精品解析：河南郑州市惠济区郑州四中迎宾路校区2026-2027学年第一学期九月练习九年级数学

2026-2027学年上学期九年级第一次学习比赛 数学试题卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 3. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 4. 若，则等于（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：设， 则a=2k，b=3k，c=4k， 即， 故选C． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 已知实数m，n满足，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 5或3 D. 或5 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 9. 如图，图1是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处于正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖互相平行，它们的四周设计按图1中的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．图2是它的示意图，若切割线，，则正方形地漏的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，构造直角三角形，结合题意推出且，进而证明，再利用直角三角形性质，以及勾股定理推出，即可解题． 【详解】解：延长交于点，  正方形各边与正方形平行， ， 正方形中， ， ，  由题知，且， ， ， 在中，， ， ， ， 即正方形的边长为． 10. 欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键．根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果． 【详解】解：由勾股定理得： ∵，， ∴ 整理得： ∵ ∴的长是方程 的一个正根 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义及给出的比例式，可知为线段的较长部分，利用黄金比进行计算即可． 【详解】解：点是的黄金分割点，且满足，  为较长线段，即，  ，  ． 12. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 【答案】6 【解析】 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 13. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，点的坐标特征以及勾股定理的应用，解题关键是利用矩形性质将求的长转化为求对角线的长． 根据点坐标得到两直角边长度，运用勾股定理计算出的长度，利用矩形对角线相等的性质，将求的长转化为求的长即可． 【详解】解：如图所示： 连接、，过点向轴作垂线，垂足为，向轴作垂线，垂足为 ， ∵点D的坐标是，O是原点， ∴， ， 在中， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 14. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，于点E，F是线段的中点，连接．若，，则的长为________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得，，，，由直角三角形的性质可得，求出，，从而可得，再由菱形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵F是线段的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是______． 【答案】3或 【解析】 【分析】当与相似时．分①当，；②当，两点重合；两种情况求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 由折叠可知，，当与相似时．分，两种情况求解： ①当时，即，， ∴， ∴； ②当时，即，两点重合，在的延长线上， ∴，即， ∴，即， 解得，； 综上所述，的值为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例等知识．熟练掌握折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17. 阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） 所以．（第二步） （1）回答下列问题： ①第一步运用了_______的基本性质； ②第二步的解题过程运用了_____的方法，由得利用了______性质． （2）模仿材料解题：已知，求的值． 【答案】（1）等式，代入消元，分式； （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：由题意可得， 第一步运用了等式的基本性质，第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由得利用了分式的性质， 故答案为：等式，代入消元，分式； 【小问2详解】 解：设，则：，，， ∴． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 19. 如图，在中，点为边上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）判断线段与（1）中得到的线段的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2），证明如下： ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 20. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 坪山是客家人聚居地，有舞麒麟的传统．这项已有300多年历史的客家民间传统文化，不仅传承着世代客家人“麒麟呈祥”的美好祝愿，而且在岁月的变迁中烙下了深深的坪山印记，成为深圳客家文化中的重要组成部分，并散发着民间传统艺术的流光溢彩．坪山文化馆为了推广舞麒麟文化，专门设计了文创产品——舞麒麟积木玩具，并在各商店销售． 如何设计商品销售方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批舞麒麟积木玩具，销售单价不低于140元，并且销售单价为整数． 素材2 该商店舞麒麟积木玩具的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当积木玩具的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每个积木玩具的进价． 任务2 探究商品售价 商场搞促销活动，为尽快扩大销售量，且积木玩具销售利润为3000元，则该日每个积木玩具的售价为多少元？ 设计方案 任务3 该商店决定日销售利润为3200元，请问方案是否可行，如可行，请你通过计算设计方案；如不可行，请说明理由． 【答案】任务1：每个积木玩具的进价120元； 任务2：每个积木玩具的售价为150元； 任务3：该商店日销售利润能达到3200元，理由如下： 当时， 解得， ∴当销售单价是160元时，商店日销售利润能达到3200元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）求出当时y的值，再根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可； （3）根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】解：任务1：当时，， 设每只积木玩具的进价a元， 根据题意得， 解得， 答：每个积木玩具的进价120元． 任务2：由题意得， 整理得 解得，， ∵要尽快扩大销售， ， 答：每个积木玩具的售价为150元． 任务3：略 22. 阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，从而 把代入已知方程，得， 化简，得， 因此所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换根法”，请你用上述思路解决下列问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于y的一元二次方程的两个实数根是_________． 【答案】（1） （2） （3）1025和1022 【解析】 【分析】（1）设所求方程的根为y，则，将代入已知方程，化简即可得到答案； （2）设所求方程的根为y，则，将代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案； （3）所给方程整理可得，令可得，结合（2）中结论可得的根，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为y，则， ， 将代入，得：， 化简，得， 所求方程为； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为y，则， ， 将代入，得：， 去分母，得， 若，则化为，有一个根为0，不合题意， ， 所求方程为； 【小问3详解】 解：， 整理，得， 令， 则， 的两个实数根分别为1和， 结合（2）中结论可得，的两个实数根为1和的倒数， ，， ，， 即的两个实数根是1025和1022． 23. 如图①，的顶点P在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． （1）如图①，当时，，，之间满足的数量关系是_______． （2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，其他条件不变，当时，（1）中的结论是否改变，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与射线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用证明． 【答案】（1） （2）解：结论为，证明如下： 如图，取的中点，连接， 四边形为菱形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）当点落在线段上、点落在线段上时，； 当点落在线段上、点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，从而得到，即可得到； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质，即可得是等边三角形，利用可证，再由全等三角形的对应边相等可得，由，即可得出； （3）①当点落在线段上、点落在线段上时，可证，那么有，从而得到； ②当点落在线段上、点落在线段的延长线上时，可证，那么有，从而得到； ③当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，可证，那么有，从而得到； ④当点落在线段的延长线上、点落在线段上时，可证，那么有，从而得到； ⑤当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，可证，那么有，从而得到． 【小问1详解】 解：正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：①当点落在线段，点落在线段上时，如图所示， 由（2）可知，， ②当点落在线段，点落在线段的延长线上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ， ③当点落在线段的延长线上，点落在线段的延长线上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ， ④当点落在线段延长线时，点落在线段上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ， ⑤当点落在线段的延长线，点落在线段的延长线上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ， 综上，当点落在线段上、点落在线段上时，； 当点落在线段上、点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段上时，； 当点落在线段的延长线上、点落在线段的延长线上时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级第一次学习比赛 数学试题卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 若，则等于（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 已知实数m，n满足，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 5或3 D. 或5 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，图1是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处于正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖互相平行，它们的四周设计按图1中的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．图2是它的示意图，若切割线，，则正方形地漏的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 12. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 13. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 14. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，于点E，F是线段的中点，连接．若，，则的长为________． 15. 如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是______． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） 所以．（第二步） （1）回答下列问题： ①第一步运用了_______的基本性质； ②第二步的解题过程运用了_____的方法，由得利用了______性质． （2）模仿材料解题：已知，求的值． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 19. 如图，在中，点为边上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）判断线段与（1）中得到的线段的数量关系，并给出证明． 20. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 21. 综合与实践 坪山是客家人聚居地，有舞麒麟的传统．这项已有300多年历史的客家民间传统文化，不仅传承着世代客家人“麒麟呈祥”的美好祝愿，而且在岁月的变迁中烙下了深深的坪山印记，成为深圳客家文化中的重要组成部分，并散发着民间传统艺术的流光溢彩．坪山文化馆为了推广舞麒麟文化，专门设计了文创产品——舞麒麟积木玩具，并在各商店销售． 如何设计商品销售方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批舞麒麟积木玩具，销售单价不低于140元，并且销售单价为整数． 素材2 该商店舞麒麟积木玩具的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当积木玩具的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每个积木玩具的进价． 任务2 探究商品售价 商场搞促销活动，为尽快扩大销售量，且积木玩具销售利润为3000元，则该日每个积木玩具的售价为多少元？ 设计方案 任务3 该商店决定日销售利润为3200元，请问方案是否可行，如可行，请你通过计算设计方案；如不可行，请说明理由． 22. 阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，从而 把代入已知方程，得， 化简，得， 因此所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换根法”，请你用上述思路解决下列问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于y的一元二次方程的两个实数根是_________． 23. 如图①，的顶点P在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． （1）如图①，当时，，，之间满足的数量关系是_______． （2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，其他条件不变，当时，（1）中的结论是否改变，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与射线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $