）由题意：220x+180（10-x）≥1880， ∴x≥2， 又∵x≤， ∴x为2，3． 当x=2时，购买资金为12×2+9×8=96（万元）， 当x=3时，购买资金为12×3+9×7=99（万元）， ∴为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型号设备少3万元和根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1880吨，等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式求解． 24. 如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． （1）求的度数． （2）当点B是的中点时，求证：． （3）取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3） 是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $