二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在指定区间上的恒成立问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在指定区间上的恒成立问题专项训练 二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在指定区间上的恒成立问题专项训练 考点目录 二次不等式在实数集上的恒成立问题 二次不等式在指定区间上的恒成立问题 考点一 二次不等式在实数集上的恒成立问题 例1．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）通过讨论的正负，结合判别式即可求解； （2）通过讨论，，，，，即可求解. 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意， 当时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由，可得， ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为. 综上可得，的解集如下， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 例2．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，转化为一元二次不等式，分解因式结合二次函数图象开口向上即可得到解集； （2）一元二次不等式在全体实数上恒大于0，只需判别式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，不等式为，即， 解得或，所以不等式的解集为. （2）设，因为不等式，对于任意实数都成立， 所以， 解得， 故实数的取值范围是. 例3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得方程的解为，再利用韦达定理求解即可； （2）分和两种情况讨论结合根的判别式求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 则，解得； （2）当，即时，恒成立； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的解集为，得到的根为或，利用根与系数的关系求解即可； （2）由不等式的解集为，按照和两种情况讨论求解.当时，由不等式的解集为， 得到，计算得解. 【详解】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 变式2．（25-26高一上·广西钦州·期中）设函数 (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知和1为方程的两根，方法一：代入联立方程组求解即可；方法二：由韦达定理列方程求解即可； （2）根据一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式计算求解即可. 【详解】（1）解法一（代入法）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则有及， 解得，； 解法二（韦达定理）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则，解得； （2）若，在上恒成立， 即在上恒成立， 故，  解得：.    故的取值范围为. 变式3．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求的解集； (2)若的解集为，求的值； (3)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得答案； （2）利用一元二次不等式的解以及韦达定理可得答案； （3）按照a是否为0分类，利用二次不等式在实数集上恒成立即可求解. 【详解】（1），， ，， 的解集为或. （2）由已知得，且和2是方程的两根， 所以，解得，此时,符合题意， 所以； （3）当时，变为， 满足不等式对一切实数恒成立，满足题意； 当时，要使对一切实数恒成立，则有， 即，解得， 综上，不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是. 考点二 二次不等式在指定区间上的恒成立问题 例1．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为． （2） . 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由不等式，可化为， 当时，不等式为，此时； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上所述：当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为． （2）对于，不等式恒成立， 即对于，不等式恒成立，即在上恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是． 例2．（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知命题，，命题，. (1)当命题为真命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分离参数，再求出右边的最大值即可； （2）分别求出命题和命题为假命题时的范围，再求其交集即可. 【详解】（1）当命题为真命题时， 当时，， ，即 实数的取值范围为． （2）当命题为真命题时，， 解得或， 故为假命题时， 当为假命题时，. 所以命题和命题均为假命题， ，解得， 所以实数的取值范围为． 例3．（25-26高一上·河南·阶段检测）设. (1)若，求的解集； (2)若不等式对一切恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可直接求得结果； （2）采用参变分离的方法可得，利用基本不等式可求得，由此可得结果； （3）分别讨论、和的情况，结合一元二次方程两根大小关系可确定不等式的解集. 【详解】（1）当时，， 解得：，即的解集为. （2），， 恒成立，对任意恒成立， （当且仅当时取等号），，， 即的取值范围为. （3）由得：， ①当时，，解得：； ②当时，的解集为； ③当时，令，解得：或， 若，则，不等式无解； 若，则，则的解集为； 若，则，则的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 变式1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知为实数，集合， (1)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到命题“，”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为集合， 由命题“，”是假命题，可得命题“，”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）因为，恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 变式2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知关于的不等式. (1)求不等式的解集； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； (2)或 【分析】（1）根据含参数一元二次不等式解法对参数进行分类讨论即可得出不等式的解集； （2）依题意求出二次函数在时的最大值，解不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）易知不等式为， 当时，不等式为，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为； 综上， 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）易知不等式对应的一元二次函数开口向上，且关于直线对称， 当时，该函数在处取得最大值， 因此若时，不等式恒成立，只需，解得或； 因此实数的取值范围为或. 变式3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 【分析】（1）不等式化为，求出的最小值即可； （2）不等式化为，求出不等式对应方程的根，讨论两根的大小，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）不等式可化为， 当时，， 所以不等式化为，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是； （2）不等式可化为， 因为，所以不等式对应方程的根为1和， 当时，， 所以时，不等式为，解得； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在指定区间上的恒成立问题专项训练 二次不等式在实数集上的恒成立问题、二次不等式在指定区间上的恒成立问题专项训练 考点目录 二次不等式在实数集上的恒成立问题 二次不等式在指定区间上的恒成立问题 考点一 二次不等式在实数集上的恒成立问题 例1．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 例2．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 例3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 变式2．（25-26高一上·广西钦州·期中）设函数 (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，在上恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求的解集； (2)若的解集为，求的值； (3)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 考点二 二次不等式在指定区间上的恒成立问题 例1．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 例2．（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知命题，，命题，. (1)当命题为真命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和命题均为假命题，求实数的取值范围. 例3．（25-26高一上·河南·阶段检测）设. (1)若，求的解集； (2)若不等式对一切恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 变式1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知为实数，集合， (1)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 变式2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知关于的不等式. (1)求不等式的解集； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $