精品解析：河南驻马店市第四中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

九年级数学 一、选择题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，整理后形如（其中，且a，b，c是常数）的方程是一元二次方程；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：A、方程整理后为，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时才是一元二次方程，否则不是一元二次方程，故不符合题意； C、符合一元二次方程的概念，是一元二次方程，故符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】 移项，得， 方程两边同时加上4，得， 配方得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键． 3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A，如图， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∴， 结合四边形为平行四边形不能确定四边形为菱形，故本选项符合题意； D、如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，故本选项不符合题意； 4. 一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 无实数根 B. 不能判定 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 5. 如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，坐标与图形，连接，过点作轴于点，根据勾股定理求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点， 点的坐标是， ，， ， 又四边形是矩形， ， 故选：． 6. 下列结论错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】正方形需同时满足矩形与菱形的特征，以此为依据判断各选项． 【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是正方形，判断错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不符合题意． 7. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键． 把代入，然后解关于k的方程，根据一元二次方程的定义得出符合条件的k的值即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD的面积之比是， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ） A. B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，勾股定理求出的长，运用等积法，即，即可求出的值． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， 连接， ∵过点P分别作和的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图1，在菱形中，，，点是边上的一动点，点是对角线上的一动点，设的长度为，与的长度和为，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是“将军饮马”问题，借助菱形是轴对称图象，其对角线是它的对称轴，再结合垂线段最短求出与的长度和最小时的位置，可得到的值，进而求出结果． 【详解】 解：连接AC，交于点，作点关于直线的对称点， 菱形， 点关于直线的对称点是点， 点与点重合， 连接，交于点 点是边上的一动点， 当时，的长最短， 此时的长就是的最小值， 菱形， ， 为等边三角形， ， 在直角三角形和直角三角形中，由勾股定理得： ，同理， ， 由图2知，的最小值为， ， 由图2可知：取最小值时， ， 二、填空题（共15分） 11. 一元二次方程的解是____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 12. 观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 【答案】1.7 【解析】 【分析】本题考查用表格法求一元二次方程的近似根，解题的关键是观察表格中函数值的变化，找到函数值由负变正的区间，从而确定近似根． 通过观察表格中对应的的值，找到函数值最接近0时对应的，即为方程的近似根． 【详解】解：我们观察表格中的数据： 当时，， 当时，， 可以看到，当时，的值更接近0， 所以一元二次方程最精确的一个近似根是1.7． 故答案为：1.7． 13. 已知，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】将等号两边同时开平方，解出的值，再根据的非负性进行取舍即可． 【详解】， ， =8或－10， ≥0， =8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如的形式，那么可得，需要注意的是两数平方的和的非负性． 14. 古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”(如图1)，问题解决：如图2，点P是矩形的对角线上一点，过点P作分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积和为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据矩形的性质和三角形面积得到，则，，即可求解． 【详解】解：作于，交于．如图： 则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， 由矩形的性质可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：12． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证出． 15. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 【答案】5 【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明，可得，再根据直角三角形的性质得，然后在延长线上截取，连接，根据“边角边”证明，可得，接下来说明当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ∴的最小值为5． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 解得：， 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 【小问4详解】 解：， ， ， 解得：，． 17. 如图，四边形是平行四边形，过A点作，，垂足分别为E，F，且，证明四边形是菱形． 【答案】∵四边形是平行四边形． ， ，， ， 在和中： ， ， ∴平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】先证明得出，再结合菱形的判定定理即可得证． 【详解】略． 18. 已知：关于的一元二次方程. （1）当时，求这个方程的解. （2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根.求为何值时，△ABC是等腰三角形？ 【答案】（1）x1＝2，x2＝1；（2）k＝3或4. 【解析】 【分析】（1）把k=0代入，再利用因式分解法可求得方程的解； （2）可先用k表示出方程的两根， 【详解】解：（1）当时，原方程为. △＝（－3）2－4×1×2＝1＞0. 　 所以　. 即x1＝2，x2＝1. （注：也可用因式分解法求解.） （2）在方程中， 因为， 所以 即，. 因为AB、AC是方程的两个实数根， 所以AB≠AC. 因为BC＝5， 所以当，或时，△ABC是等腰三角形. 综上，k＝3或4. 【点睛】本题考查三角形三边关系、一元二次方程及根的判别式，熟练掌握计算法则是解题关键. 19. 如图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） （1）在图1中，作以为边的，使； （2）在图2中，画出（1）的中线． （3）直接写出（2）的长． 【答案】（1）如图1所示，为所求作： （2）如图2所示，为所求作： （3） 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接、，利用勾股定理求得三边长，结合勾股定理逆定理可证明为等腰直角三角形； （2）如图2，取格点、，连接，交于点，连接即为所求，根据网格可得四边形为矩形，根据矩形的对角线互相平分，即可得到为的中点； （3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【小问1详解】 解：如图1所示，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知，是直角斜边上的中线，， ∴． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）或3，当时，方程的解为；当时，方程的解为； 【解析】 【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可解答； （2）令判别式等于5求得或3，然后分和两种情况，分别代入方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则，解得：或3 当时，原方程可化为： ∴ ∴； 当时，原方程可化为： ∴ ∴； 综上，当时，方程的解为；当时，方程的解为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． 21. 如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴； （2）5 （3） 当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形， 理由：∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，可得，同理，进而得出答案； （2）根据已知得出，进而利用勾股定理求出，即可得出的长； （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵分别是的角平分线 ∴， ∵， 由勾股定理得：， 在中 ， ∴； 【小问3详解】 略 22. 追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． （2）已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 【答案】（1）， （2） 是直角三角形， 理由：是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【小问1详解】 解:设， 得， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； 所以原方程的解为：，； 【小问2详解】 略 23. 定义：对角线相互垂直的凸四边形叫“对垂四边形”． （1）知识感知：下列四边形中，是对垂四边形的是__________（填写序号）； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）概念理解：如图1，在四边形中，已知，，求证：四边形是对垂四边形； （3）性质探究：如图2，已知四边形是对垂四边形，，相交于点，求证：； （4）结论运用：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，，已知，，求的长． 【答案】（1）③④ （2）证明：如图，连接，， ∵， ∴点在的中垂线上； ∵， ∴点也在的中垂线上， ∴， ∴四边形是对垂四边形； （3）证明：∵四边形是对垂四边形， ∴， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）①平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直，不符合要求； ②矩形的对角线相等且互相平分，不垂直，不符合要求； ③菱形的对角线互相垂直平分，满足要求； ④正方形的对角线互相垂直平分且相等，也满足要求； 因此符合条件的是③④． （2）已知，说明点在的垂直平分线上，已知，说明点也在垂直平分线上，可得直线是的垂直平分线，，再结合四边形是凸四边形，即可得证； （3）在中，由勾股定理得；在中，由勾股定理得；两式相加；同理可得，等号右侧完全相等，可得等号左侧完全相等； （4）连接，先证，得到，结合对顶角相等可推得，得到四边形是对垂四边形；结合第（3）问可得；可设，已知是直角三角形，用表示，再代入，进一步求出． 【小问1详解】 是对垂四边形的是③④ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：连接线段、，设、相交于点，交于点， ∵正方形和正方形， ∴， ∵，. ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 设 则， ，， ， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 无实数根 B. 不能判定 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的菱形是正方形 7. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ） A. B. 2.5 C. D. 10. 如图1，在菱形中，，，点是边上的一动点，点是对角线上的一动点，设的长度为，与的长度和为，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 一元二次方程的解是____． 12. 观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 13. 已知，则_________． 14. 古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”(如图1)，问题解决：如图2，点P是矩形的对角线上一点，过点P作分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积和为__________． 15. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，四边形是平行四边形，过A点作，，垂足分别为E，F，且，证明四边形是菱形． 18. 已知：关于的一元二次方程. （1）当时，求这个方程的解. （2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根.求为何值时，△ABC是等腰三角形？ 19. 如图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） （1）在图1中，作以为边的，使； （2）在图2中，画出（1）的中线． （3）直接写出（2）的长． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根． 21. 如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 22. 追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． （2）已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 23. 定义：对角线相互垂直的凸四边形叫“对垂四边形”． （1）知识感知：下列四边形中，是对垂四边形的是__________（填写序号）； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）概念理解：如图1，在四边形中，已知，，求证：四边形是对垂四边形； （3）性质探究：如图2，已知四边形是对垂四边形，，相交于点，求证：； （4）结论运用：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，，已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $