精品解析：河南南阳市唐河县第一高级中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

2026年秋9月份高二年级学情调研数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直于轴即可得解. 【详解】直线垂直于轴，故所求倾斜角是. 故选：C. 2. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，根据离心率越小越接近于圆可得答案. 【详解】对于A，，，则，所以； 对于B，，，则，所以； 对于C，，，则，所以； 对于D，，，则，所以. 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆. 故选：D. 3. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】运用两直线平行的充要条件得出与平行时的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可． 【详解】当时，， 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行. 当与平行时可得：，解得或. 若时，由上可得与平行 当时，，,此时两直线重合. 所以当与平行时， 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C 4. 过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把圆的方程化成标准式，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，由题意可知，点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程得到一个关系式，让其大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数的取值范围． 【详解】把圆的方程转化成标准方程得.由，解得. 又点应在已知圆的外部，把点的坐标代入圆的方程得，即，解得或，则实数的取值范围是，故选D. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 如果，，那么直线不经过第二象限 C. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 【答案】C 【解析】 【详解】令，得，故直线在轴上的截距为，故A错误； 因为，，所以直线方程化为， 因为，所以直线不过第三象限，故B错误； 若，则化为，其倾斜角为； 若，则化为， 因为且，所以或， 则或，得或， 故直线的倾斜角的范围是，故C正确； 若，则无法用表示，故D错误. 6. 直线：被圆：所截得的弦中，最短弦所在的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线经过的定点，进而可知点在圆内，从而可知最短弦所在直线必与直线垂直，由此即可求解 【详解】因为直线：经过定点， 圆心为，， 故点在圆内， 故最短弦所在直线必与直线垂直， 又，因此最短弦所在直线斜率为， 方程为，即， 故选：B． 7. 直线椭圆相交于两点，则弦的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线代入椭圆的方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理和中点坐标公式求解. 【详解】把直线代入椭圆的方程， 消去x，化简可得，设， 则有，故线段AB的中点的纵坐标是， 把代入直线可得， 故线段AB的中点坐标是. 故选：A. 8. 已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，用表示点B的坐标，代入椭圆C的方程结合，利用椭圆的离心率求解即可. 【详解】设椭圆C的焦距为2c，，则，， 所以，， 因为，所以，即，即， 因为点B在椭圆C上，所以， 则，得到C的离心率为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两椭圆和，则（ ） A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 两椭圆有完全相同的顶点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】写出椭圆的标准形式，逐项分析即得. 【详解】设椭圆，，，则； 设椭圆，，，则. A（×）椭圆的焦点分别在轴上. B（√）的离心率，的离心率. C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，. D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心. 故选：BD 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线（）恒过定点 B. 圆：与圆：恰有三条公切线 C. 两圆与的公共弦所在的直线方程为 D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.求解含参数直线的定点，可通过赋值消去参数，令参数对应变量为0，代入直线方程即可求出恒过定点；B.判断两圆位置关系，需先配方得出圆心与半径，通过计算圆心距和半径和、差的大小关系，确定公切线条数；C.求两圆公共弦直线方程，直接将两圆一般方程作差消去二次项，化简后即可得到对应直线解析式；D.求圆外点切线长最小值，依据切线长公式，转化为求圆心到定直线的最短距离，再结合勾股定理计算. 【详解】A 选项，直线：，令，得，即无论取何值，直线恒过定点， A 正确； B 选项，圆，即，故圆心，半径， 圆，即，故圆心，半径， 圆心距，，圆心距等于半径和，两圆外切，外切恰有 3 条公切线，B 正确； C 选项，两圆：① ，② , 两式相减，得公共弦所在的直线方程为 ，C 错误； D 选项，圆，圆心，半径，是切线，由勾股定理，要最小，只需最小， 是原点到直线的距离，， D 正确. 11. 《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（ ） A. 动点的轨迹方程为 B. 动点的轨迹与圆：没有公共点 C. 直线：为成双直线 D. 若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意先求出动点P的轨迹方程为椭圆，再借助判别式判断直线、圆与椭圆的位置关系即可；选项D直接计算的值． 【详解】解：设， 则， 化简得，故A错； 联立消y得 ， 整理得， ， 故动点的轨迹与圆：有两个公共点，故B错； 联立消去y得 ， ， 故直线上存在这样的点， 所以直线：为成双直线，故C对； 联立消整理得 ， 解得， 故， 不妨设， 设，故， 则， ， 将代入上式， ，故D对． 故选：CD． 【点睛】本题D的结论应当记住，也即．当时，，此时动点P的轨迹为圆，而这个结论是显然的，可以帮助我们记忆上述结论． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果． 【详解】由题意得， 由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 13. 椭圆的离心率为，则的值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】将焦点分为在 轴上两种情况，利用椭圆的离心率列方程，由此求得的值. 【详解】椭圆的离心率满足.当椭圆焦点在轴上时，，解得.当椭圆焦点在轴上时，，解得.故填. 【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 14. 已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】由题意可设， 则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设， 则，化简可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线所在直线的一般方程； （3）求点关于直线：对称的点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）判断是以B为直角的等腰直角三角形，角平分线过B和AC中点，点斜式化简得方程； （3）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【小问1详解】 由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； 【小问2详解】 直线AB的斜率，得，则， 又，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形，故角的平分线为边上的中线， 因中点为，又因，则角平分线的斜率， 由点斜式得方程， 即角平分线所在直线的一般方程为； 【小问3详解】 设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 16. 已知圆：； （1）若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. （2）过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程. 【答案】（1）或或 （2） 【解析】 【分析】（1）截距相等要分截距为 0（过原点）和截距不为 0两类设直线，利用圆心到切线距离等于半径列方程求解；（2）由垂径定理得到，而A，P，B，M共线，所以，根据直径所对圆周角为直角，判定P的轨迹是以MC为直径的圆，从而可求得轨迹方程. 【小问1详解】 圆：，化为标准方程可得 得圆心 ， 由直线在轴和轴上的截距相等可假设： ①当相等的截距为0时，设直线：即，由得， 所以直线的方程为：， ②当相等的截距不为0时，设直线，由得或， 所以直线的方程为：或， 综上，直线的方程为：或或； 【小问2详解】 由是中点，得，又A，P，B，M共线，得， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点， 因为，，所以圆心为，半径为， 则点轨迹方程为． 17. 已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）设点A在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹形状. 【答案】（1）；（2）；以为圆心，以为半径的圆. 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心，由圆与轴正半轴相切，可得半径，先计算圆心到直线的距离，由垂径定理可得，就可解得，进而写出圆的方程； （2）设，由坐标表示，即可得A点与点坐标关系，再把点坐标代入圆的方程，就可得出答案． 【详解】（1）由已知设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径， ∵圆心到直线的距离， 由垂径定理得，解得， 故圆心为或，半径等于， ∵圆与轴正半轴相切， ∴圆心只能为， 故圆的方程为. （2）设，则，， ∴，∴， ∵点A在圆上运动， ∴， 即，即， 所以点的轨迹方程为， 它是一个以为圆心，以为半径的圆. 18. 已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. （1）若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； （2）当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； （3）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）；或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把圆化为标准方程，得到圆心坐标，点斜式求出直线的方程； （2）圆心到直线的距离为，利用面积公式结合配方法求出面积的最大值，由此时的值求出直线的方程； （3）设点，，则有，直线与圆联立方程组，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 圆的标准方程为：，所以圆心，半径为3； 又直线斜率为1，经过圆的圆心，所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则， ， 当且仅当，时取等号，由，得或， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 假设存在直线：满足题设要求，点，， 以为直径的圆过原点，所以，有，即 ① 联立，得， 由于，得，， ② 则 ③ 将②，③ 代入①，得，解得或，均符合， 故存在直线，使以线段为直径的圆过原点，其方程为或． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据选择不同的选项中条件再结合题意从而求解. （2）设出直线的方程与椭圆联立，利用根与系数关系，并结合，再构造函数利用函数单调性从而求解. 【小问1详解】 若选①．由题意得：，解得：， 所以：椭圆的方程为. 若选②．椭圆的焦点坐标为，则， 又，得，由，得， 所以椭圆的方程为. 若选③.由题意得：， 又与椭圆短轴的一个端点组成等边三角形，所以， 又，得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 易知，设直线的方程为， 联立，得：， 设点，，由根与系数的关系得， ，， 所以 ， 设，则 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，（此时，直线为）. 故：面积的最大值为． 【点睛】（2）中通过直线与椭圆联立并利用根与系数关系得：，然后构造函数，利用函数的单调性从而可求解面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋9月份高二年级学情调研数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 如果，，那么直线不经过第二象限 C. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 6. 直线：被圆：所截得的弦中，最短弦所在的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 直线椭圆相交于两点，则弦的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两椭圆和，则（ ） A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 两椭圆有完全相同的顶点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线（）恒过定点 B. 圆：与圆：恰有三条公切线 C. 两圆与的公共弦所在的直线方程为 D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 11. 《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（ ） A. 动点的轨迹方程为 B. 动点的轨迹与圆：没有公共点 C. 直线：为成双直线 D. 若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为_____. 13. 椭圆的离心率为，则的值为______________ 14. 已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线所在直线的一般方程； （3）求点关于直线：对称的点的坐标. 16. 已知圆：； （1）若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程. （2）过点的直线与圆交于，两点，线段中点为，求点轨迹方程. 17. 已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）设点A在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹形状. 18. 已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. （1）若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； （2）当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； （3）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $